А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Последовательность [2') можно рассматривать как запись некоторого действительного числа у, О < у < 1, в виде двоичной дроби. Таким образом, л»ы получаем отображение множества Е на весь отрезок [О, 1). Отсюда вытекает, что г' имеет мощность континуума '). Так как множество точек [1) счетно, то эти точки не могут исчерпывать все г'. У и р а ж н е н и я. 1. Доказать невосредственно, что точка 1/4 принвллежит множеству Г, не являясь концом ни одного из выбрасываемых интервалов. Указание.
Точка 1/4 делит отрезок [О, Ц в отношении 1: 3. Отрезок [О, 1/3), остающийся после первого выбрасывания, она делит также в отношении 1: 3 и т.д. Точки (1) называются точками первого рода множества Г, остальные его точки называются точками второго рода. ) установленное соответствие между р и отрезком [О, ц однозначно, но ке взаимно однозначно [вз-за топь что одно и то же число иногда может изображаться различными дробями).
Отсюда следует, что Р имеет мощность вв меньше, чем мощность континуума. Но à — часть отрезка [О, 1), следовательно, вго мощность пе может быть больше, чем иощн»кть континуума. тт Гл. П. Ысгпричсскис и твпсввгичсскис првсгпрвнсщва 2. Доказать, что точки первого рода образуют в г всюду плотное множество. 3. Показать, что числа вида П -Ь 1г, где П, (г Е Е, заполняют весь отрезок [О, 2].
Мы показали, что множество г" имеет моц(ность континуума, т. е. содержит столько же точек, сколько н весь отрезок [О, 1]. С этим фактом интересно сопоставить следующий результат: сумма длин — + — + — +... всех выброшенных интервалов составляет 1 2 4 3 9 27 в точности единицу! Дополнительные замечания. (1) Пусть М вЂ”. некоторое множество в метрическом пространстве В и х —. точка этого же пространства. Расстввяписм сгп щв аси х дв мпвхссствв М называется число р(х, М) = (п( р(х,а).
ем Если х Е М, то р(х, М) ж О, однако из того, что р(х, М) = О, не следует, чта х е М. Из опредюгения точки прикосновения непосредственно получаем, что р(х, М) = О в том и только том случае, когда х — точка прикосновения множества М. Таким образом, операцию замыкания можно определить как присоединение к множеству всех тех точек, расстояние от которых до множества равно нулю. (2) Аналогична определяется расстояние между двумя множествами. Если А,  — - два множества в метрическом пространстве Л, то р(А,В) = 1п( р(а,Ь). еА: сев Если А О В ~ И, то р(А, В) = О; обратное, вообще говоря, неверно. (3) Пусть Мк .— множество всех функций 1 из С[а,6], удовлетворяющих условию Липшица: для всех Ьм 1г Е [а, Ь] [1(И) — П(г)] < К[И вЂ” 1г[, где К вЂ” некоторое фиксированное гнело.
Множество Мк замкнуто. Оно совпадает с замыканием множестиа всех дифференцируемых ва [а, Ь] функций таких, что ]т" (1)[ < К. (4) Множество М = (] Мк всех функций, каждая из которых удовлек творяет условию Липшица при каком-либо К, не замкнуто. Его замыкание есть все С[а,6]. (5) Открытое множество С в и-мерном евклидовом пространстве называется связпььи, если любые две точки х, у Е С могут быть соединены ломаной, целиком лежащей в С. Например, внутренность круга х + р~ < 1 — связное множество.
Наоборот, сумма двух кругов х +уз<1 и (х — 2) +уз<1 1 3. Полном мошрачсссис простронсо»оо — не связное множество (хотя у этих кру» ов есть общая точка прнкосна»»ения!). Открытое подмножество Н открытого множества С называется компонен»поа л»вожаства С, если ова связно н не содержится ни в каком болыпем связном открытом подмножестве С. Введем в С отношение эквивалентности; х у, если существует открытое связное подмножества Н нз С, накрывающее х н у: х,у б Н С С. Как н в случае прямой, легко проверяется транзнтивнасть и поэтому С распадается на непересекающиеся классы: С = О1. Зтн классы — открытыа компоненты С.
Число нх не более чем счетно. В случае и = 1, т.е. на прямой, всякое связное открытое множество ость интервал (в чнспа шггервэлов включаются н бесконечные интервалы (-оа,а), (Ь, оа) и ( — со,аа)). Таким образом, теорема 5 о строении открьпых множеств на прямой состоит пз двух утверждений: а) всякое открытое множества на прямой есть сумма конечного нли счетного числа компонент в б) связное открытое множество на прямой есть интервал. Первое нз этих утверждений верно н для множеств в и-мерных евклндовых пространствах (и допускает дальнейшие обобщения), а второе относится именно к прямо!1. 'З 3.
Полные метрические пространства 1. Определение и примеры полных метрических пространств. С первых шагав изучения математического анализа мы видим, сколь важную роль играет в анализе свойство полноты числовой прямой, т.е. тат факт, что всякая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится к некоторому пределу. Числовая прямая служит простейшим примером так называемых и о л н ы х метрических пространств, основные свойства которых мы рассмотрим в этом параграфе.
Последовательность (х„) точек метрического пространства Л мы будем называть ф»унда»нентальпой, если она удовлетворяет критерию Коши, т. е. если для любого е > О существует такое число»»., что р(хо, х„) < е для всех и' )»»», »»о )»»»». Из аксиомы треугольника непосредственно следует, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Действительно, если 1х„) сходится к х, то для данного е > О можно найти такое число Хю чта р(х„,х) с е/2 для всех и > а»». Тогда р(х„,х„) ( ь. р(х»о,х) + р(хп,х) ( е для любых 7» ) Х» и и ) М». Определен и е 1.
Если в пространстве Л любая фундаментальная последовательность сходится, то зто пространство называется палимо». 74 ре. и. Метрические и савивлвеинсские пространства Примеры. Все пространства, рассмотренные в з1, за исключением указанного в примере 8, полные. Действительно: 1. В пространстве изолированных точек (пример 1 з 1) фундаментальны только стационарные последовательности, т.е. таяне, в которых, начиная с некоторого номера, повторяется все время одна и та же точка.
Всякая такая последовательность, конечно, сходится, т.е, это пространство полно. 2. Полнота евклидова пространства К вЂ” совокупности действительных чисел -- известна из анализа. 3, Полнота евклидова пространства К" непосредственно вытекает из полноты К. В самом деле, пусть (ха ) — фундаментальная по~и) следовательность точек из К"; это означает, что для каждого с > О найдется такое Ж = Ю„что и Е* ( (И (е))з < з ь ь 4=1 при всех р, д Гюльших, чем Дс. Здесь х~ю = (я,',..., х„). Тогда для каждого Й = 1,...,п получаем соответствующее неравенство для коо динаты я~"1: Р ь [х~,ш — х~,е~[ < е для всех р, о > Ю, т.е. (хь ) — — фундаментальная числовая последовательность. Положим хь= 117п х и хт(хы...,яа).
ОО Е-Фсс Тогда, очевидно, 11ш хЫИ И ~вс 4-5. Полнота пространств К„", и К", доказывается совершенно аналогично. б. Докажем полноту пространства С[а, Ь[. Пусть (ка(4)) — некоторая фундаментальная последовательность в С[а, Ь[. Это означает, что для каждого е > О существует такое 7У, что [ха(4) — яв,(4)[ < г при и, гп > Ф для всех с (а < ь < Ь). Отсюда вытекает, что последовательность (ха(4) ) равномерно сходится. Как известно, в этом случае ее предел х(1) будет непрерывной функцией.
Устремляя в предыдущем неравенстве гп к бесконечности, получим [ха(4) — х(7)[ < е для всех 1 и для всех и > Ю, а это и означает, что (ха(Ф)) сходится к х(Ь) в смысле метрики пространства С[а, 6]. 1 3. Полные мспчоинеспие пров!проне!поп 75 7. Пространство 11. Пусть (х!и1) — фундаментальная последовательность в 1з. Это означает, .что,чля любого е > О найдется такое Ж, Ч10 ( ~~!! !пй)з < Ь=! В этой сумме теперь только конечное число слагаемых, и мы мох!ем, зафиксировав и, перейти к пределу при т — ! со.
Получим м (х„— хь) < с. Ь=1 Это равенство верно при любом М. Восстановим бесконечный ряд, переходя к пределу при М вЂ” ! !ю: получаем (х„— х1)з < е. (2) !с=! Из сходимости рядов 2 (х„!)- и 2 (х„— х1,.) следует скодимость (и', з ОО Ь=1 1 — 1 ряда ~„х~~ (в силу элементарного неравенства(а+ь)! < 2(ао, ьз)), 1 — 1 !.е. утверждение а) доказано. Далее, так как е произвольно мало, то неравенство (2) означает. что !!п! ~~(хьп — хь)з = О.
и-псе "!( !ш! П(х!п1,х) т. е. х!"! -+ х в метрике 11. Утверждение б) доказано. р (хе~!,х1~!) = '> (:г'„и — х! )з < е при п,ш > Л'. (1) 1=1 ЗДЕСЬ Х!и! = (Х,"~,...,Х11.'О). ИЗ (1) СЛЕдуЕт, ЧтО Прн ЛЮбОМ Й (х! — хь ) < е, т.е. при каждом й последовательность действительных чисел (х ) фундаментальна и потому сходится. ПолоОО жим х1 = !пп х, . Обозначим через х последовательногть (хо,... ,хы...). Нужно показать, что: сс а) т11 < оо, т.е.:с 611, А — -! б) !ш! р(х!п1,х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
