А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 15
Текст из файла (страница 15)
7. В пространстве !г — совокупность последовательностей, в каждой из которых все члены рациональны и лишь конечное (свое для каждой последовательности) число этих членов отлично от нуля. 8. В пространстве Сг[а, Ь] — совокупность всех многочленов с рациональными коэффициентами. Вместе с тем гьростпрпнспьво ограниченных иоследова>пельноспьей гп (пример 9 б 1) несепарабельно. Действительно, рассмотрим всевозможпыо последовательности, состоящие из нулей и единиц. Они образу>от множество мощности континуума (так как между ними и подмножествами натурального ряда можно установить взаимно однозначное соответствие).
Расстояние между двумя такими точками, определяемое формулоей (11) б 1, равно 1. Окружим каждую из этих точек открытым шаром радиуса 1!'2. Эти шары не пересекаются. Если некоторое множество всюду плотно в пь, то каждый из построенных шаров должен содержать хотя бы по одной точке из этого множества, и, следовательно, оно не может быть счетным. в7 1 ГЬ Сятзимость. Отк!!ытмв и зимт!ктми мнажегтеа 4. Открытые и замкнутые множества. 1зассмотриы важнейшие типы множеств в метрическом пространстве, а именно, открытые и замкнутые множества.
Множество М, лежащее в метрическом пространстве Я, называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием; [М] = Ы. Иначе говоря, множество называется замкнутым, если опо содержит все свои предельные точки, В силу теоремы 1 замыкание любого множества ЛХ есть замкнутое множество. Из той же теоремь! вытекает, что [М] есть наименьшее замкнутое множество, содержащее М. (Докажите зто!) Примеры.
1. Всякий отрезок [а, Ь] числовой прямой есть замкнутое множно! во. 2. Замкнутый шар представляет собой замкнутое множество. В частности, в пространстве С[а, Ь] множество функций 1, удовлетворяющих условию ]у(1)[ < К, замкнуто. 3. Множество функций в С[а, Ь], удовлетворяющих условию [! (г)] < К (открытый шар), не замкнуто; его замыкание есть совокупность функций, удовлетворяющих условию ]у(1)] < К. 4. Каково бы ни было метрическое простршштво й, пустое множество Я и все Л замкнуты. 5. Всякое множество, гостоянше из конечного числа точек, замкнуто.
Основные свойства замкнутых множеств можно сформулировать в виде следук)щей теоремы. Теорема 3. Пересечение любого числа и сумма любого конечного числа замкнутых л!ножеств суть замкнутые множества. Доказательство. Пусть Е = ОŠ— пересечение замкнутых множестн ги и пусть х -- предельная точка для Р. Это означает, что любая ее окрестность 0,(х) содержит бесконечно много точек из Г. Но тогда тем более 0,(х) содоржит бесковечно лшого точек из каждого Р и, следовательно, так как все Г„замкнуты, точка х принадлежит каждому К; таким образом, х б Е = ПР', т.е.
Г замкнчто. Пусть теперь г' — сумма конечного числа замкнутых и множеств: п К = (] гп и пусть точка х не привадлежит Е. Покажем, что х ьм1 не может быть предельной для Е. Действительно, х не принадлежит ни одному из;замкнутых множеств гп следовательно, не является предельной ни для одного из них. Поэтому для каждого ! можно Гп. П, Метпричеепие и теипппеичееппе прпетрппепепп найти такую окрестность 0,,(х) точки х, которая содержит ни более чгм конечное число точок из Гь Взяв из окрестностей 0„(х) ....., 0„, (х) наименьшую, мы получим окрестность 0,(х) точки х, содержащую не более чем конечное число точек из Г. Итак, если точка х не принадлежит Г, то она не может быть предельной для Г, т.
е. Р замкнуто. Теорема доказана. Точка х называется внутренней точкой множества М, если существует окрестность 0,(х) этой точки, целиком содержащаяся в М. Множество, все точки которого внутренние, называется вткры- Примеры. б. Интервал (а,Ь) числовой прямой К' есть открытое множество; действительно., если а < о < Ь, то 0,(о), где в = ппп(а — а, Ь вЂ” о), целиком содержится в интервале (а, Ь). 7. Открытый шар В(а,г) в любом метрическоле пространстве Л есть открытое множество.
Действительно, если х б В(а,г), то р(а, х) < г. Положим с = г — р(а, х). Тогда В(х, е) С В(а, г). 8. Множество непрерывных функций на [а, Ь], удовлетворякицих условию 7 (г) < д(1), где д(Ь) — некоторая фиксированная непрерывная функция, представляет собой открытое подмножество пространства С[а, Ь). Теорема 4. Дня того чтобы множество М было открыто, необходимо н достаточно, чтобы его дополнение Л '1 М до всего пространства Л было замкнуто. Доказательство. Если М открыто, то каждая точках, из М имеет окрестностеч целиком принадлежащую М, т.е. не имеющую ни одной общей точки с Л '1 М. Таким образом, ни одна из точек, не принадлежащих Л 1 М, не может быть точкой прикосновения для Л 1М, т.е. Л'1 М замкнуто.
Обратно, если Л 1М замкнуто, то любая точка из М имеет окрестностгч целиком лежащую в М, т. е. М открыто. Так как пустое множество и все Л замкнуты и в то же время служат дополнениями друг друта, то ядстве мнвзесествв и всв' Л вткрьппм. Из теоремы 3 н из принципа двойственности (пересечение дополнений равно дополнению суммы, сумма дополнений равна дополнению пересечения, см. и. 2 Ь' 1 гл. 1) вытекает следующая важная теорема, двойственная теореме 3.
Ь уо Г'водомосэвв. Оо1крноиае и эамкнутне множества Теорема 3'. Сумма любого (конечного или бесконечного) чи<жа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые множества. Множества, принадлежащие о-алгебре, порожденной всеми открытыми и замкнутыми подмножествами пространства Л, называются борелеескими множестпеамш 5. Открытые и замкнутые множества на прямой. Структура открытых и замкнутых множеств в том или ином метрическом пространстве может быть в е с ь и а с л аж н о й. Это относится к открытым и замкнутым множествам даже евклидова пространства двух или большего числа измерений.
Однако в одномерном с эучае, т. е. на прямой, исчерпывающее описание всех открытых множеств (а следовательно, и всех замкнутых) пе представляет труда. Оно дается следующей теоремой. Теорема 5, Всякое открытое множество на числовой п1>ямой представляет собой сумму конечного или с гетного числа попарно непересекающихся интервалов ' ).
Доказательство. Пусть С вЂ” открытое множество на прямой. Введем для точек из С отношение эквивалентности, считая, что х у, если существует такой интервал (о,д)., что х,у 6 (о,Ц) С б. Очевидно, это отношение рефлексивно и симметрично, оно и транзитивпо, так как если х у и у в, то существуют такие интервалы (о, (3) и (у, б), что х,у й (а,)э') С СУ и у,т е (7,6) С С. Но тогда у < 6 и интервал (о,д) лежит целиком в С и содержит точки х и ж Следовательно, С распадается на непересекающиеся классы 1, эквивалентных между собой точек: 0 = О1,.
Докажем, что каждое 1, есть интервал (а, Ь), где а=1пГ 1„, Ьоквпр 1,. Включение 1„С (а, Ь) очевидно. С другой стороны, если х, у Е 1„то по самому определению 1т интервал (х, у) содержится в 1,. В любой близости от а справа и в любой близости от Ь слева есть точки из 1,. Поэтому 1, содержит любой интервал (а', Ь'), концы которого принадлежат (а, 6), откуда 1, = (а, Ь). Система таких непересекающихся интервалов 1„не более чем счетна; действнтильно, выбрав ~ ) Множества вида (-оо, оэ), (а, оо) в ( — оо, й) ны врк этом также вклвэчвеи в число вктерввлов.
70 Рл. ~. Метрические и пгопологические просгпропстоа в каждом из этих интервалов произвольным образом рациональ- ную точку, мы установим взаимно однозначное соответствие между этими интервалами и некоторым подмножеством множества рацио- нальных чисел. Теорема доказана. Г= йР.
Множество г' — замкнутое (как пересечение замкнутых); оно получается из отрезка [О, 1] выбрасыванием счетного чигяа интервалов. 2/3 1 г 213 — — р 7В аг9 О 1/3 О 113 1!9 2/9 Рис. 8 Рассмотрим структуру множества Г. Ему принадлежат, очевидно точки 1 2 1 2 7 8 3' 3' 9' 9' 9' 9'''' [1) -- концы выбрасываемых интервалов. Однако множество г' не исчерпывается этими точками. Действительно, точки отрезка [0,1[, Так как замкнутые множества -- это дополнение открытых, то из теоремы 5 следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается выбрасыванием из прямой конечного или счетного числа интервалов. Простейшие примеры замкнутых множеств — отрезки, отдельные точки и суммы конечного числа таких множеств.
Рассмотрим более сложный пример замкнутого множества на прямой . — так называемое канторовв лгнаггсества. Пусть го — отрезок [О, 1). Выбросим из него интервал 113„кг1г а оставшееся замкнутое множество обозначим Г1. Затем выбросим из г1 интервалы 11- к) и 11-г -) а оставшееся замкнутое множество '19 й) ~9г9) (состоящее из четырех отрезков) обозначим гю В каждом из этих хз четырех отрезков выбросим средний интервал дггины 11-) и т.д. '13) [рис. 8). Продолжая этот процесс, получим убывающую последовательность замкнутых множеств Р"„. Положим 7» 1 2. Скад»»мо»»»»»и.
0»акрин»ил и замкну»пик. множества которые входят в множество г', можно охарактеризовать следунь щим образолс Запишем каждое из чисел х, О < х < 1, в троичной системе счисления х= — + — + .+ — „"+... а» ал а, 3 32 3 где числа а„могут принимать значения О, 1 и 2. Как и в случае десятичных дробей, нокоторые числа допускают двоякую запись. Наприл»ер, -= — + — + + — „+ = — + — + — + + — „+...
1 1 0 ... О,, О 2 2,, 2 3 = 3 3' " ' 3" " ' = 3 3' зз " ' 3" Легко проверить, что множеству г' принадлежат те и только те числа х, О < х < 1, которью могут быть записаны хотя бы одним способом в виде троичной дроби так, чтобы в последовательности а»,..., а„,... ни разу нс встретилась единица. Таким образом, каждой точке х Е Г можно поставить в соответствие последовательность [2) а»,...,а„,. где а„равно О или 2. Совокупность таких последовательностей образует множество мощности континуума. Б этом можно убецизься, поставив в соответствие каждой последовательности [2) последовательность ь„ ..., ь„,..., где 6„ш О, если ап ш О, и Ь„ш 1, если ап = 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
