А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. множествами, в которых введено, тем или иным способом, понятие близости элементов, а в предыдущих параграфах данной главы мы имели дело с линейными пространствами. До сих пор каждое из этих понятий стояло особняком. Однако в анализе приходится иметь дело с пространствами, в которых введены как операции сложения элементов и умножения их на числа, так и некоторая топология, т.
е. рассматривать так называемые топологические линейные пространства. Среди последних важный класс образуют норм и рован ные пространства. Теория этих пространств была развита в работах С. Банаха и ряда других авторов. 1. Определение и примеры нормированных пространств. Определение 1. Пусть Ь -- линейное пространство. Одно- родно-выпуклый функционал р, определенный на А, называется нормой, если он удовлетворяет следующим дополнительным усло- виям (помимо выпуклости): 1) р(х) = 0 только при х = О, 2) р(ох) = (о)р(х) для всех о.
Таким образом, вспоминая определения из и. 2 з 2, мы можем сказать, что нормой в Ь называется функционал, удовлетворяющий следующим трем угловиям: 1) р(х) > О, причем р(х) = 0 только при х = О, 2) р(х + у) < р(х) + р(у), х, у е Х, 3) р(ох) = )п)р(х), каково бы ни было число и. 1 3. нормированные проеплронееооо пн Определение 2.
Линейное пространство Ь, в котором задана некоторая норма, мы назовем нормированным простнранстпвам. Норму элемента х Е Х мы будем обозначать символом )(х)(. Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести в пем расстояние р(х,у) = ))х — уй'. Справсцливость аксиом метрического пространства тотчас же вытекает из свойств 1)-3) нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом, все те понятия и факты, которые были изложены в гл. П для метрических пространств. Полное нормированное пространство называется банаховым пространствам или, короче, В-пространствам.
Примеры нормированных пространств. Многие из пространств, рассматривавшихся в гл. П в качестве примеров метрических (а в З 1 данной главы — линейных) пространств, в действительности могут быть наделены естественной структурой нормированного пространства. 1. Прямая линия К становится нормированным пространством, если для всякого числа х б К положить (Щ = (х!. 2. Если в действительном и-мерном пространстве К" с элементами х = (хл....., х„) положить и 'йхй = ~~~ х', ь=л то все аксиомы нормы будут выполнены. Формула р(х,у) = ()х — у)) = ~~~ (хл — ул.)з определяет в К" ту самуло метрику, которую мы в этом пространстве уже рассматривали. В этом же линейном пространстве можно ввести норму 'йхйл = ~ ~)хь( или порыл ))хй, = плах )хл(.
(3) л<л<п Эти нормы определяют в К" метрики, которые мы рассматривали в примерах 4 и 5 и. 1 з 1 гл. П. Проверка того, что в каждом из этих !л. !!!. Нормироеоннме и гпопологические просп>ронин>ее !эт случаев аксиомы нормы действительно выполнены, не составляет труда. В комплексном и-мернам пространстве С' можно ввести норму или любую из норм (2) или (3). 3. В пространстве С(а,6] непрерывных функций на отрезке (а,6] определим норму формулой ]]!']] = !пах ]! (!)]. Соатветствугащее расстояние уже рассматривалось в примере б п.
1 з 1 гл. П. 4. Пусть пз - — пространство ограниченных числовых последовательностей х = (х>,...,х„,...). Положим (о) ]]х]] = зпр]х„]. Условия 1) .3) определения нормы здесь, очевидно, выполнены. Метрика, которая нндуцируется в гп эта!1 нормой, совпадает с тай, котаруго лгы у-ке рассматривали (примср 9 и. 1 3 1 гл. П).
2. Подпространства нормированного пространства. Мы определили надпространство линейного прост]>анею>а Ь (не снабженного какой-либо топологией) как пепустос множество Ьо, обладающее тем свойством, что если х,у б Ьо, то ах + ])у Е Ьо. В нарлгированном пространстве основной интерес представляют зпмккрпгые линейные подпрастранства, т.е. надпространства, содержащие нсе свои предельные тачки. В конечномерном нормированном пространстве всякое надпространство автоматически замкнута (докажите это!).
В бесконечноьиерном случае эта не так. Напримор, в пространстве С(а, Ь] непрерывных функций с нормой (4) многочлены образуют подпространство, но не замкнутое'). Другой пример: в пространстве гп ограниченных последовательностей последовательности, содержащие лишь конечное число отличных от нуля членов, образуют надпространство.
Однако оно не замкнуто по норме (5): в его замыкании содержится, например, последовательность (1,1/2,..., 1/п,...). г) В силу теоремы Вейерщтрасса, гласящей, что всякая непрерывная функдня на отрезке есть предел равномерно сходящейся последоватгчьности много- членов, замыкание подпространства миогочленов в С(о, Ь] есть все С]о,б]. З 3. Нормирооанвмо ороотранотооо Квк правило, мы будем рассматривать только замкнутые подпространства, поэтому естественно изменить терминологию, которая была установлена в 1 1. Подпространством нормированного пространства мы будсм называть теперь только замкнупюе надпространство: в частности, подпространством, порожденным данной системой элементов (т ), мы будем называть наименьшее за.икиутое надпространство, содержащее (х„).
Мы будем говорить о нем, как о линейном замыкании системы (х ). Совокупность элементов (не обязательно замкну сую), содержащую вместе г х н у их п!зоизвольную линейнунз комбинацию ох+ ду, будем пвзывтгь линейным лсногообразием. Систему элементов, лежащую в норхсированном пространстве Е, мы будем назьшать полной) если порожденное ею (замкнутое!) подпространство есть все Е.
Например, в силу теоремы Вейерштрасса совокупность всех функций 1,1, г,"-,..., Г',... полна в пространстве непрерывных функций С]а, Ь]. 3. Фактор-пространства нормированного пространства. Пусть Н вЂ” нормированное пространство и ЛХ -- некоторое его надпространство. Рассмотрим фактор-пространство Р = НХЛХ. В соответствии со сказаш~ым в п.4 З 1 этой главы Р есть линейное пространство.
Определим в нем норму, положив дпя каждого класса смежности С ]]с]! = !пХ ]]х]]. (6) Покажем, что при этом выполпоны сформулированные в и. 1 аксиомы нормированного пространства. Ясно, что всегда Щ > О. Есцнз се — — нулевой элемент фактор-пространства Р (т.е. са совпадает с подпрострапством М), то в качестве х б Со можно взять нуль пространства Л, н тогда получаем, что ]]со]] = О. Обратчсо, если ]]Ц = О,. то из определения нормы (6) следует существование в классе с последовательности, сходящейся к нулю. Но так как ЛХ замкнуто, то замкнут и каждый класс смехсности, значит, О е с, а это означает, сто ( = М, т.е.
С есть нулевой элемент в Р. Итак, ]]С]] > О и ]]Ц = О лишь тогда, когда с — — нуль пространсгва Р. Далее, для всякого х е Я н вс'якого о имеем ]] ]] =]о] ]]х]] Беря в обеих частях этого равенства нижнюю грань по х Е Х, полу- ]]оС]] = ]о] Щ. Наконец, пусть с, и й Р и х е с, у е пл Тогда ]]Х+ с!]] < ]]х+ у]] ( ]]х]]+ ]]у]]. 154 йс !П. !!армпрааапплм и шапоаагачегкпс прасьпрапспьаа Беря в правой части этого нераненства нижнюю грань по всем х Е с, у Е 11, получаем, что !!С+ О!! < И+ !!г!!!.
Итак, все аксиомы нормнрованного пространства для Р выполнены. Покажем теперь, что если Л полно, то и Р = Л/М полно. Действительно, согласно (б) для каждого ~ 6 Л/ььХ найдется такой элемент хбб, что Ю > 2!!х!!. Пусть (Сп) -- фундаментальная последовательность в Р. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что ряд сходится, Добавив к (бп) еще бо -- нулевой элемент простран- ства Р, — выберем х„б ~п.„ь — ~„(п = О, 1, 2,... ) так, что лп!! ~ 2!! '"!!' Тогда ряд С !!хп!! сходится, а значит, в силу полноты пространп=.о са ства Л сходится и ряд 2 хп, Положив х = 2 тп и обозначив через п=о а=Оп-1 б класс, содержащий х, получим (поскольку 2, хь б Сь при каждом п ) !!с — („!! < ((х — ~ ~хь)! — ь О при и — ь со, ь.=о т.е.
б = 1пп сп. Итак: п-ни фактор-гьроспьранство банахова проспьрансгпва по любому его (замкнутпому) надпространству есть банахово пространство. Упражнения. 1. Пусть Л.— банахово пространство, Вь Э Вг З... З Э В Э ... — последовательность вложенных замкнутых шаров в нем. Докажите, что она имеет непустое пересечение (ве предполагается, что радиусы этих шаров стремятся к 0; ср.
с упражнением 3 и. 2, 3 3, гл. П). Приведите пример последовательности вложеннььх непустых ограниченных замкнутых выпуклых множеств и пекотороль В-пространстве, имеющих пустое пересечение. 2. Пусть Л вЂ . бесконечномерное В-пространство; тогда его алгебраическая размерность (см. упражнение 3),п. 3 3 1) несчетна. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
