А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Мега!гическгге и типологические кростраистоа Множее"пт, принадлежащие системе г, называются открытыми. Так же как метрическое пространство есп совокупность множества точек - «носптеегя» и ввещенной в зтом множестве метрики. топологичес кое пространство есть совокупность множества точек и введенной в нем топологии. Таким образом, задать топологическое пространство -- зто значит задать некоторое лшожество Х и задать и нем топологию т, т, е, указать те подмножества, которые с штаготся в Х открытыми, Ясно, что в одном н том же множестве Х можно вводить разные топологниг превращая его тел! самьж! в различные топологические пространства.
И все же топологическое пространство, т.е. пару [Х, т), мы будем обозначать одной буквой. скажем, Т. Элементы топологического пространства мы будем называть тв !хами. Множества Т~гС, дополнительные к открытым, называк>тся замкнуглыми множествами топологического пространства Т.
Из аксиом 1' и 2' в силу соотношений двойственности [9 1 гл. 1) вытекает, что: 1. Пустое множество го н нсе Т замкнуты. 2. Пересечение любого [конечного или бесконечного) числа и сумма конечного числа замкнутых множеств замкнуты. На основе зтих определений естественно внодятся во всяком топологическом пространстве понятия окрестности.
точки прнгееггновения, замыкания множества и т.д. Именно; Окрестностью точки х й Т называется всякое открытое множество С с Т, содержащее точку х; точка х е Т называется точкой прикосновения множества ЛХ С Т, если каждая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку нз М; х называется предельной точкой множества ЛХ, если каждая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку из ЛХ, отличную от х.
Совокупность всех точек прикосновения множества М называется замыканием множества М и обозначается символом [ЛХ[. Легко доказать [провелпте вто доказательство), что залекнутые мнажееглва [определенные наът выше как дополнения открытых). и только вни, удовлетворяют условию [ЛХ[ = ЛХ. Как и в случае метрического прастранспева, [ЛХ[ есть наименьшее зпмкггугпве мггвзюееггпво, содержащее ЛХ. Упражнение. Докажите, что операция замыкания [ЛХ], определенная с помощью топология, обладает свойствами 1)-4). сформулированными в теореме 1 9 2. П р и м е р ы.
1. В силу теоремы 3' 9 2 открытые множества во всяком метрическом пространстве удовлетворшот аксиомам 1' и 2' определения топологического пространства. Таким образом, всякое метрическое пространство являет<'я и топологическим пространством. 1 а Роиологочгоиьг гтоотраиотоо 2. Пусть Т вЂ” произвольное множество. Будем считать открытыми все его подмножества. Аксиомы 1' н 2' при этом, очевидно„ выпг1лнены, т.е. мы дсйствигельпо гкшугаеы топологи исков прог траиство. В нем все мпожестггв одновремешго и открыл ы. и замкнуты, и, значит, каждое пз них совпадает го своим замыканием. Такой дискретной топологией об.падает, например, метрическое пространство, указанное в примере 1 5 1.
3. В качеств11 другого крайнего случая рассмотрим в произвольном множестве Х тривиальную тонологню, состояпгую только из двух множеств: всего Х и пустого множества И. Здесь замыкание каждого непустого множества есть все Л . Такое топологическое пространство можно назвать «просгпрпнстаом слиггигихся точекк 4. Пусть Т состоит из двух точек и и Ь, причем открытыми множествами мы считаем все Т, иугтое множество н множество, состоящее нз одной точки Ь. Аксиомы 1' и 2' здесь выполнены. В этом пространстве (которое часто называют связным двоеточием) замкнуты такие подмножества: все Т, пустое множество и точка а. Замыкание одноточечного множества (и) есть все Т. Упражнение.
Постройте все топологии в пространстве Х, состоящем из двух, трех, четырех и пяти точек. 2. Сравнение топологий. Пусть па одном и том же носителе Х заданы две топологии т, и тг (тем самым определены два топо- логических пространства: Т1 = (Л, т,) и Тз = (Х,та). Мы скажем, что топология т1 сильнее, или тоньше топологии тз, если систелга множества тг содержится в т,. Про топологию тг при этом говорят, что она слпбее., или грубее, чем т,. В совокупности всех возможных топологий множества Х естественным образом вводится частичная упорядоченность (топология тт предшествует т1, если она слабее, чем т1 ). В этой совокупности топологий есть максимальный элемент -- топология, в которой все множества открыты (пример 2), — - н минимальный — топология.
в которой открыты только все Х и чо (пример 3). Теорема 1. Пересечение произвольного множества топологий т = ()т в Л' есзь топология в Х. Эта топология т слабее любой а из топологий т„. Доказательство, Ясно, что П го содержит Л и О. Далее, из того, что каждое т„замкнуто относительно взятия любых сумм и конечных пересечений, следует, что этим свойством обладает и г=Пто. 4 -1524 бс П. Мотрккеекко и токологкчоскко крооскрокоткоо С ледствне. Пусть% — произвольный запасподмножеств множества Х; тогда существует минимальная топология в Х, содсрмсащая З. Действительно, топологии, содержащие ПЗ, существуют (например, та, в которой все А с Х открыты). Пересечение всех топологий, содержащих З, и есть искомая.
Эта минимальная топология называется топологией, поролсденной системой зо, и обозначается т(В). Пусть Х вЂ” произвольное множество и А — его подмножество. Следом системы множеств З на подмножестве А называется система Зл, состоящая из подмножеств вида А П В, В Е З. Дегко видеть, что след (на А) топологии т (заданной в Х) является топологией тл в А. Таким образом, всякое подмножество А любого топологического пространства само оказывается топологическим пространством. Топологическое пространство (А, тл) называется подпространством исходного топологического пространства (Х, т).
Ясно, что две различные топологии, тс и тг, в Х могут порождать одну и ту же топо.иогию в А с Х. Топология тл называется относительной топологией в А. 3. Определяющие системы окрестностей. База. Аксиомы счетностн. Как мы видели, задать в пространстве У топологию — зто значит задать в нем систему открытых множеств. Однако в конкретных задачах бывает удобно задавать не всю топологию, а лишь некоторую ее часть, т.е. некоторый запас открытых множеств, по которому однозначно определяется совокупность всех открытых подмножеств. Так, например, в метрическом пространстве мы ввели сначала понятие открытого шара (е-окрестности), а затем определили открытые множества как такие, в которых каждая точка содержитсн вместе с некоторой своей шаровой окрестностью.
Иными словами„в метрическом пространстве открыты те и только те множества, которые можно представить как суммы открытых шаров (в конечном или бесконечном числе). В частности, на прямой открыты множества, представимые в виде сумм интервалов, и только они. Эти соображения приводят нас к важному понятию базы топологического пространства. Оп р еде лен ие. Совокупность б открытых подмножеств называется базой гаопологии пространства Т, если всякое открытое множество в 7' может быть представлено как гумма некоторого числа (конечного или бесконечного) множеств из Е. Так, например, совокупность всех открытых шаров (с произвольным центром и радиусом) образует базу в метрическом пространстве.
В частности, система всех интервалов — база на прямой. Базу 1 ги Топопогоккокик прокгпронкгпво на прямой образуют и одни только интервалы с рапионэльными концами, поскольку в виде суммы таких интервалов можно представить любой интервал, а значит, и любое открытое множество на прямой. Итак, топологию т пространства Т можно задать, указав в этом пространство некоторую ее базу 6; эта топология т совпадает с совокупностью множеств, представимых как суммы множеств из й.
Всякая база 0 в топологическом пространстве Т = (Х, т) обладает следующими двумя свойствами; 1) любая точка х Е Л сггдкрзюится хотя бы в одном С Е 6; 2) если х содерзгсгггпгж в нервов"щнии двух мнвзюеспгв Сг и Са из Ц, то сущесгпвуегп такое Сз к гу„что х к Сз С С1 й Ст. Действительно, свойство 1) прог:то означает. по все Х, будучи открытым, должно представляться как сумма каких-то множеств из й, а 2) вытекает из того, что Сг О Са открыто и, следовательно, есть сумма каких-то элементов базы. Обратно, пусть Л -- произвольное множество и й — - система подмножеств в Л, обладающая свойствами 1) и 2).
Тогда совокупность множеств, представимых как суммы множеств из й, образует в Х топологию (т.е, удовлетворяет аксиомам 1' и 2' определения топо- логического пространства). Действительно, пусть т(м) †- совокупность всех множеств из Х, представимых как суммы множеств из й. Тогда пустое множество') и все Х принадлежат т(б') и сумма любого числа множеств из т(й) также принадлежит г(й). Покажем, что пересечение любого конечного числа множеств из т(0) принадлежит т(рй).
Д<ютаточно проверить это для двух множеств. Пусть А = () С„и В = () Св, тогда о в А О В = () (С„О Св). Из условия 2) «лелует, что каждое С О Сд а,р содержится в т(й). Но тогда и А О В б т(й). Итак, мы получаем слег ующий результат. Теорема 2. Для того чтобы система б подмножества С множества Х была базой некоторой топапг>гин в Х необходимо и достаточно, чтобы 6 облапали свойгтвамн 1) и 2). Пусть теперь в пространствеТ задана некоторая фиксированная топология т. Взяв в Т некоторую систему й открытых множеств, обладающую свойствами 1) и 2), и приняв ее за базу, мы очевидно получили в Т топологию т(б), или совпадаюпгую с исходной топологией т, или более слабую.
Установим условия, при которых б порождает именно данную топологию т. ) Оно гюлучается как сумма пустого множества элементов системы м. рл. , Мго<рические и тиоиологические ирестраиси<еа Теорем а 3. Для того чтобы система 6 С С была базой данной топологии т, необходимо и достаточно следующее условие: 3) для каждого открытого множества С и каждой точки х Е С суп<ествует такое С Е 'и', что х Е С С С.
Доказательство. Если условие 3) выполнено, то всякое открытое множество С представимо в виде кеС т. е. 6 есть база топологии т. Обратно, если й есть база топологии т, то всякое С Е т представимо в виде суммы множеств из Д, а тогда для всякого х Е С найдется таксе С, Е м, что х Е С, С С.
У ар аж пение. Пусть 6< и бз -- две базы в Х (т. е. две системы множеств, удовлетворяющих условиям 1) н 2), а т< н тз, — определяемые нми топологии. Докажите, что т< С тз в том и только том случае, если для любого С< Е Я< и любой точки х. Е С< существует такое Сз Е <зз, что хЕ<ззСС<. О помощью теоремы 3 легко установить, например, что во всяком метрическом пространстве совокупность всех открытых шаров образует базу его топологии.
Совокупность всех шаров с рациональными радиусами также представляет собой базу. На прямой базой может служить, например, совокупность всех рациональных интервалов (т. е, интервалов с рациональными концами). Важный класс топологических пространств образуют пространства со счетной базой, т,е. такие пространства, в которых существует хотя бы одна база, состоящая не более чем из счетного числа множеств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
