А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Теорема 2. Для того чтобы метрическое пространство Л было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было одновременно: 1) вполне ограниченным, 2) полним. До к аз а тел ь от в о. Необходимость полной ограниченности уже отмечалась. Необходимость полноты очевидна: в самом деле, если (хн) — фундаментальная последовательность в Л, не имеющая предела, то эта последовательность не имеет в Л ни одной предельной точки. Покажем теперь, что если Л вполне ограничено и полно, то оно компактно. В силу следствия из теоремы 1 для этого достаточно установить,что Л счетно-компактно,т.е.что всякая последовательность 1х„) точек из Л имеет хотя бы одну предельную точку. Построим вокруг каждой из точек, образующих 1-сеть в Л, замкнутый шар радиуса 1. Так как эти шары покрывают все Л, а число их конечно, то по крайней мере один из них, назовем его В1, 0) содержит некоторую бесконечную подпоследовательность х( ),...
..., х„,... последовательности (ха). Далее, выберем 1)'2-сеть в В1, (1) и вокруг каждой из точек этой сети построим замкнутый шар радиуса 1/2. По крайней мере один из этих шаров, назовем его Вг, содержит бесконечную подпоследовательность хг,, хи,... после- (2) (г) довательности 1хн ). Далее, найцем замкнутый шар Вз с центром (1) в Вг радиуса 1/4, содержащий бесконечную подпоследовательность (з) (2) (2) х( ),..., я(, ),... последовательности 1к~„)) и т.д.
Рассмотрим теперь наряду с каждым шаром В„замкнутый шар А„с тем же центром, З П Комлекс>ностлв а >ае>лрнчесаис вросшранстваа но в два раза большего радиуса. Легко видеть, что шары А, вложены друг в друга. В силу полноты прогтранс тва Л пересечение [ ) .4а л=! не пусто и состоит из одной точки хо. Эта точка — предельная для исхсщной последовательности [хл), так как каждая ее окрест>юсть содержит некоторый шар В>н а значит, н бесконечиук> позшоследовательность [х„ ) последовательности [я„).
(ь> 3. Предкомпактные подмножества в метрических пространствах. Понятие предкомпактности, введенное нами в предыдущем параграфе для подмножеств произволыюго топологического пространства, применимо, в частности, к подмножествам метрического пространства. При этом, очевидно, понятие счетной предкомпактностн совпадает здесь с понятием предкомпактногти.
Отметим следующий простой, но важный факт. Теорема 3. Для того чтобы множество ЛХ, лежащее> и полном метрическом пространстве Л, было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы опо было вполне ограниче>п>ым. Доказательство сразу следует из теоремы 2 и того очеви;шого факта, что замкнутое подмножесгво полного метрическси.о пространства салю полно. Значение этой теоремы состоит в том, что, как правило, легче установить полную ограниченность того или иного множества, чем непосредственно доказать его предкомпактность.
Вместе с тем для применений в анализе важна обычно предкомпактность. 4. Теорема Арпела. Вопрос о компактности того нлп иного множества в метрическом пространстве . довольно распространенная в анализе задача. Л>ежду тем, попытка непосредственно применить теорему 2 сталкивается с трудностями. Поэтому для множеств в конкретных пространствах полезно дать специальные критерии компактности (илн предкомпактности), более удобные на практике. В и-мерном евклидовом пространстве предкомпактность множества равносильна, как мы видели, его ограничеш>ости.
Однако дпя более общих метрических пространств это уже неверно. Одним из важнейших в анализе метрических пространств является пространстно С[а, В). Для его подмножести важный и часто используемый критерий предкомпакпкюти доставляет так называемая теорема Арцвла. Чтобы ее сформулировать, нам понадобятся следующие понятия. Семейство Ф функций >>с, определенных на некотором отрезке [и, >>), называется равномерно перс>ниченнь>м, если существует такое гто !Зс !!. гс!атгтчсскис к вшпссссвчсскис врострвис1соп !исло К.
что ]!р(х)] < К для всех х е [а, Ь] н всех ~р 6 Ф. Семейство Ф = (у) называется раеностепенно непрерывньсм, если для каждого е > О найдется такое д > О, что [ р(х!) — р(ктН < е для всех х! и хз из [а, Ь] таких, что р(хм хз) < д, и для всех ус й Ф. Теорема 4 (Ар цела). Для того чтобы семейство Ф непрерыв ных функций, определенных на отрезке [а, Ь], было предкомнактно в С[а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы зто семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Доказательство. Необходимость.
Пусть семейство Ф предкомпактно в С[а, Ь]. Тогда по предыдущей теореме для каждого положительного е в семействе Ф существует конечная е/3-сеть уы..., усы Каждая нз функций ~р!, как непрерывная функция на отрезке, ограничена: [~р!(и)~ < К,. Положим К = !пах К, + е/3. По определению е/З-сети, для всякого ы ~ Ф имеем, хотя бы лля одного !ро р(!р, р,) = шах [!р(т) —;ру(х)] < е/3. Следоватольно, ~р(т)[ < ]~р!(х)[ + с < К! + -" < К Итак, Ф равномерно ограничено. Далее, так как каждая из функций ~р!, образующих е/З-сеть, непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна на [а, Ь], то для данного е/3 существует такое Бь что ]ус, (х! ) — р!(хз) [ < е/3, если ]х! — хз~ < Ь!.
Положим 6 = шш3!, Для произвольной функции ус Е Ф выберем ус! гак, чтобы р(ус, <р!) < е/3; тогда при ]х! — та[ < д будем иметь ['р1(х1) ус(из)! ~ ~[~р(к1) 'р'ь(х1)[ + [гх(х!) у з(тз)[+ + )<р!(кз) — ус(к )[ < е/3+ е/3+ е/3 = е. Равностепенная непрерывность Ф также доказана. До с тат о ч ность. Пусть Ф вЂ” равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное семейство функций.
В силу теоремы 3 лля доказательства его предкомпактности в С[а, Ь] достаточно показать, что при любом е > О для него в С[а, Ь] существует конечная е-сеть. з 7. Ксмпсктнссспь в мсп>ричсскит пространствах Пусть [>д(х)[ < К для всех сз б Ф и пусть д > О выбрано так, что >ч>(х>) — >>с(х )[ < е/5 при [х> — хч[ < б для всех р б ф. Разобьем отрезок [а,Ь[ на оги х точками хе — — а> < х> « х„= Ь на промежутки длины мсныпе б и проведем через зтн точка вертикальные прямые.
Отрезок [ — К,К) па оси И разобьем точками Уе = — К < И> « . у = К на промежутки длины меньше е/5 и проведем черсз точки деления горизонтальные прямые. Таким образом, прямоугольник а < х < Ь, — К < у < К разобьется на ячейки с горизонтальной стороной меньше б и вертикальной стороной меныпе е/5, Сопоставим теперь каждой функции чз б Ф ломаную ф(х) с вершинами в точках (х>оп>), т. е.
в узлах построенной сетки, и уклонякицуюся в точках х>, от функции >р(х) меныпе, чем па е/5 (существование такой ломаной очевидно). Поскольку по построению [р(хс) — 6(хь)) < «/5, [>р(хьь>) -- Ф(хь».)[ < я/5, [; (: ) — р(хь >П < е/5, то ~>Ь(х>;) — >р(х>ы >)~ < Зг/5. Так как между точками х>. и х>ы> функция ф(х) линейна, то [ф(хь) — ф(х) ~ < 3 е/5 для всех х б [с>,, хьч.>).
Пусть теперь х — произвольная точка отрезка [и, Ь) и хь ближайшая к х слева из выбранных нами точек деле>шя. Тогда />р(х) — ф(х) [ < /~р(х) — чз(хь) > + !зз(хь) — >/>(хь) [ + [>/>(х>.) — ф(х)[ < «. Следовательно, ломаные ф(х) по отношению к Ф образуют «-ссть.
Число их, очеиидно, конечно; таким образом, Ф вполне ограничено. Теорема полностьк> доказана. б. Теорема Певно. Покажем, квк применяется теорема Арцепа иа примере следующей теоремы суп>есгвонания дия обыкновенных дпффереицивльпых уравнений с непрерывпоИ правоИ частью.
Теорема 5 (Певи о). Лугть дено дифференциппы>ое уриниение -- —. /(х, И). (й) Если функция / непрерывна в пекгсгорой ограниченной замкнутой области б, то через каждую впутранин>ю точку (хс, ус) этой облвгти проходит хотя бы одни интегральная кривая данного уравнения. Доказательство. Так как функция / непрерывна в ограниченной замкнутой облагтн, то оиа ограничена: [/(х, у) [ < М = гопак !о.
11. Метрические и и»аналогические простпраистпоа Проведем через точку (ха, йа) прямые с угловыми коэффициентами М и — М. Проведем, далее, вертикальные прялтые х = и и х = 6 так, чтобы отсекаемые ими два треугольника с общей вершиной (ха, уа) целиком лежали внутри области С. Эта пара треугольников образует замкнутое множество »л. Построим теперь для данного уравнения так называемые ломаные Эйлера следующим образом:проведем из точки (ха,уа) прямую с угловым коэффициентом /(ха, уа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
