А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тихонов, которому принадлежит и само понятие вполне регулярного пространства, показал„что класс вполне регулярных пространств совпадает с классом всех подпространств нормальных пространств. С точки зрения анализа вполне регулярные пространства важны потому, что на всяком таком г!ространстве имеется «достаточно много» непрерывных функций, именно, для любых различных точек х, у вполне регулярного пространства Т существует определенная на Т непрерывная вещественная функция, принимающая в этих точках различные значения. 7. Различные способы задания топологии в пространстве.
Метрнзуемость. Самый прямой способ задать топологию в некотором пространстве состоит в товп чтобы непосредственно указать ') Свойство !» называется наследсюееннмм, если из того, что им обладает данное топологическое пространство Т, следует, что им обладают и все его подпространстна. з) Этот (совсем не очевидный) факт вытекает из следующей теоремы П. С. Урысона: если 'à — нормальное пространство и Гы Рз — два его непересекающихся замкнутых подмножества, то на Т существует непрерывная функция, !" (О < у(я) < 1) равная нулю на Рг и единице на Гт. 106 !в. П.
Метрические и токаев<ические яро< о<рокотов те множества, которые мы считаем открытыми. Набор этих множеств должен удовлетворять требованиям 1' и 2' (см. п. 1 5 5). Равносильный этому двойственный способ — указать набор зал<кнуть<х множеств. Такой набор должен, очевидно, удовлетворять условиям 1 и 2 (и. 1, ч 5). Однако фактически этот способ редко может быть применен.
Так, например, даже в случае плоскости вряд ли можно дать непосредственное описание в с е х открытых подмножеств (как это удается сделать для прямой (теорема 5 з 2)). Распространенный способ задания топологии состоит в выборе некоторой базы; фактически именно так и вводится топология в метрических пространствах, где мы, опираясь на метрику, задаем базу — совокупность открытых шаров. Еще один из возможных способов задать топологию в пространстве — это ввести в нем понятие сходимости.
Однако за пределами метрических пространств такой способ не всегда удобен, поскольку, как уже указывалось в и. 4, не всегда переход от множества к его замыканию можно описать в терминах сходящихся последовательностей. Этот способ можно сделать универсальным, обобщив соответствующим образом само понятие сходящейся последовательности (см., например, [29], гл. 2). Можно ввести в пространстве топологию, определив в нем аксвоматически операцию замыкания, Именно, говорят, что в множестве Х задана опера<4пв эавемкаиил, если каждому .4 С Х поставлено в соответствие некоторое множество [А] С Х, называемое о<смыкание м А, причем операция перехода от А к [А] обладает свойствами 1) -4), указанными в теореме 1 з 2. Определив после этого замкнутые множества как те, для которых [А] = А, легко показать, что этот класс множеств удовлетворяет условиям 1 и 2 (п.
1 з 5), т.е. действительно определяет в Х топологию. Задание метрики — один из важнейших способов введения топологии, хотя и далеко не универсальный. Как мы уже видели, всякое метрическое пространство нормально и удовлетворяет первой аксиоме счетности. В пространстве, лишенном хотя бы одного из этих двух свойств, топологию нельзя задать с помощью какой бы то ни было метрики Определение. Топологическое пространство 7 называется мешрпзуемььи, если его топологию можно задать с помощью какой- либо метрики. В силу только что сказанного нормальность пространства и первая аксиомасчетности представляютсобой необходимые условия метризуемости пространства. Вместе с тем ни каждое из этих 107 г в. Компактность условий в отде чьностн, ни даже их совокупность н едо с тато ч н ы для метризуемости пространства, Однако имеет место следующая теорема, принадлежащая П.
С. Урысону: Для того чтобы топологическое проспгранство со счетной базой было метпризргмо, необходимо и достагаочно, чтобы оно было нормально. Необходимость этого условия ясна; доказательство достаточности имеется, например, в !2~. З 6. Компактность 1. Понятие компактности. Фундаментальную роль в анализе играет следукицнй факт, известный под названием леммы Гейне- Бореля: Из любого покоыпии1 отрезкл [а, о! числовой прямой интервалами можно выбрать конечное подпокрытие, Это утверждение останется справедливым, если вместо интервалов рассматривать любые открытые множества: из всякого открытого покрытия отрезка !а, Ь] можно выделить конечное подпокрытие, Отправляясь от этого свойства отрезка числовой прямой, введем следующее важное понятие. Определение.
Топологическое пространство Т называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечноее полпокрытие. Компактное топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Хаусдорфа, называется компакгпом. Как мы увидим ниже, свойством компактности наряду с отрезками обладают все замкнутые ограниченные подмножества евклидова пространства любой конечной размерности. Наоборот, прямая, плоскость, трехмерное пространство служат простейшими примерами некомпактных пространств. Назовем некоторую систему подмножеств (А! множества Т цент- и рированной, если любое конечное пересечение П А; членов этой сипы стемы не пусто. Из сформулированного определения компактности и соотношений двойственности вытекает следующая теорема.
108 Гл. и. Мепьртьнескив и пьопологииеские простпранстпва Теорема 1. Для того чтобы тонологнческое пространство Т было компактным, необходилто и достаточно, чтобы оно удовлетнорялтз условию: (Н) каждая дентрироианнвя сит:тема его замкнутых подмножеств имеет непугтое пересечение. Действительно, пусть (Г ) — центрированиая система замкнутых подмножеств в Т и пусть Т компактно. Множества С = Ть,Г„ стгкрыты, причем из того факта, что никакое конечное пересечение и П Г, не пусто, следует, что никакая конечная система множеств ,т=- ь С; = Т ~ Г; не покрывает все Т. Но тогда и все С не образуют покрытия (коььпактность!), а зто значит, что П Г„ф ьо.
Итак, если Т компактно, то в нем условие (Л) выполнено. Обратно, пусть Т удовлетворяет условию (71) и С -- открытое покрытие пространства Т. Положив Г = Ть С, получим, что П Г = я, откуда следует (условие (ге)), что система (Г ) не может быть центрированной, т.е. существуют такие Гь,... ь Г„, что П Г; = ьо. Но тогдасоответсть=ь вующие С, = Т',Г, образуют конечное подпокрытие покрытия (С„). Итак, условие (гт) равносильно компактности. Установим некоторые основные свойства компактных пространств. Теорема 2. Если Т вЂ” — компактноепространство, то каясдоеего бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.
Доказательство. Если Т содержит бесконечное множество Х, не имеющее ни одной предельной точки, то в нем можно взять счетное множество Хь = (иы хз,... ), также не имеющее ни одной предельной точки. Но тогда множества Х„= (т„,тп~ ы...) образуют центрироваиную систему замкнутых множеств в Т, имеющую пустое пересечение, т.е.
Т не компактно. Теорема 3. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно. До к аз атель ство. Пусть à — замкнутое подмножество компактного пространства Т и (Го) — произвольная центрированная система замкнутых подмножеств подпространства Г С Т. Тогда каждое Г замкнуто и в Т, т.е. (Г ) — центрированная система замкнутых множеств в Т. Следовательно, П Г ф з. В силу теоремы 1 отсюда следует компактность Г. Поскольку подпространство хаусдорфова пространства само хаусдорфово, отсюда получаем: ~ и, Г<плтпхгнгмгп~ь Следе г в и е. Замкнутое ггодмножсстпо колпипгта есть компакт. Теорема 4, Комтист тявкнут в любом содержащетг его хаусдорфовом пространстве. Доказательство. Пусть К вЂ”.
компактное множество в хаусдорфовом пространстве Т и пусть й ф К. Тогда для любой точки к б 1< существуют окрестность О' точки я и окрестность г; точки й такие, что У,аЪ; =-а. Окрестности (У, образуют открытое покрытие множества К. В силу компактности К из него можно выделить конечное подпокрытие У„,..., У,„.
Положим Г =!г, О О [Гг„. Тогда 1 — окрестность точки й, не пересекающаяся с Гг, 0 .. О С' „г К. Следовательно, у ф ~К1 и, значит, К замкнуто. Теорема доказана. Теоремы 3 и 4 показывают, что в классе хаусдорфовых пространств компактность есть внутреннее свойство гй>остранства, т, е. всякий компакт остается компактом, в какое бы более гнирокое хаусдорфово пространство мы его ни включали. Теорема 5. Всякий компакт представляет собой нормальное пространство. Доказательство. Пусть Х и У вЂ” два непересекающихся замкнутых подмножества компакта К. Повторив рассуждения, проведенные в доказательстве предыдущей теоремы, легко убедиться в том, что для каждой точки у Е Г существуют такая ее окрестность ггз и такое открытое множество Оц .г Х, что бг„П О, Тем самым доказано, что всякий компакт регулярен.
Пусть теперь у пробегает множество г'. Выберем из покрытия ~Уз~ множества з' конечное подпокрытие Ую,..., 11ап Тогда открытые множества будут удовлетворять условиям О~ц ЭХ, Орй эУ и О~г~пОрй =з, а зто и означает нормальность. 2. Непрерывные отображения компактных пространств. Непрерывные отображения компактных пространств, в частности, компактов, обладают рядом интересных и важных свойств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
