А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 27
Текст из файла (страница 27)
На этой прямой возьмем некоторую точку (хт, у») и проведем через нее прямую с угловым коэффициентом у(х», Ьч). На этой прялюй возьмем точку (хг, рг), проведем через нее прямую с угловым коэффициентом т'(хг, у ) и т д. 1'ассмотрнм теперь по»;ледовательность ломаных Эйлера Бт,..., Е,..., проходящих через точку (ха,ра), таких, что длина наибольшего нз звеньев линни бл стремится к нулю прн ге -л оо. Пусть ул -- функция, график которой есть линия б».
Функции гр»,..., игл,... обладают следующими свойствамн: 1) они определены на одном и тол» же отрезке )о, Ь], 2) они равномерно ограничены, 3) онн равностепенно непрерывны. На основании теоремы Арцела из последовательности (грл) можно выбрать равномерно сходящуюся посотедовательность. Пусть зто будет последовательность »ор~,..., у1Ы,...
Положим»о(х) = 1ппу~щ(х) прп Ь -+ оо. Ясно, что»о(ха) = ра. Остается проверит»ч что чт удовлетворяет на отрезке )п, Ь) данному дифферанцизльному уравнению. Для этого требуется показать, что для лтобого е > О ) р(,) р( ) — у(х, у (х )) ! < е, если только величина )х ' — х') достаточно мала. Для доказательства этого в свою очередь нужно установить, что при достаточно больших й ~ гры1(Хо) — ут~ г(Х'), 1Ю хо — т' если только разность )х — х ) достаточно мала. Так как »' непрерывна в области С, то для любого е > О найдется такое »1>О, что у(х', у') — е < ((х, у) < у(х',р') -ь е, у' =- х(х'), если )х — х ) <2»1 н )у — у) <4Мт1.
Совокупность точек (х, й) Е С, удовлетворяюв»ик этим двум неравенствам, представляет собой некоторый прямоугольник 4). Пусть теперь К настолько велика, что для всех )е > К )»о(х) — лт ~(х)) < 2Мт) 7. Кимаохнтооть о моп1рочогхих пространствах и все звенья ломаной 7 о имеют длину меньше у. Тогда при [х — х'] < йу все ломаные эйлера ооыЦ для которых ь > к, целиком лежат внузри Я. Далее, пусть (ао, Ьо),, (а„+ь Ь +1) - — вершины ломаной Е~., причем ао~(х'<а1<а < <а„<хоьа+1 (мы для определенности считаем хо > о; аналогично рассматривается случаи х ( х ), тогда для соответствующей функции оо~ 1 имеем у~ 1(ао) — 1о~ ~(х ) = 7'(ао, Ьо)(а~ — х ), Оо~~~(аеы) — р~ы(а;) = Да„Ь,)(а,ь1 — а,), 1= 1,...,п — 1, 1о1 ~(х ) — у1 1(а ) = 7(а„,Ь )(х — а„), Отсюла при ]хо — х'[ < 77 получаем [7'(х, у ) — гЦа1 — х ) ( у (а1) — у (х ) ( [)(х, у ) + оЦа1 — х ), [7'(Х,у') — ГЦаою — а;) < ~р~ (ас Ы) — ОО" (а,) < < [У(х',у')+сЦа;+, — а,); [7(х,у ) — гЦх — а ) ( 1о (х ) — 1о (а„) ( [7(х,у ) + еЦх — а„).
Суммируя зти неравенства, находим [7(х,у) еЦх х)(Оо (х ) 1о (х)([7(х,у)+еЦх х). что и требовалось доказать. Разные подпоследовательности ломаных Эйлера могут сходиться к разным решениям уравнения (3). Позтому решение уравнения у' = 7 (х, у), проходящее через точку (хо; уо), вообще говоря, не единственно. 6. Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов. Для отображений метрического пространства в метрическое пространство, в частности, для чисчовых функцнй на метрических пространствах, наряду с понятием непрерывности имеет смысл важное цля анализа понятие равномерной непрерьппюсти: отображение г' метрического пространства Л в метрическое пространство у' называется равномерно непрерыенььи, если лля каждого г>0 найдется такое Б>0, что рх(г'(х~), г'(хз)) <г как только р1(хм хо) ( Б (здесь р1 -- расстояние в Л, а рх — расстояние в )'), причем б зависит только от с, но пг от х1 и хз.
Упражнение. Показать, что числовая функпня г(х) = кар х(1) равномерно непрерывна ца пространство С[а, Ь]. <геь Для непрерывных отображений метрических компактов имеет место слгдуннцая теорел1а, обобщающая хорошо известную из элементарного курса анализа теорему о непрерывных 4 ункциях на отрезке. !л. П. Мгтрачагаиг а пгаггалагичеакие ауагтараааама Теорема 6. Непрерывное отображение метрического компакта в метрическое пространство ранномерно непрерьшно.
Доказательство. Пусть отображение Е метрического компакта К в метрическое пространство М непрерывно, цо не равномерно непрерывно. Это значит, что для некоторого. > О и каждого натурального и найдутся в К такие точки х„и ха, что р1(х„, х'„) < < 11гг и в то же вРемЯ Рт(Е(ха), 1'(х'„)) > е (Рг — Рагттоание в К, 1уг — расстояние в И1). Из последовательности (т„) в силу компактности К можно выбрать цодпоследовательность (х„„), сходяшугося к некоторой точке х е К.
Тогда в (х'„„) сходится к х; но при этом для каждого й должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств рз(Цх), Е(хаг)) > е/2; р (Г(х), Г(х'„,)) > е/2, что противоречит непрерывности отображения К в точке х. 7. Обобптенная теорема Арцела. Пусть Х и У два метрических компакта и пусть Схг — - множество всех непрерывных отображений 1" компакта Х в У.
Введем в Сху расстояяие при помощи формулы р(.г 9) = зцр р(У(х)19(х)). аех Легко провериттч что таким образом Схт превращается в метрическое пространство. Теорема 7 (обобщенная теорема Арцела). Для щ>елкомпактности множества Р С Сху необходимо и достаточно, чтобы входящие и Р функции 1 были равностепснно цепрерыипы. Последнее означает, что для любого е > О должно существовать такое д > О, что из рг(.,ха) < д (4) вытекает р(1(х ), 1(х )) < с, каковы бы нн были 1' из Р и х' и та пз Х. Доказательство. Необходимость доказывается так же, как и в теореме 4. Докажем достаточность.
Для этого погрузим Схт в пространство Мху всех отображений компакта Х в компакт У с той же самой метрикой р(У й = вн рШ ),й(х)), гех 125 1 а Ссривые е метрических ирасеараиетеае которая была введена в Сху, и докажем предкомпактнасть множе- ства В в Мху. Так как Ск 5 замкнуто в Мху 1), то из предкомпакт- ности множества В в Мху следует его працкомпактность в Сху.
Зададим е > С) произнольно и выберем д так, чтобы из (4) вы- текало (б) для всех / ич Р и всех х', ти из Х. Легко видеть, что Х можно представить как сумму коне юного числа непересекающих- ся множеств Еп таких, что из х', хл б Ес следует р(х'.хи) < б. Действительно, для етого достаточно выбрать точки хс,..., х„так, чтобы они образовали д/2-сеть в Х и положить, например, Е, = В(хна/2) 1 () В(х Б/2), 1<с где В(хс, д/2) — шар радиуса б/2 с центром хь Рассмотрим теперь в компакте У некоторую конечную е-сеть Ус,, ..,дим И ПУСТЬ Ь - СОВОКУПНОСтв фУНКЦИй д(Х), ПРИНИМаи- ших па множествах Ес значения ры Число таких функций, оче- видно, конечно.
Покажем, что они образуют 2г-сеть по отношению к В в Мку. Действизельно, пусть / б В. Для всякой точки х, нз Хс,...,Хи НайДЕтСЯ таКаЯ тОЧКа д ИЗ дс,...,д м Чта Р(/(ХС),дд) < ж Пусть функция д б Ь выбрана так, что д(хс) = д . Тогда р(/(т),д(х)) < р(/(х),/(хс)) + р(/(х,),д(х;)) + р(д(х,),д(х)) < 2е,. если с выбрано так, что т б Еь Отсюда вытекает, что конечное множество Ь действительна есггь 24'-сеть для В и, таким образом, Ю предкомпактно в Мху, а следо- вательно, и в Сху. з 8. 11епрерывные кривые в метрических пространстваха) Пусть задано непрерывное отображение 1() отрезка а < С » (Ь в лсетрнческае пространство В.
Катка С «прабегает» отрезок ат а да 6, соответствующая точка Р «пробегает» некоторую «непрерывную кривую» в пространстве )1 Нзм предстоит дать строгие определения, связанные с налаженней сейчас грубой идеей. Порядок, в котором ') Паскальку предел равномерно ехалящейся паелепавазельнаетя яепрерыьиых атабражелий есть также яеирерыииае отображение. Указанное преллажеяие представляет собой яепаереяетаеянае абабщеяпе язве«знай теоремы анализа я Лахазывается так же, как и зта теорема. з) Этот параграф яе связан е дальнейшим излажением.
При желаяяя читатель может ега опустить. 5 — 1324 126 Гл. Ри Мстприческис и тоиолоеические проси1раисисоа проходятся точки кривой, существен. Одно и то же множество, изображенное на рис. 12, проходимое в направлениях, указанных на рис. 13 и 14, мы будем считать различными кривыми. В качестве другого примера рассмотрим действительную функцию„определенную ца отрезке [О, 1), котораи изображена на рис, 15. Она определяет «кривую», расположенную на отрезке (О, 1] оси у, отличную от этого отрезха, однократно пройденного от точки 0 до точки 1, так как отрезок 1А, В) проходится трижды (лла раза вверх и один раз вниз). Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
