А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Иначе )х)веря, каждое факп)ор-простпрансв)во Ь/Ь' (с теми операциями сложения и умножения на числа, которые мы сейчас в нем определили) предстпавллетп собой линейное простпранстпво. Если Ь вЂ” пространство и измерений, а его надпространство Ь' имеет размерность Й, то фактор-пространство Ь/Ь' имеет размерность и — й (докажите это!). Пусть А — произвольное линейное пространство и Ьт — — некоторое его подпространство.
Размерность фактор-пространства Ь/Ь' называется коразмерносп)ею подпространства ь' в пространстве е",. Если подпространство Ь' с Ь имеет конечную коразмерность и, то в е можно выбрать элементы х),..., х„так, что всякий элемент х Е Ь будет (однозначно) представим в виде х = а)х) +... + а„х„+ р, где а),...,а„— числа и у й Ь'. Действительно, пусть фактор- пространство ь/Ь' имеет размерность и. Выберем в этом фактор- пространстве базис с),...,с„и из каждого класса сь выберем по представителю хь. Пусть теперь х — любой элемент из ь" и с — тот класс в Х/Ь', который содержит х. Тогда б = а! 4) +...
+ агап. По определению это значит, что каждый элемент из ~, в частности х, отличается лишь на элемент из Ь' от такой же линейной комбинации элементов х),...,х„, т.е. х = а) х) + ... + а„х„+ у. Однозначность такой записи предоставляем доказать читателю. 5. Линейные функпяоналы. Числовую функцию /, определенную на некотором линейном пространстве сн мы будем называть функционалом. Функционал / называется аддишивнмм, если /(х + у) = /(х) + /(р) для всех х,у Е А; 136 !л. 1П, Нсрморсеавнис и оксвологическис просвцкавскпва он назькваекюя однородным, если )(ох) = сках) (а -- произвольное число). Функционал у, определенный в комплексном линейном пространстве, называется сопряженно-одккородным, если Дах) =аДх), где о — число, комплексно сопряженное а.
Аддитивный однородный функционал называется яннейккмм функционалом. Адцитивный сопряженно-однородный функционал называется сопряжеккно-линейным, а иногда пояулинейнмм. Укажем примеры линейных функционалов. 1. Пусть И" есть п-мерное арифметическое пространство с элементами х = (хк,..., х„) и а = (ак....., а„) — - произвольный набор из и фиксированных чисел. 1'огда Дх) = ~ ~а;х; — — линейный функционал в К". Выражение п Дх) = ~~~ а;х; представляет собой сопряженно-линейный функционал в С".
2. Интегралы 3[х) = /'хфкП, Х[х[ = /х(й)Ж с а прецставляют собой соответственно линейный и сопряженно-линейный функционалы в пространстве С[а, Ь[. 3. Рассмотрим более общий пример. Пусть уо — — некоторая фиксированная непрерывная функция на [а, Ь[. Положим для любой функции х и С[а, Ь] ко(х) = / х(й)уо(й) дса с Линейность етого функционала следует из основных свойств операции интегрирования. Функционал Г(х) = / х(~)уо(4) Ж с будет сопряженно-линейным (в комплексном пространстве С[а, Ь)). 4. Рассмотрим в том же самом пространстве С[а,Ь) линейный функционал другого типа, а именно, положим дк„—— х(ко), так что 1 ь двяавнев яр»старовато«а 1з7 значение функционала дм на функции х равно значению этой функции в фиксированной точке 1о.
Этот функционал обычно записывают в виде ь дм(х) = ~ х(1)6(1 — 1о) д1, а понимал под б «функцию», которая равна нулю всюду, кроме точки 1 = О, и интеграл от которой равен единице (д-функция Дирака). Такие «функции» получили строгое определение в рамках теории обобщенных функций, элементы которой будут изложены в З 4 следующей главы. 5. Приведем пример линейного функционала в пространстве 17.
Пусть к — фиксированное целое положительное число. Для кажДого х = (хы...,ха,... ) из (з положим 7»(х) = ха. Линейность такого функционала очевидна. Эти функционалы допускают «распространение» на другие пространства последовательностей, например, на со, с, тп, К'"' (примеры 5-8, и. 1). 6. Геометрический смысл линейного функционала. Пусть 1 — некоторый отличный от тождественного нуля линейный функционал на ливойном пространстве Ь. Совокупность тех элементов х из Ь, которые удовлетворяют условию 7'(х) = О, представляет собой подпространство пространства Ь вЂ” подпростронстиео нулей или ядро функционала 7'. Действительно, если 7(х) = 7'(у) = О, то 7'(ох + ду) = оХ(х) + рХ(у) = О.
Это подпространство обозначается Кег 7' 7). Подпространство Кег7' имеет коразмерность 1. Действительно, возьмем какой-либо элемент хо, не входяппай в Кег 7", т. е. такой элемент, что 7'(хо) ф О. Такой элемент найдется, поскольку 7(х) ~ О. Без ограничения общности можно считать, что 7"(хо) = 1, нбо в противном случае мы заменили бы хо на 'в . 1Ясио, ~то ~(='а 1 =1) У(ха) ' ~ ' Ч(хо)7 для каждого элемента х положим у = х — У(х)хо; тогда У(у) = = У(х У(х)хо) = О, т.е. у Е Кег(. Представление элемента х в виде х = охо + у, где у Е Кету, при фиксированном элементе хо единственно. В самом деле, пусть х=тххо+у, уЕКегу, х=о'хо+у', у'ЕКегу.
Тогда (о — и')хо— - у' — у. ~)От аягливакато слова Йагяа! — ядро. 13з Ре. П1. Нормировоннне и тоиоооеичесеие иростронство Если здесь а = а', то очевидно, что у' = у. Если же а ф а', то хе =, б Кег 1", что пРотивоРечит втвбоРУ хе. у у Отсюда следует, что два элемента х1 и хг тогда и только тогда принадлежат одному классу смежности по надпространству Кегу, когда 1(х1) = Г(хг). Действительно, из х1 = 1(х1)хе + умхг — — 1(хг)хо + уг вытекает, что х1 — хг — — (7(хс) — 1(хг)) хо + (уг — уг). Отсюда видно, что х1 — хг б Кету тогда и только тогда, когда коэффициент при хв, т.
е. у(х1) — 1(хг), равен О. Всякий класс ~ по подпростраиству Кегу' определяется любым из своих представителей. В качестве такого представителя можио взять элемент вида ахе. Отсюда видно, что подпростраиство Ь/ Кегу действительно одномерно, т.е. Кегу имеет корэзмерность 1. Подпростраиство Кег 1" определяет линейный функционал, обрапгающийся иа нем в нуль, с точностью до постояииого множителя. В самом деле, пусть функционалы 1 и д имеют одно и то же ядро: Кег 1' = Кег д.
Выберем элемент хв так, чтобы 1(хе) = 1. Мы утверждаем, что д(хе) г~ О. Действительно, х = 1(х)хо+ у, у й Кег1 = Кегд, д(х) = 1(х)д(хо) + д(у) = У(х)д(хо). Если бы значение д(хе) равнялось О, то функционал д был бы тождествеииым пулем. Из равенства д(х) = д(хв) 1(х) и вытекает пропорциопалг ность функционалов д и 1. Для всякого подпрострапства Ь' коразмериости 1 можно указать такой функционал 1', что Кету = Ь'. Достаточно выбрать произвольный элемент хе ф Ь' и представить каждый элемент х б 1, в виде х = ахе+у. Такое представление едииственпо. Положив г(х) = а, мы получим линейный функционал 1, для которого Кег 1 =:о' (проверить это1). Пусть 1' — какое-нибудь подпростраиство коразмериости 1 в липейиом пространстве г.; тогда всякий класс смежности простраиства Ь по подпростраиству 1,' иазывается ги~ерплоскосевью, параллельиой подпрострапству Ь' (в частности, само подпростраиство 1,' является гиперплоскостью, содержащей О, т.е.
«проходящей через зачала коордииат»). Иными словами, гиперплоскость М', парвллельиэя подпрострапству Ь', — это множество, получающееся из 1' параллельным переносом (сдвигом) па какай-нибудь вектор хв й 1: М' = Ь'+ хо = (у: у = х+ хо, х Е 1'). Ясно, что если хе й А', то М' = Ь'1 если жо хв ф Ь', то М' ф Е'. Если г — нетривиальный линейный функционал иа пространстве Ь, 1 ьк выпуклые мкоэкветва и вььпуклне взкккчпокалн то множество Ме = (х: Х(х) = 1) является гнперплоскостью, параллельной надпространству Кег Х (действительно, фиксируя какой- нибудь элемент хе, для которого Х(хе) = 1, мы можем всякий вектор х Е Мь, представить в виде х = хе + у, где у Е Кег Х).
С другой стороны, если М' — какая-нибудь гиперплоскостзч параллельная подпространству Х'(коразмерности 1) и не проходящая через начало координат, то существует единственный линейный функционал Х такой, что М' = (х: Х(х) = 1), Действительно, пусть М' = Х' + хе, хе Е Х; тогда всякий элемент х Е Х однозначно представим в виде и = охе+ у, где у Е Х . Полагая, как и выше, Х (х) = о, мы получим искомый линейный функционал; единственность следует из того, что если д(х) = 1 при х Е ЛХ', то д(у) = О при у Е Х', так что д(охе + у) = о = Х(ьххе+ у). Таким образом, успьаноалена взаимно однозначное спапьаегастеие между всеми непьриеиальными линейными фуьькцианалальи, определенными на Ь, и всеми зиперплоскостями в Ь, не прехадящильи через начало координат. Упражнение.
Пусть Х, Хь,..., Х вЂ” такие линейные функционалы на линейном пространстве Хь что нз Хь(х) = . = Х„(х) = 0 вытекает Х(х) = О. Тогда существуют такие постоянные аь,...,а„, что У(х) = Х" аьХь(х) лпя всех х Е Ь. ь=.ь з 2. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана-Ванаха 1. Выпуклые множества и выпуклые тела. В основе многих важных разделов теории линейных пространств лежит понятие выпуклости. Оно опирается на наглядные геометрические представления, но вместе с тем допускает н чисто аналитическую формулировку. Пусть Х, — некоторое линейное действительное пространство и х, у — две его точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
