А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1. Прямая линия К, т.е. совокупность действительных чисел, с обычными арифметическими операциями сложения и умножения, представляет собой линейное пространство. 2. Совокупность всевозможных наборов п действительных чисел Х = (Х1,..., Хп), ГДЕ СЛОжЕНЯЕ И УМНОЖЕНИЕ На ЧИСЛО ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ формулами (Х1,...,Х„) + (У1,...,Уп) = (ХС +У1,...,Х„+ У„), а(хы..., х„) = (ахг,..., ах„), также является линейным пространством. Оно называется действительным п-мертсым') арифметическим пространством и обозначается символом К". Аналогично, комплексное и-мерное арифметическое пространство С" определяется как совокупность наборов и комплексных чисел (с умножением на любые комплексные числа).
3. Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке [и, о] с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство С[и, Ь), являющееся одним из важнейших для анализа. 4. Пространство 1т, в котором элементами служат последовательности чисел (действительных или комплексных) Х вЂ” (Х1 ° Хп ° ) удовлетворяющие условию [х„)з С оо, и=! с операциями (х~ хп . )+(Ут .. Уя ..)=(хг+Уы...,х„+У„,...), а(ХЫ...,Хп ..) = (аХ1,...,аХ„,...), является линейным пространством.
Тот факт, что сумма двух по- следовательностей, удовлетворяющих условию (1), также удовле- творяет этому условию, вытекает из элементарного неравенства (а1 + ат) < 2а~г + 2а~з. ') Этот термен будет разъяснен в дальнейшем. !л. !ОС Нормиривоннпе и тополоепчееепе проеперонетво !Зз 5. Сходящиеся последовательности х = (хыхз,...) с покоординатными операциями сложения и умножения на числа образуют линейное пространство. Обозначим его с.
6. Последовательности, сходящиеся к О, с теми же операциями сложения и умножения, также образуют линейное пространство. Обозначим его со. 7. Совокупность пе всех ограниченных числовых последовательностей с теми же операциями сложения и умножения на числа, что и в примерах 4-6, тоже представляет собой линейное пространство. 8. Наконец, совокупность К всевозможных числовых последовательностей с теми же самыми операциями сложения и умножения на числа, что и в примерах 4-7, тоже является линейным пространством.
Поскольку свойства линейного пространства — это свойства операций сложения элементов и умножения их на числа, естественно ввести следующее определение. Определение 2. Линейные пространства А и А' называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, которое согласовано с операциями в Е и Е*. Это означает, что из (х, у й Ь; х", у' б ! *) следует х + у н х' + у' ах н ах' (а — произвольное число) . Изоморфные пространства можно рассматривать как различные реализации одного и того же пространства.
Примерами изоморфных линейных пространств могут служить арифметическое и-мерное пространство (действительное или комплексное) и пространство всех многочленов степени < и — ! (соответственно с действительными или комплексными коэффициентами) с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа (докажите изоморфность!).
2. Линейная зависимость. Элементы х, у,...,ее линейного пространства С называются линейно зависимыми, если существуют такие числа а, !1,..., Л, не все равные О, что (2) ах+,9у+... + Аю = О. 1. Ливлаиме аростарзкстза 1ЗЗ В противном случае этн элементы называются линейно независимыми. Иначе говоря, элементы х, у,..., то линейно независимы, если из равенства (2) вытекает, что тт = 0 =... = Л = О. Весконечная система элементов х,у,...
пространства Б называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима. Если в пространстве Б можно найти и линейно независимых элементов, а любые и + 1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что пространство Б имеет размериостаь п. Если же в Ь можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят, что пространство Б бесконечномерио. Базисом в тт-мерном пространстве Б называется любая система из и линейно независимых элементов. Пространства К" в действительном случае и С" в комплексном имеют, как легко проверить, размерность и, оправдывая тем самым свое название.
В курсе линейной алгебры рассматриваются линейные пространства конечной размерности. Наоборот, мы, как правило, будем заниматься пространствами бесконечного числа измерений, представляющими основной интерес с точки зрения анализа. Мы предоставляем читателю проверить, что каждое из пространств, указанных н примерах 3-8,имеет бесконечную размерность. 3. Подпространства. Непустое подмножество Ь' линейного пространства Б называется водпросптрансптвом, если оно само образует линейное пространство по отношению к определенным в Б операциям сложения н умножения на число. Иначе говоря, Б' С Б есть подпространство, если из х Е Б', у й Х' следует, что тхх + 13у 6 Б' при любых а и Д.
Во всяком линейном пространстве Б имеется надпространство, состоящее из одного нуля, -- нулевое подпространство. С другой стороны, все Б можно рассматривать как свое надпространство. Подпространство, отличное от ( и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собсптвеннььи. Приведем примеры собственных подпространств. 1. Пусть Б — - какое-либо линейное пространство и х — некоторый его ненулевой элемент.
Совокупность элементов (Лх), где Л пробегает все числа (соответственно действительные или комплексные), образует, очевидно, одномерное надпространство. Оно является собственным, если размерность Б больше 1. 2. Рассмотрим пространство непрерывных функций С(а, Ь) (цример 3 п. 1) и в нем совокупность всех многочленов Р(а, Ь). Ясно, что многочлены образуют в С(а, Ь] подпространство (имеющее, как Гя. Ш.
Нврмирвваиииг и жаавявгичгсвиг пространства !34 и все С[а, Ь], бесконечную размерность). В то же время само пространство С[а, Ь] можно рассматривать как надпространство более обширного пространства всех, непрерывных и разрывных, функций на [а, Ь). 3. Рассмотрим, наконец, пространства 1з,са,с,т и К ' (примеры 4-8 и. 1). Каждое из них является собственным подпространством последующего. Пусть (х ) — произвольное непустое множество элементов линейного пространства Ь. Тогда в Ь существует наименывее подпространство (быть может, совпадающее с Ь), которое содержит (х ). Действительно, по крайней мере одно надпространство, содержащее (х ), в Ь сущестнует: это исе Ь.
Далее ясно, что пересечение любого мнохсестеа (Ь„) подпростпрансте есть снова подпространсгпво. В самом деле, если Ь* = П Ь„и х, д б Ь*, то и сгх + 1)у б Ь' при всех а, д. Возьмем теперь все подпространства, содержащие систему векторов (х ), и рассмотрим их пересечение. Это и будет наименьшее подпространство, содержащее систему (х„). Такое минимальное подпространство мы назовем подпространстеом, поразгсденггмм множествам х, или лине41ной оболочкой множества (ха).
Ь4ы будем обозначать это подпространство Ь((х )). У и р аж и е и не. Линейно независимая система (х„) элементов линейного пространства Ь называется базисам Гамгял, если ее линейная оболочка совпадает с Ь. Доказать следующие утверждения: 1) В каждом линейном пространстве существует базис Гамеля. Указание. Использовать лемму Церна. 2) Если (х ) — базис Гамеля в Ь, то каждый вектор х й Ь единственным образом представляется в виде конечной линейной комбинации некоторых векторов системы (х ). 3) Любые два базиса Гамаля в линейном пространстве равиомошпы; мощность базиса Гамеля линейного пространства иногда называют алгебраической размгрнвсгаью этого пространства.
4) Линейные пространства изоморфиы тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую алгебраическую размерность. 4. Фактор-пространства. Пусть Ь вЂ” линейное пространство, и Ь' -- некоторое его подпрострапство. Скажем, что два элемента х и у из Ь зкеиеалекгпны, если их разность х — у прннццлежнт Ь'. Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. определяет разбиение всех х е Ь на классы.
Класс эквивалентных элементов называется классом смезюнасти (по пццпространству Ь'). Совокупногль всех таких классов мы назовем фактор-пространством Ь по 1,' и обозначим Ь[Ь'. т ). Лпнеанме пространства В любом фактор-пространстве, естественно, вводятся операции сложения и умножения на числа. Именно, пусть ~ и р .— два класса, представляющих собой элементы из Ь/Ь'. Выберем в каждом из этих классов по представителю, скажем, х и у соответственно, и назовем суммой классов С и р тот класс, который содержит элемент х+ р, а произведением класса ~ на число а тот класс )„который содержит элемент ах. Легко проверить, что результат не изменится от замены представителей х и у какими-либо другими представителями х' и у' тех же классов ~ и р. Таким образом, мы действительно определили линейные операции над элементами фактор- пространства Е/Ь'. Непосредственная проверка показывает, что эти операции удовлетворяют всем требованиям, содержащимся в определении линейного пространства (проведите чту проверку!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
