А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Пространства со счетной базой называкзт также пространстпвоми со второй аксиомой сиен<ногти. Если в топологическом пространгтве Т ил<сел<ся счсптал база, то в нем обязательно имеется с <етное всюду плотное мнозюество, т. е. такое счетное множество, замыкание которого есть все Т. Действительно, пусть 1Си) -- такая база. Выберем в каждом из элементов атой базы пРоизвольнУю точкУ хи. Счетное множество Х = 1х„) всюду плотно в Т, так как в противном случае непустое открьггое множество С = Т'1 [Л) не содержало бы ни одной точки из Х, что невозможно, поскольку С есть сумма некоторых множеств из снпгсмы 1Си), а хи Е С,< Типологические пространства со счетным всюду плотным множеством, как и метрические, называются сепарабельнмми. Для метрических пространств верно утверждение, обратное только что доказанному: 5.

7воологические пвостран .теа э7 Если ме7прическос пространстпво Я сепарабельно, то в Й есть и счетная база. Действительно, такую базу образуют, напримор, открытые шары В(х„, 1(7п), где (х„) -- счетное всюду плотное множество, а п и 7п независимо пробегают все пв1уральные числа. Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 4. Метрическое пространство Й имоет счетную базу тогда и только тогда, когда ооо сеоарабельно. В силу этой теоремы все примеры сепарабещьных метрическнх пространств могут служить и примерами метрических пространств со второй аксиомой счетности.

Несепарабельное пространство ограниченных последовательностей (см. пример 9 'Э 1) не имеет и счетной базы. Заме ч ан и е. Теорема 4, вообще говоря, неверна для произвольных (не метрических) топологических пространств: можно указать примеры сопарабельных пространств без счетной базы. Поясним происходящие здесь явления. Для каждой точки х метрического пространства Л существует счетная система 0 ее окрестностей (например, система открытых шаров В(х, 1/и)), облада1ощая следующим свойством: каково бы ни было открытое множество С, содержащее точку х, найдется окрестность нз системы 11, целиком лежащая в С. Такая система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки х.

Если точка х топологического пространства Т имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполнена первая аксиома счетности, Если это верно для каждой точки пространства Т, то пространство Т называется прос7пранством с первой аксиомой счетности. Всякое метрическое пространство, даже н несепарабельпое, автоматически удовлетворяет первой аксиоме счетности. Однако в произвольном топологическом пространстве (даже если оно состоит лишь из счетного числа точек) первая аксиома счетности может не иметь места. Поэтому те рассуждения, г помощью которых мы для метрического пространства вывели нз наличия счетного всюду плотного множества существование в таком пространстве счетной базы, не переносятся на случай произвольного топологического пространства.

Но даже и в сепарабельном топологическом пространстве с первой аксиомой счетности счетной базы может не быть. Система множеств (М ) называется покрытием множества Х, если () М З Х. Покрытие топологнческого пространства Т, состоящее из открытых (замкнутых) множеств, называется открытым Гл.

П. Метрические и тоиологическис иреяирансигва (эамкнрп1мм) покрытием. Если некоторая часть (М,) покрытия (М„) сама образует покрытие пространства Т, то (М„, ) называется подпокриилнсм покрытия (М ). Теорема 5. Еглп Т вЂ” тоиологическое пространство со счетной базой, то иэ всякого его открытого покрытия можно выбрать конечное или счетное подпокрытие. Доказательство.

Пусть (Ои) — некоторое открытое покрытие пространства Т. Тогда каждая точка х б Т содержится в некотором Ои. Пусть (С„) — счетная база в Т. Для каждого х е Т существует такой элемент С„(х) этой базы, что х Е С„(х) с О . Совокупность выбранных таким образом множеств Си(х) конечна или счетна и покрывает все Т. Выбрав для каждого С„(х) одно из содержащих его множеств О, мы и получим конечное или счетное подпокрытие покрытия (Ои). Теорема доказана.

По определению топологического пространства пустое множество и все пространство Т одновременно открыты и замкнуты. Пространство, в котором нет никаких других множеств, одновременна открытых и замкнутых, называется связным Прямая линия К представляет собой один из простейших примеров связных пространств. Если же из К удалить одну или несколько точек, то оставшееся пространства уже не будет связным. 4.

Сходящиеся последовательности в Т. На топологические пространства легко переносится знакомое нам в случае метрических пространств понятие сходящейся последовательности. Именно, последовательность хы...,х,... точек из Т называется сходящейся к гничке х., если любая окрестность точки х содержит все точки этой последовательности, начиная с некоторой. Однако в топологических пространствах это понятие сходимости не играет той фундаментальной роли, которая ему принаплежит в метрических пространствах.

Дело в том, что в метрическом пространстве Н точка х есть тачка прикосновения множества М С В в том и только том случае, когда в М существует последовательность, сходящаяся к х, тогда как в топологическом пространстве это, вооб|це говоря, не так.

Из того, что х есть точка прикосновения для М (т. е. прин'щлежит [М]) в топологическом пространстве Т не вытекает существование в М последовательности, сходящейся к х. Возьмем в качестве примера отрезок [О, 1] и назовем открытыми те его подмножества (наряду с пустым множеством), которые получаются из него выбрасыванием любого конечного или счетного числа точек. Легко проверить, что требования 1' и 2' (и. 1 З 5) при этом будут выполнены, 1 и Тооологичоскио просотаноо1«а т, е. мы получим топологическое пространство.

В этом пространстве сходящимися будут только стационарные погл~ювательности, т. е. такие, элементы которых, начиная с некоторого номера, совпадают: х„= х„+1 = ... (докажите зто!). С другой стороны, если мы возьмем,например, в качестве М полуинтервал (0,1], то точка О будет для него точкой прикосновения (проверьте!), но никакая последовательность точек из М не сходится к О в нашем пространстве.

Сходящиеся последовательности «восстанавливаютгя в своих правах», если мы рассматриваем не произвольные типологические пространства, а пространства с первой аксиомой счетности, т.е. если у каждой точки х пространства Т существует счетная определяющая система окрестностей. В этом случае каждая точка прикосновения х произвольного множества М С Т может быть прщ1ставлена как предел некоторой последовательности точек из М. Действительно, пусть (0„) -- счетная определяющая система окрестностей точки х. Можно считать, что Оп+~ с 0„(иначе мы заменили бы 0„ п на П Оь).

Пусть хь --. произвольная точка из М, содержащаяся ь=1 в Оь (й = 1, 2,... ). Ясно, что такое хь существует, иначе х не было бы точкой прикосновения для М, Последовательность (хь), очевидно, сходится к х. Первой аксиоме счетности удовлетворяют, как мы отмечали, все метрические пространства. Именно поэтому мы и смогли все такие понятия, как замыкание, точка прикосновения и т.д., сформулировать для метрических пространств в терминах сходимости последовательностей 5. Непреры%ные отображения. Гомеоморфизм.

Понятие непрерывного отображения, введенное нами для метрических пространств в з 1, естественно обобщается на произвольные топологические пространства. Определение. Пусть Х и 1' — два топологических пространства. Отображение ( пространства Х в пространство У называется непрармвньом в точке хо, если для любой окрестности У»о точки уа = Дхо) найдется такая окрестность 1~«, точки хо что т(Ъ; ) С Уо,.

Отображение (: Х вЂ” > У называется нвпрсрмвнььи, если оно непрерывно в каждой точке х е Х. В частности, непрерывное отображение типологического пространства Х в числовую прямую называется непрерывной функцией на этом пространстве. Легко убедиться, что для метрических пространств зто определение действительно превращается в то определение непрерывности рв. П. Меепрппескпс и епвпвлвгпческие првстрвпстве 100 отображения одного метрического пространства н пруте, которое было дано в 01. Данное нами определение носит «локальныйэ характер.

Непрерывность отображения 1 на всем Х определяется через непрерывность 1 н каждой точке. Оказывается, что понятие непрерывности отображения одного топологического пространства в другое можно сформулировать в терминах открытых множеств, т.е. в терминах топологии этих пространств.

Характеристики

Список файлов книги