А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1еи В. Мепгрические и типологические простропспгпо !!е Теорема 6. Непрерывный образ компактного пространства есть компактное пространство. Доказательство. Пусть Х вЂ” компактноепространствои1-.- его непрерывное отображение в топологическое пространство Р. Рассмотрим какое-либо покрытие ($п) образа 7(х) открытыми в 7(х) множествами. Положим П = 7' г(р" ). Множества П, открыты (как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении) и образуют покрытие пространства Х.
Из етого покрытия можно выбрать, в силу компактности Х, конечное подпокрытие Г!, ..., Пп. Тогда множества )г!,..., )'„, где Р! = 7'(П,), покрывают весь образ 7(Х) пространства Х. Теорем а 7. Взаимно однозначное и непрерывное отображение иг компакта Х на хаусдорфово пространство )г есть гомеоморфнзм. Доказательство. Нужно показать, что из условий теоремы вытекает непрерывность обратного отображения ~р ". Пусть Е— замкнутое множество в Х и Р = р(Г) - - его образ в г .
В силу предыдушей теоремы Р— компакт и, следовательно, Р замкнуто в !'. Таким образом, прообраз при отображении сг ' всякого замкнутого множества Г с Х замкнут. А это и означает непрерывность отображения гр 3. Непрерывные и полунепрерывные функции на компактных пространствах. В предыдущем пункте речь шла о непрерывных отображениях компакта в хаусдорфово пространство. Частным случаем таких отображений являются отображения компактов в числовую прямую, т.е. числовые функции на компактах.
Для таких функций сохраняются основные свойства функций на отрезке, известные из анализа. Теорема 8. Пусть Т вЂ” компактное пространство и !' —. непрерывная на нем числовая функция. Тогда 7 ограничена на Т и достигает на Т верхней н нижней' граней. Доказательство. Непрерывная функция есть непрерывное отображение Т в числовуго прямую !к. Образ Т в Ж в силу обшей теоремы 6 компактен. Но, как читателю известно из курса анаггиза (см. также п.
2 З 7), компактное подмножество числовой прямой замкнуто и ограничено и потому не только имеет конечные верхшою и нижнюю грани, но и содержит зти грани. Теорема доказана. Упражнение. Пусть К -- компактное метрическое пространство и А — такое отображение К в себя, что р(Ах,АВ) < р(х,в) при х ~ В, Показать, что отображение А имеет в К единственную неподвижную точку. 1 6, Комввкшносгпь Утверждения последней теоремы допускают обобщение и на более широкий класс функций, а именно, на так называемые полунепрерывные функции.
Функция 1(х) называгтгя полрнспрсрыеной снизу (сеерху) в точке хо, если для любого е > О существует такая окрестность точки хо, в которой з (х) > у(хо) — 6 (соответственно, у(х) < у(хо) .~" г). Например, функция «целан часть от х», Дх) = Е(х) полунепрерывиа сверку. Если увеличить (уменьшить) значение /(хо) непрерььзной функции в какой-либо одной точке хщ то мы получим полунепрерывную сверку (снизу) функцию. Если г(х) полунепрерывна сверку, то -) (х) полунепрерывна снизу. Эти два замечания позволяют сразу построить болыпое число примеров полупепрерывнык функций. При изучении свойств полупепрерыаности действительпыз функций удобно допускать для ник бесконечные значения.
Если 1(хе) = — со, то функцию у будам гчитать полунепрерывной снизу в точке хс; если же дпя любого й > О имеется окрестность точки хо, в которой 1(х) < — б, то будем считать, что функция у' полунепрерывна и сверку в точке хо. Если у(хе) = +ос, то функцию у будем считать полунепрерывной сверку в хо; если же для любого Ь > О имеется окрестность точки хо, в которой 1'(х) > ь, то будем считать, что функция г' полунепрерывна и снизу в точке хо. Пусть У(х) — действительная функция на метрическом пространстве В.
Верхним пределом 1'(хо) функции 1(х) в точке хо называется величина (конгчная или бесконечная) йш [ зпр ((х)~. Ношеной яре*-эо *евр ьг1 дел /(хс) определяется аналогично с заменой верхней грани на нвжнюкь Разность ыз(хо) = ) (хо) — 1(хо) (если оиа имеет смысл, т.е. еети числа 1'(хо) и У(хо) нс равны бесконечности одного знака) называется колебанием функции Г(х) з точке хо. Легко видеть, что для непрерывности у(х) в точке хе необходимо и достаточно, чтобы ыу(хо) = О, т.е.
чтобы -со < ~(хо) = У(хо) < оэ. Для любой функции 1"(х), заданной на метрическом пространстве, функция г(х) полунепрерывна сверху, а функция )(х) полунепрерывпа снизу. Это легко вытекает из определения верхнего и нижнего пределов. Рассмотрим метрическое пространство М, элементамв х которого служат все действительные ограниченные функции х(1), заданные на сегменте [а, Ь), Метрику в М зададим равенством р(х,у) = р(~р,ф) = зпр (х(1) — ф(1)]. < о<йз Функции на М, как это обычно делается, будем называть функционалами, чтобы отличать их от функций х(1) — элементов М.
Рассмотрим один важный пример полунепрерывного функционала. Онределим длину кривой у = г(х) (о < х < Ь) как функционал Е! И = з р Е (х, - х,— ) 3+ (П*;) - У(*,— ) Р, ы1 112 1В. П. Лргтричаскиа и таиаяагичггкиг прасгпранстаа где верхняя грань (которая может быть равна +ос) берется по всевозможным разбиениям отрезка (о,б). Этот функционел определен на всем пространстве ЛГ. Дчя непрерывных функций он совпадает со значением предела п 1й Е (х - х -1)' + (Г(х ) - Г(х -г))' лл: )гг-г,. Н О '=1 Наконец, для функций с непрерывной производной его можно записать в виде ь Гьгг+ ь ли)гк Функционал Г, ( Г) полу непрерывен снизу в ЛГ, что легко следует из его ь определении. На полунепрерывные функции обобщается установленная выше теорема. Теорема 8а.
Полунсарсрывпая снизу (сверху) конечная фуихпия ва колшахтнолг Тг -пространстве Т ограничена снизу (сверху), Действительно, допустим, что гпГГ'(х) = -оо. Тогда существует такая последовательность (х ), что Г(хл) < -и. Поскольку пространство Т компактно, его бесконечное множество (хи) имеет (в силу теоремы 2) хотя бы одну предельную точку ха.
По предположению, функция Г конечна и полунепрерывна снизу; поэтому найдатся такая окрестность ГГ точки хе, что Г(х) > 1'(ха) - 1 прн х Е П, Но тогда окрестность ГГ может содержать лишь конечное число точек множества (х„), а это противоречит тому, что точка хо -- предельная для этого множества. Аналогично доказывается теорема и двя случая полунепрерывной сверху функции. Теорема Зб.
Полувеорсрывная снизу(сверху) конечная функция на компактном Тг-пространстве Т достигает своей нижней (верхней) грани. Пусть 4гункция Г(х) полунепрерывна снизу. Тогда по теореме ба она имеет конечную нижнюю грань, и существует такая последовательность (х„), что Г(х ) < шЕ Г(х) + 1/и. Поскольку Т компактно, множество (х ) имеет предельную точку ха. Если бы было Г(хо) > тГ Г, то, в силу полунепрерыввости функции Г снизу, нашлись бьг такая окрестность У точки ха и такое 6 > О, что Г(х) > 1пГ Г + Ю при х е ГГ. Но тогда окрестность ГГ ие могла бы содержать никакого бесконечного подмножества множества [х ). Следовательно, Г(ха) = гпГ Г, что и требовалось доказать. 4.
Счетная компактность. Введем следукнцее определение. Определенно. Пространство Т назььвается счепьмо-компактлныль, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку. 1 6. Кампактнокт» ыз Доказанная в и. 1 теорема 2 означает, что всякое компактное пространство счетно-компактно. Обратное, вообще говоря, неверно, Вот «традиционный» пример счетно-компактного, но не компактного пространства. Рассмотрим множество Х всех порядковых чисел о, меньших первого несчетного порядкового числа ыы Назовем интервалом (о,12) в Х совокупность всех порядковых чисел у, удовлетворяющих неравенствам о с у < р'.
Открытым множеством в Х назовем объединение произвольного числа интервалов. Четко проверить, .что построенное пространство счетно-компактно, па не компактно. Соотношение между понятиями компактности и счетной компактности становится ясным из следующей теоремы.
Теорема 9. Для того чтобытополагическоелростраиствобыю счетно-компактным, необходима и достаточно любое нз следующих двух условий: 1) Каждое счетное откр»мое покрытие. пространства Т содержит конечное падпокрытле. 2) Каждая счетная центрнровалиап сигтема замкнутых множеств в Т имеет иенустое пересечение. Доказательство.
Равносильность условий 1) и 2) непоср<.;е отвеина следует из соотношений двойственности. Далее, если Т не счетно-кампактно, то, повторив рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2, мы получим, чта в Т существует счетная центрированная система замкнутых множеств с пустыл1 пересечением. Тем самым достаточность условия 2) (а значит, и 1)) установлена. Докажем необходимость условия 2). Пусть Т счетно-компактно и (тг„) .
счетная центрированная сиснема замкнутых множеств и в Т. Покажем, что ПЕ„ф И. Пусть Ф„= (') Еь. Ясно, что все Ф„ и »=1 замкнуты, не пусты (в силу центрированности (Гп)) и образуют невазрастаюшую систему Ф1 ~ Фч З ... и что П Ф„= () Еп. Возможны два случая: 1) Начиная с некоторого номера пе Фнч Фкч ы Тогда, очевидно, П Ф„= Ф„, ~ Я. к 2) Среди Фп имеется бесконечно много попарно различных.
Прн этом достаточно рассмотреть случай, когда все Ф„различны между собой. Пусть х„Е Фк'1Ф„,ы ые рл. П, Мепьричеееие и пьепелагизеские иреетреиетее Последовательность (х„) представляет собой бесконечное множество различных точек из Т; в силу счетной компактности Т она должна иметь хотя бы одну предельную точку, скажем, ха. Так как Ф„содержит все точки х„, х„е.ь,..., то ха — - предельная точка для Ф„и в силу замкнутости Фи, ха б Ф„. Следовательно, ПФ„Э ха, е . ПФ ~О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
