А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 36
Текст из файла (страница 36)
2. Система (4ва) векторов евклидова пространства Я называется мвгпальнвй, если в Н не существует отличных от 0 векторов, ортогонэльных ко всем 1в . Теорема 4 означает, что в полном евклидовом пространстве тотальность системы векторов эквивалентна ее полноте. Показать, что в неполных пространствах могут существовать тотальные, но не полные системы. б.
Гильбертово пространство. Теорема об изоморфизме. Продолжим рассмотрение полных евклидовых пространств. При этом нас, как и до сих пор, будут интересовать бесконечномерные пространства, а не конечномерные, исчерпывающее описание которых дается в курсах линейной алгебры. По-прежнему мы, как правило, будем предполагать наличие в рассматриваемых пространствах счетного всюду плотного множества. Введем следующее определение. Определение 2. Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовыгв пространством'). ') по имени знаменитого немецкого математика д. Гильбврта (1э62-1943), который взел зто понятие.
тл. ПЛ Нормировонниг и пгопологичвопио ггровторонвпгоо Таким образом, гильбертовым пространством называется совокупность Н элементов (, д,... произвольной природы, удовлетворяюпяя гледукицим условиям (аксиомам). 1. Н есть евклидово пространство (т.е.
линейное пространство с заданным в нем скалярным произведением). П. Пространство П полно в смысле метрики р(У,д) = вг — дй. П1. Пространство Н бесконечномерпо, т.е. в нем лля любого и можно найти и линейно независимых элементов. Чаще всего рассматриваются сепарабельные гильбертовы пространства, т. е. пространства, удовлетворяющие еще одной аксиоме. 1Ч.
Н сепарабельно, т.е. в нем существует счетное всюду плотное множество. Примером сепарабельного гильбертова пространства может служить действительное пространство 1з. В дальнейшем мы будем рассматривать только сепарабельный случай. Аналогично определению 2 из З 1 два евклидовых пространства, Л и Л*, называются изомор4ггьами, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если хЕ+х, ха+у х,убЛ; х*,у'бЛ, то х + д <-> х" + у', ак <-> ох" Иначе говоря, изоморфизм евклидовых пространств -- это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее как линейные операции, определенные в этих пространствах, так и скалярное произведение.
Как известно, любые два гг-мерных евклидовых пространства изоморфны между собой и, следовательно, каждое такое пространство изоморфно арифметическому пространству Вп (пример 1, п. 2). Евклидовы пространства бесконечного числа измерений не обязательно изоморфны друг другу. Например, пространства 1т и Сз[а, б) между собой не изоморфны. Это видно, например, из того, что первое из них полно, а второе -- нет. >бэ З .1. 1'!>ь.>>!!>овм ярос>!!раьгн!ва Однако имеет место следующий факт.
Теорем а 5. Любые два сепарабельнык гн>!ьбертон! >х пространства изоморфны межц! гобой. Доказательство. Покажем, что каждое гильбертово пространство Н изоморфио пространству !з. Тем самым будет доказано утверждение теоремы. Выберем в Н произвольную полную ортогональную нормированную систему (>р„) и поставим в соответствие элементу у Е Н совокупность с>,..., с„,... его коэффициентов Фурье по этой системе. Так как 2' сз < оо, то последовательность ь:=! (с>,..., с„,...
) есть некоторый элемент из 1з. Обратно, в силу теоремы Рисса-Фишера всякому элементу (с>,..., с„... ) из (з отвечает некоторый элемент ( б Н, имен>щий шола с>,..., с„,... своими коэффициентами Фурье. Установленное соответствие между элементами из Н в (з взаимно однозначно. Далее, если Г 1-> (с>,...,с„,...), д ь> (п>,..., И„,... ), то ,( + д <-> (с, + й„ ... , с„ + 11„, ... ), а~+э (ас>,...,ас„,...)! т.е.
сумма перекодит в сумму, а произведение па число — в произведение соответствующего элемента на это же число. Наконец, из равенства Парсеваля следует, что (24) (.( д) = ~~' спь>п- в=\ Действительно,из того, что ь=.! ь=! (>' + д,( + д) = ((, 1) + 2(>,д) + (д д) = („+ >„) = ~ ~с„+2~ ° о +~~>,й„ и=! вытекает (24). Таким образом, установленное нами соответствие между элементами пространств Н н (з действительно является изоморфизмом. 170 га.
Н1. Нормирооаьтне а аьааоаогинеенае ароееаранеаьоа Д<ьквзанная теорема означает, что, с точностью до изоморфизма, существует л и ш ь о д н о (сепарабель нос) гильбертово пространство (т. е. система аксиом 1-1Ъ' полна) и что пространство 17 можно рассматривать как его «координатную реализацию», подобно тому как и-мерное арифметическое пространство со скалярным произ» ведением ~, х,у; представляет собой координатную реализацию евг=1 клидова пространства п измерений, заданного аксиоматически. Другую реализацпю гильбертова пространства можно получить, взяв функциональное пространство Сз[а, Ь[ и рассмотрев его пополнение.
Действительно, легко проверитра что пополнение Н* всякого евклидова пространства Н (в том смысле, как мы определили пополнение метрического пространства в з 3 гл. П) становитси линейным евклидовым пространством, если в нем определить линейные операции и скалярное произведение, продолжая их по непрерывности с пространства Н, т.е,полагая х+ у = !нп (х„+ у„), ох = !!т ох„, а-ьее а-ьео (х,у) = 1пп (ха,у„), где х„-ь х и у„-ь у, х„, у„е Й. (Существование всех этих пределов и их независимость от выбора последовательностей (ха) и (у„) легко устанавливается.) Тогда пополнение пространства Сз[а, Ь) будет полным евклидовым пространством, очевидно, бесконечномерным и сепарабельным, т. е.
гильбертовым пространством. В главе Ъ'П мы вернемся к этому вопросу и покажем, что те элементы, которые нужно присоединить к Сз[а, Ь), чтобы получить полное пространство, тоже можно представить как функции, но только уже не непрерывные (а именно, как функции, квадръг которых суммируем в смысле Лебега). ь. Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма. В соответствии с общими определениями З 3 линейным зеногообразнем в гильбертовом пространстве Н мы назовем такую сово- купностьХ элементовиз Н, чтоеслиу,д Е Е,тоо~+71д Е Ьдлялюбых чисел о и 13.
Замкнутое линейное многообразие называется падпраспьрансьпеом. Приведем некоторые примеры надпространств гильбертова пространства. 1. Пусть (ь — произвольный элемент из Н. Совокупность всех элементов 1 Е Н, ортогонвльных к Ь, образует в Н надпространство. 2. Пусть Н реализовано как 1з, т.е. его элементы суть такие последовательности (хь,..., х„,...) чисел, что ~ хз ( оо. Элементы, полчиненные условию хь = хз, образуют подпространство. 1 4. Евклидова вроссврвнсо~вв 171 3. Пусть снова Н реализовано как пространство!з.
Элементы х = (к1,...,хв,...), у которых х„= О при и = 2,4,6,... (и кв произвольны при и = 1, 3, 5,... ), образуют надпространство. Читателю рекомендуется проверить, что указанные в примерах 1-3 совокупности векторов дейстнительно являются подпространствами. Всякое надпространство гильбертова пространства либо является конечномерным евклидовым пространством, либо само представляет собой гильбертово пространство. Действительно, справедливость аксиом 1-Ш для каждого такого надпространства очевидна, а справедливость аксиомы 1У вытекает из следующей лемл1ы. Л е м м а. Любое подмножество Л' сепарабельпого метрического пространства Л само сепарабельно. Доказательство. Пусть 6 — счетное всюду плотное множество в Л и а„= 1п( р(4„,77).
челу Дла любых натУРальных и и т найДетсЯ такал точка 77,мо Е Л', что р(С„, Ов ) < а„+ 1/щ. Пусть е ) О и 1/гп < е/3; для любого и Е Л' найдется такое и, 'по р(с„, 11) < е/3 и, следовательно, Р(И О ) < а„+ 1/гп < е/3+с/3 = 2е/3; НО тОГДа Р(й, 11„о,) < Е, т. Е, ПЕ бОЛЕЕ ЧЕМ СЧЕТНОЕ Миажветна (11 (и, га = 1, 2,... ) всюду плотно в Л'. Подпространства гильбертова пространства обладают некоторыми специальными свойствами (не имеющими места для надпространств произвольного нормированного пространства). Эти свойства связаны с наличием в гильбертовом пространстве скалярного произведения и основанного на нем понятия ортогонвльности.
Применив процесс ортогонализации к какой-либо счетной всюду плотной последовательности элементов произвольного надпространства гильбертова пространства, получаем следующую теорему. Теорема б. В каждом подпространстве М аространства Н со- ДеРжитсЯ оРтогональлаи ноРмпРоваппав система (Чов), линейное замыкание которой совпадает с М. Пусть М -- надпространство гильбертова пространства Н. Обозначим через М = Н1ЭМ щг !ги !ОЬ Нормирооаннне и тоггоаогинесние пространсигаа множество элементов д е Н, ортогонвльных ко всем элемонтам 7 Е М, и докажем, что М~ тоже есть надпространство пространства Н.
Линейность М" оченищга, так как нз (ды!) = (дг, ! ) = О вытекает (о!д! + огдг, 7) = О. Для доказательства замкнутости допустим, что элементы дп принадлевсат М и сходятся к д. Тогда для любого 7' б М (д,У) ае й! (д„гУ) =О, и потому д тоже входит в М~, Подпространство Мх называется оргпогональнмм дополнением надпространства М. Из теоремы б легко получается следующая теорема. Теорема 7. Если М вЂ” — (замкнутое!) линейное надпространство пространства Н, то любой элемент ! б Н единственным образом представим в ниде 7' = Ь + Ь', где Ь б М и Ь' 6 М ~. Доказательство.
Докажем сначала существование такого разложения. Для этого найдем в М полную ортогональную нормированную систему (г!ги) и положим Спггси, п=1 с.=У,р ). Так как (по неравенству Бесс:еля) ряд ~ сг сходится, то элемент Ь п=г существует и принадлежит М. Положим Ь' = 7" — Ь. Очевидно, что для всех п (Ь',гр„) = О и, поскольку произвольный элемент г, из М представим в виде й = ~~' агг',Опг и=1 (Ь',!,) = ~ ап(Ь',г!г„) = О, имеем Р (Ь! г зги) — (У Фгг) — си откуда следует, что Ь, =Ь, Ь', =Ь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
