А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Пдс.чаем это. Пз неравенства (1) следует, что для любом! фиксированного М !И. . Мстаричссаис и шаааасгичесаиа арамаранссааа 8. Легко убедиться в том, что пространство Сз]о, Ь] не полно. Рассмотрим, например, последовательность непрерывных функций р„(!) = при — 1 < ! < — 1/г!, при — 1/и < 1 < 1/и, при 1/и < 1 < 1. Она фундаментальна в Сз] — 1, 1], так как /' М (1) — з (1))'11 < — 1 Однако она не сходится ни к какой функции из Ст] — 1, 1]. Действите.льне, пусть / — некоторая функция из Сз( — 1, 1] и !р — разрывная функция, равная — 1 при ! < О и +1 при ! > О.
В силу интегрального неравенства Минковского (справедливого, очевидно, и для кусочно-непрерывных функций) имеем < ( / (/(!) — !р (!))'а1 + ( / ( (!) — 4'(1))'с(1) — ! -! В силу непрерывности функции / интеграл в левой части отличен от нуля. Далее, ясно, что ! (!!и / (!р„(!) — ьз(!))зб! = О. — 1 Поэтому / (/(1) — !р„(с))зс!! не может стремиться к нулю при — ! и — ! оо. У и р аж н е н ив. Доказать, что пространство всех ограниченных последовательпостей (пример 9 З 1) полно. 2. Теорема о вложенных шарах. В анализе широко используется так называемая лемма о вложенных отрезках.
В теории метрических пространств аналогичную роль играет следующая теорема, называемая т е о р е и о й о в л о ж е н н ы х ш а р а х. Доказательство. Необходимость. Пустьпространство11 полно и пусть В!, Вю Вз,... — последовательность вложенных друг Теорема 1. Для того чтобы метрическое пространство й было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение. 77 1 3, По снеге л<ешрь леение проегпрею:теа в друга замкну сьсх шаров. Пусть гп - — радиус, а:г„-- центр шв; ра Впо Последовательность центров 1хп) фундаментальна, поскольку р!хп, х„) < гп при гв > и, а г„-+ 0 при и, — у сю.
Так как В полно, то 1пп х„существует. Положим х = !пп хп; тогда х 6 ! ) В„. Дейи-у по ус-лео сгвительпо, шар В„содержит все точки последовательности (х„), за исключением, быть может, точек хг,,... хп г. Таким образом, х является точкой прикосновения для каждого шара Вп.
Но так как Вп —. замкнутсге множество, то х е Вп для всех и. Достаточное:ть. Пусть 1хп) —. фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет предел. В силу фундаментальности мы можем выбрать такую то гку хп, нашей последовательности, что р(хп,х„г) < 1/2 при всех и > пг. Примем точку х„за центр замкнутого шара радиуса 1.
Обозначим этот шар Вг. ВыбеРем затем хп, из гхп) так, чтобы было Угз > иг и Р(хп хп,) < 1/2 при всех и > ггг. Примем точку х„, за центр шара радиуса 1/2 н обозначим этот шар Вз. Вообще, если точки хп„..., х„ь уже выбраны (угг « пг,-), то выберем точку т.„,, так, чтобы было пил г > пс и р(х„,хп„,) < 1/2ььг при всех уг > угьтг, и окружим ее замкнутым шаром Вь ьг радиуса 1/2с. Продолжая это построение, получим последовательность замкнутых шаров Вь, вложенных друг в друга, причем шар Вг имеет радиус 1/2ь '. Эта последовательность шаров имеот, по предположению, общую точку обозначим ее х.
Ясно, что эта точка х служит пределом подпоследовательпости 1хп,). Но если фУндаментальнаЯ последовательность содеРжнт. сходящуюся к х подпоследовательность, то она сама сходится к тому же пределу. Таким образом, х = 1гш хп. У и р а ж н е н и я. 1.
Доказать, что пересечение замкнутых вложенных шаров в предыдущей теореме сводится к одной точке. 2. Диаметром множества М в мотрическом пространстве называется число с1!М) = звр р!х, и). *,тем Доказать, что в полном метрическом пространстве всякая последонательность вложенных друг в друга ненустых замкнутых множеств, диаметры которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение. 3. Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нем, имеющей пустое пересечение.
4. Доказать, что надпространство полного метрического пространства В полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто в Л. 1ои !!. !Иееггричеекие и гиоиолоеичеекие ииоеигроиеимо 3. Теорема Бара. В теории полных метрических пространств фундаментальную ропь играет следующая теорема. Теорема 2 (Бар). Полное метрическое пространства Л на может быль представлено в виде объгдинения счетного числа нигде не плотных множеств. Доказательства. Предположим противное.
Пусть Л=о М„, и=! гда каждое из множеств ЛХ„нигде не плотно. Пусть 5а — — некоторый замкнутый шар радиуса 1. Поскольку множество Мы будучи нигде не плотным, не плотно в 5ц, существует замкнутый шар 5! радиуса меньше 11'2, такой, что 5! С 5о и 5! О ЛХ! —— ы. Поскольку множество Мз не плотно в 5ы по той же причине в шаре 5! содержится замкнутый шар 51 радиуса меныпе 1/3, для которого 5з О ЛХз = И н т.д. Мы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров (5„), радиусы которых стремятся к нулю, причем 5„г! ЛХ„= о.
В силу теоремы 1 пересечение ! ) 5„ и=! содержит некоторую точку х. Эта точка по построешпо не принадлеэкггт ни одному из множеств Мои следовательно, т ф ) )ЛХи, т.е. Л ~ ОМ„, в противоречии с предположением. и В частности, всякое полное метрическое прастрипство без извлироввнныя елочек несчетна. Действительно„в таком пространстве каждое множество, содержащее лишь одну точку, нигде не плотна.
4. Пополнение пространства. Если пространство Л не полно, то его всегда можно включить некоторым (и, па существу, единственным) способом в полное пространство. Определение 2. Пусть Л вЂ” метрическое пространство. Полное метрическое пространство Л* называется пополнением пространства Л, если; 1) Л является подпрастранством пространства Л*; 2) Л всюду плотно в Л", т. е. [Л) = Л . (Здесь Я означает, естественно, замыкание пространства Л в Л .) Например., пространство всех действитшп,~ьгх чисел является гюпалненнем пространства рациональных чисел. Теорема 3. 1' яжлое метрическое пространгтво Л имеет пополнение, и чта пополнение елкнстненна с точное:тью до нзаметрин, оставляющей неполюгжными точки из Л.
Доказательство. Начнем с единственности. Нам нужно доказать, что если Л' и Л" — два пополнения пространства Л, 1 3. Полные меиераиесаае аросиерансеиоа 79 то существует такое взаимно однозначное отображение ~р и!7остранства Л' на Л"", что 1) 97(х) =- х для всех х 6 Л; 2) если х.'* = у(х") и у*" = р(у*), то р,(х', у') = рз(х™ у '), где р7 -- расстояние в Л*, а рз -- расстояние в Л". Отображение со определим следующим с7бразом.
Пусть х' -- произвольная точка из Л'. Тогда по определению пополнения существует последовательность (хи) точек из Л, сходящаяся к х*. Точки (х„) входят и в Л". Так как Л'* полно, то (хи) сходятся в Л'* к некоторой точке х". Ясно, что х'* це зависит от выбора последовательности (хи), сходящейся в точке х'. Положим у(х") = х ". Отображение р и есть искомое изометрическое отображение. Действительно, по построению эо(х) = х для всех х Е Л.
Далее, пусть (Хи) -7 Х' В Л' И (Хи) -7Х"' В Л'*, (уа) †> у* в Л' и (у„) -+ у*' в Л"; тогда в силу непрерывности расстояния р7(х',у') = !пп р7(хи,у„) = 1ип р(хи,уи) и-аоо и-еос и, аналогично, рз(х"',у"*) = 1пп рз(хи, у„) = !пп р(х„у„). и — >ос и-+ос Следовательно, р~(х*,у*) = рз(х'", у").
Докажем теперь существование пополнения. Идея этогодоказательства та же, что и в канторовой теории действительных чисел. Положение здесь даже проще, чем в теории действительных чисел, так как там для вновь вводимых объектов — иррациональных чисел — - требуется еще определить все арифметические операции. Пусть Л вЂ” . произвольное метрическое пространство. Назовем две фундаментальные последовательности (хи) и (хи) из Л эквивалентными (обозначение (х„) (х'„)), если 1пп р(хи, хи) = О.
Название и — есо «эквивалентность» оправдано, поскольку это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отсюда следует, что все фундаментальные последовательности, которые можно составить из точек пространства Л, распадаются на классы эквивалентных мелслу собой последовательностей. Определим теперь пространство Л*. За его точки мы примем всевозможные классы эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей, а расстояние между ними зададим слалующим образом. Пусть х' и у' — два таких сл. В.
мсшрпчсскпс и тапеласвчсскис простраистпеа зо класса. Выберем в каждом из этих классов по одному прелставителю, т. е. по некоторой фундамшпальной после;ювательности (хп) и (уп). Положим1) Р(х',У') = йш Р(тп,Уп). (й) Докажем корректность этого определения расстояния, т. е, докажем, что предел (3) су1цествует и не зависит от выбора представителей (хп) 6 х' и (уп) 6 у*. В силу неравенства 1Р(хп: Уп) Р(хп1 У1п)1» Р(Хп;Хп|) + Р(У Упа) (4) получаем, что для всех достаточно больших и, и т ~Р(хп, Уп) — Р(хж, У,)! < Е., так как последовательности (хп) и (уп) фундаментальные.
Таким образом, последовательность действительных чисел чп аа = Р(Хп, Уп) УДОВЛЕтиОРЯЕт КРИТЕРИЮ КОШИ И, СЛЕДОВатЕЛЫЮ, Иьсгст предел. Этот предел не зависит от выбора (хп) Е х' и (уп) Е у*. Действительно, пусть (Хп),(тп) Е Х И (Уп),(У'„) б 7/". Выкладка, в точности аналогичная (4), дает ~Р(Хп, Уп) — Р(х„, У„) ! < Р(хп, х„) + Р(Уп, У„). Поскольку (хп) (х'„) и (уп) (у„'), отсюда следует, что 11ш Р(хп,уп) = )пп Р(х .у ).
п-чоа П->ос Докажем, что в Л" выполнены аксиомы метрического пространства. Аксиома 1) непосредственно вытекает из определения эквивалентности фундаментальных последовательностей. Аксиома 2) очевидна. Проверим аксиому треугольника. Так как в исходном пространстве Л аксиома треугольника выполнена, то Р(х » хп) » <Р(халуп) + Р(уп:сп) Переходя к пределу прин -+ оо, получаем Р(1а вп) » <11П1 Р(хп Уп) + 11ш Р(уп сп)1 п.чса п-чсо п-+со т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
