А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Назовем замкнутлым аьпрезком н Х, соединяющим точки х и у, совокупность всех элементов вида ох+ ьду, где о,ььд > О, се+,В = 1. Отрезок без концевых точек х и у называется оьпкрьппым аьпрезком. ыо би ЛЬ Иормироеонные и типологические просигронстоо Множество М С Ь называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками х и у содержит и соединяющий их отрезок. Назовем ядром 1(Е) произвольного множества Е С Ь совокупность таких его точек х, что для каждого у б Х найлется такое число е = е(у) > О, что х + 1у б Е при [1[ < ж Выпуклое множество, яцро которого не пусто, называется выпуклым гпелом. Примеры. 1. В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар, тетрвэдр, полупространство представляют собой выпуклые тела, Отрезок, плоскость, треугольник в тои же пространстве — выпуклые множества, но не выпуклые тела.
2. Рассмотрим н пространстве непрерывных функций на отрезке [а, *о[ множество функций, удовлетворяющих услоиию [Я)[ < 1. Это множество вьшукло; действительно, если [Д1)[ < 1 и [д(1)[ < 1, то при а+В = 1, а,)1 > О [оУ(1) + /Зу(1) [ < а + д = 1. Упражнение. Пронериттн яиггиетсн ли это множество выпуклым телом. 3. Единичный шар в 12 т, е.
совокупность таких точек х =- (хы..., х„,...), что 2„х~ < 1, есть выпуклое тело. Его ццро состоит из точек х, удовлетворяющих условию 2 х~ < 1. 4. Основной параллелепипед П в 12 — выпуклое множество, но не выпуклое тело.
В самом деле, пусть х б П; это означает, что [х„[ < 1/2" ' для всех п = 1,2,... Положим уо = (1, 1/2,..., 1/и,... ). Пусть х + 8уо б П, т. е. [х„+ Ци[ < 1/2" 1; тогда откуда 1 = О, т.е. ядро множества П пусто. Упражнения. 1. Пусть Ф вЂ” совокупность точек х = (хы..., х„,...) из 1г, удовлетворяющих условию 2 пгхг < 1. Доказать, что Ф вЂ” выпуклое множество, ио не выпуклое тело. 2.
Доказать то же самое для множества точек в 1г, каждая из которых имеет лишь конечное число отличных от нуля координат. Если М вЂ” выпуклое множество, то его ядро,7(М) тоже выпукло. Действительно, пусть х, у б 1(М) и ь = ах+ гуу, а„9 > О, о+,9 = 1. Тогда для данного а е Ь найдутся такие е1 > О и ет > О, что при [П [ < вы [1т[ < ет точки х+1г а и у+ 1та принадлежат множеству М, следовательно, ему принадлежит и точка о(х+са)+д(у+га) = я+1а при [1[ < е = гпш(вы ге), т. е. г 6,7(М). 1 2. Пыавклые мыавкветлаа и вътвклыг 41!ккциавалы 141 Установим с.педующее важное свойство выпуклых множеств. Теорема 1. Пе»есечевие любого пюлв выпуклых мгюжеств есть выпуклое меожс ство. Доказательство.
Пусть М = ПМ„и все М вЂ” - выпуклые а множества. Пусть, далее, х и й —. две произвольные точки пз М. Тогда отрезок, соединяющий точки т и у, принадлежит каждому М, а следовательно, н М. Так!им образом, М действительно выпукло. Теорема 2. Снвзплекс с вершппамн т.„...,т„ы есть совокупность всех точек, кото»ые можно представят! в виде а-1-! а+! х=" оэхы в=1 ыь)~0, ~~! о! =1. ь=! Заметим, что пересечение выпуклых тел (будучи выпуклым множеством) пе обязано быть выпуклым тел о и (приведите пример). Для произвольного множества А в линейном пространстве Ь сушествует наименьшее выпуклое множество, которое его содержит, им будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих А (по крайней мере одно выпуклое множество, содержащее А, существует — это все Ь).
Минимапьыое выпуклое множество, содержащее А, мы назовем выпуклой оболочкой множества А. Рассмотрим один важный пример выпуклой оболочкн. Пусть х1,..., х„е! — точки некоторого линейного пространства. Мы скажем, что эти точки находятся в общем положении, если векто- РЫ ХЗ вЂ” Х1,ЯЗ вЂ” К1,...,Ха+! — К! ЛИНЕИНО НЕЗаВИСНМЫ. (ЭтО Раа«э! и+! посильно тому, что из 2, Л!х, = 0 и 2, Л, = 0 вытекает, что 1=1 1=1 Л1 —— ... — — Л„е! — — О.) ВыпУклаЯ оболочка точек т1,...,Ям+1, находящихся в общем положении, называется п-лверным симплексаль а сами тички х1,..., т„.ы — его вершинами.
Нульмерный симплекс — это одна точка. Одномерный симплекс — — отрезок, двумерный— треугольник, трехмерный — тетрвэдр. Если точки т1,..., ты ы находятся в общем положении, то любые Й + 1 из них (Й < п) также находятся в оГ>щем положении н, следовательно, порождают некоторый Й-мерный симплекс, называемый Й-лверкой' гранью данного и-мерного симплекса. Например, тетраэдр с вершинами е1, ез, ез, ев имеет четыре двумерные грани, определяемые соответственяо тройками вершин (ез,ез,ев), (е1,ез,ел), (е1,ег,ев), (е1, ез, сз), шесть одномерных граней и четыре нульмерных.
142 Рл. НН Нормированные и тонологичесние нространства Доказательство. Легко проверить, что совокупность 5 точек вида (1) представляет собой выпуклое множество, содержащее точки хы ., ., хоть С другой стороны, всякое выпуклое множество, содержащее эти точки, должно содержать и точки вида (1); следовательно, Я является наименьшим выпуклым множеством, содержащим точки хы...,х„+ы 2. Однородно-выпуклые функционалы.
С понятием выпуклого множества тесно связано важное понятие однородно-выпуклого функционала. Пусть 1 — действительное линейное пространство. Определенный на Ь функционал р называется выпуклым, если р(ах + (1 — а)у) < ар(х) + (1 — а)Р(у) (2) для всех х,у 6 Х и О < а < 1. Функционал р называется нолвлснтельно-однородным, если р(ах) = ар(х) для всех х б )гг и всех а > О. (3) Для выпуклого положительно-однородного функционала выполнено неравенство: (2') р(х + у) < р(х) + р(у) Действительно Р(х+ У) = 2Р( 2 ) < 2(Р(2) +Р(2)) = Р(х) +Р(У).
Легко понять, что условие (2') вместе с условием (3) обеспечивает выпуклость функционала р. Положительно-однородный выпуклый функционал мы будем называть короче однородно-выпуклым. о'кажем некоторые простейшие свойства однородно-выпуклых функционалов. 1. Полагая в равенстве (3) х = О, получаем р(О) = О. (4) 2. Из (2') и (4) следует, что О=Р(х+( — х)) <Р(х)+р( — х) для всех хЕ!. (5) Это неравенство означает, в частности, что если Р(х) < О, то обязательно р( — т) > О. Таким образом, ненулевой однородно-выпуклый функционал может быть всюду неотрицателен, по если всюду Р(х) < О, то р(х) = О. 3. П и любом а р Р(ах) > ар(х). При а > О это следует из (3), при а = Π— из (4); если же а < О, то в силу (5) получаем О < р(ах) + р()а)х) = р(ах) + )а)р(х), т. е.
р(ах) > — /а/р(х) = ар(х). 1 2. Ныкуклые множества н еътуклые функчнокалы Примеры. 1. Всякий линейный функционал является, очевидно, однородно-выпуклым. Однородно-выпуклым будет и функционал р(х) = !/(х)!, если / линеен. 2. Длина вектора в и-мерном евклидовом пространстве есть однородно-выпуклый функционал. Здесь условие (2') означает, что длина суммы двух векторов не превосходит суммы их длин (неравенство треугольника), а (3) непосредственно следует из определения длины вектора в Кк. 3. Пусть пл — пространство ограниченных последовательностей х = (хы..., хн,...), Функционал р(х) = р~х ) — однородно-выпуклый. 3. Функционал Минковского. Пусть Е -- произвольное линейное пространство и А — выпуклое тело в Ь, ядро которого содержит точку О. Функционал рд(х) = 1п1(т: -*т 6 А, т > О~ (6) называется функционалом Минковского выпуклого тела А.
Теорема 3. Функционал Минковского (б) — однородно выпуклый и неотрицательный. Обратно, если р(х) — произвольный однородно-выпуклый неотрицательный функционал на линейном пространстве Ь и й — положительное число, то А = (х: р(х) < 1с) есть выпуклое тело, ядроле которого служит множество (х: р(х) < /с) (содержалнео точку О). Если в (7) и = 1, то исходный функционал р(х) есть функционал Минковского для А. Доказательство. Для всякого х 6 Ь злемент х/т принадлежит А, если г достаточно велико; поэтому величина рл(х), определяемая равенством (6), неотрицательна и конечна.
Проверим положительную однородность функционала (6). Если 1 > О и у = 1х, то рл(у) = 1пГ(г > О: у/т 6 А) = 1п1(т > О: гх/г 6 А) = = 1пГ(гт' > О: х/т' Е А) = 1п1Е(т' > О: х/г 6 А) = грл(х) (8) Проверим выпуклость рл(х). Пують хы хг 6 Ь и е > О произвольно. Выберем числа г,(л = 1,2) так, что рл(х;) < г; < рл(х;) + е; тогда х;/г; 6 А. Положим т = тл+тг, тогда точка (хл+хг)/г = глхл/(ттл)+ 144 !л. !!1, !!армированнне и нсопологнческие пространства +гехт/(ггз) принадлеясит отрезку с концами х1/г1 и хз/гз. В силу выпуклости А этот отрезок, а значит, и точка (Х1 + хз)/г принадлежат А, откуда Рл (х1 + хз) < г = т1 + гт < Рл (г1 ) + Рл (хз) + 2ж Так как е > 0 здесь произвольно, то Рл(хс + хт) < Рл(х1) + Рл(хс). Следовательно, рл(х) удовлетворяет условиям (2') и (3), а потому это -- неотрицательный однородно-выпуклый функционал.
Рассмотрим теперь множество (7). Если х,у Е А и а+ /4 = 1, а!3>0 то р(ах + !1у) < ар(х) + /1р(у) < !с, т.е. А выпукло. Далее, пусть Р(х) < й, ! > 0 и у й Ь, тогда Р(х х 1У) < Р(х) + 1Р(хУ). Если Р( — у) = Р(у) = О, то хх!у Е А при всех 1; если же хотя бы одно из неотрицательных чисел Р(у), Р(-у) отлично от О, то х х !у б А при ! < !с — р(х) !пах (р(у), р(- у)) Непосредственно из введенных определений ясно, что Р служит функционалом Минковского для множества (х: Р(х) < Ц. Итак, введя понятие функционала Минковского, мы установили соответствие между неотрицательными однородно-выпуклыми функционалами и выпуклыми телами с ядром, содержащим точку О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
