А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 18
Текст из файла (страница 18)
р(х', х") < р(х*, у') + р(у', х'). ) Чтобы не усложнить записгп мы обозначаем расстопиие в 1К" тем же символом р, что и расстоииие в исходном пространстве Ж. 4. Лривцив сжимающих опьзбрияггвий Докажем теперь, что Л можно рассматривать как подиространство пространства Л". Каждой точке х б Л отвечает некоторый класс эквивалентных фундаментальных последовательностей, именно, совокупность всех последовательностей, сходящихся к точке х. Этот класс игпуст, поскольку ои содержит стациоаа1эиую последовательность., все члены которой равны х. При этом, если х = 1пп х„и у = !пп у„, .то и — >с п — ~о: р(х,у) =- !ип р(х„,у„).
п->ов Следовательно., соотнеся каждой точке х б Л класс з.* сходяии4хся к ней фундаментальных последователыюстей, мы нзометри" ~есин отобразим Л в пространство Л*. В дальнейшем мы можем не различать само пространство Л и его образ в Л' и рассматривать Л как подпространство в Л'. Покажем теперь, что Л всюду плотно в Л". Действительно, пусть х* — некоторая точка из Л' и е > О произвольно. Выберем в х" представителя, т.с.
некоторую фундаментальную последовательность (х„,). Пусть Х таково,что р(х„,х„,) < е для всех и,, п~ > Х. Тост!а имеем р(х„,х*) = 1ип р(х,,х,,) < г И вЂ” ~Х ири и > Х, т, е. произвольная окрестность точки х" содержит некоторую точку из Л. Таким образом, замыкание Л в Л' есть все Л'. Остается доказать полноту Л'. Заметим.
прежде всего, что по построонию Л;иобая фундаментальная последоватетьиость хы..., х„,... точек из Л сходится в Л' к некоторой точке., а имешю, к точке х" б Л", определяемой самой этой последовательностью. Далее, так как Л плотно в Л*, то для любой фундаментальной последовательности х",..., х,„... точек из Л' можно построить эквивалентную ей последовательность хы..., х„,... точек из Л. Для этого достаточно в качестве х„взять любую точку из Л, такую, что р(х„,х'„) < 1/и.
Построенная последовательность (х„) фундаментальна в Л и, по определению, сходится к некоторой точке х* б Л*. 1!о тогда к х" сходится и последовательность (х*„). з 4. Принпип сжимающих отображений и его применения 1. Принцип сжимающих отображений. Ряд в4щросов, связанных с существованием н единственностью решений уравнений того или иного типа (например, дифференциальных уравнений), можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствую- Гл.
!!. Ммпгочссиис и тополосичссиис простор««ос«оп щего метрического пространства в себя, Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях один нз простейших и в то же время наиболее важных — так называемый аринина сжимающих аспображений, Пусть Л вЂ” метрическое пространство. Отображение А пространства Я в себя называется сзкимающим отпобразкенисм, или короче, сжагаием, если существует такое число и < 1, что для любых двух точек х, у б Л выполняется неравенство р(Ах, Ау) < ор(х,у).
Всякое сжимающее отображение непрерывно. Действительно, если х„-+ х, то в силу (1) и Ахп -! Ах. Точка х называется неподвижной гаечкой отображения А, если Ах = х. Иначе говоря, неподвижные точки — это решения уравнения Ах = х. Т е о р е м а 1 (п р и н ц и п с ж и м а ю щ и х о т о б р а ж е н и й). Всякое сжимающее отображение, определетисое в полном метрическом пространстве Й, имеет одну н только одну неподвижную точку.
Доказательство. Пусть хв — произвольная точка в Н. Положим х! — — Ахе, хз = Ах! — — А хе и т.д.; вообще, хп ос Ахи ! — — А«хе. Покажем, что последовательность (хи) фундаментальная. Действительно, считая для определенности га > и, имеем р(хп,х ) = р(А«ха,А"'хо) < ссор(то,х и) < (Р(хе~ х1) + Р(хы хз) + ' ' + Р(хсп — и — ы хп1 — и)) ~1 < опр(хе,х,)(1+о+от+ +оси " !) < < о™р(хо,хь) —. Так как о < 1, то при достаточно большом п эта величина сколь угодно мала. В силу полноты Л последонательность (хп), будучи фундаментальной, имеет предел.
Положим х сс 1пп хи. и->оо Тогда в силу непрерывности отображения А Ах = А 1пп хи оо 1пп Ахп оо йш хил! = х. и-ооо и-ооо «-соо Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Если Ах=х, Ау=у, 1 4. Пронино с>юимоннчих одобри>слюне то неравенство (1) принимает вид р(х, у) < пр(х.у); так как а < 1, отснша слш>ует, что д(х,у) = О, т.е. х, =- у. Упражнение. Показать на примере, что отображение А, удовлетворяющее условию р(Ах, Ау) < р(х, у) для всех х ф у, может не нме>ь нн одноИ неподвнжноИ точки. 2. Простейшие применения принципа сжимающих отображений, Принцип сжимающих отображений можно применять к доказательству теорем существования н единстненности решений для уравнений различных типов.
Помимо доказательства суще ствования и единственности решения уравнения Ах = х, принцип сжцмаюьчих отображений дает и фактический метод приближенного нахождения этого решения (метод последовательных п рибл иж с ни й). Рассмотрим следующие простые примеры.
1. Пусть у — функция, которая определена на сегменте [а, Ц, удовлетворяет условию Липшица ~,((хз) > (х1)~ ~< 1 )хз х1 ~ с константой К < 1 и отображает сегмент (а, 61 в себя. Тогда у' есть сжимающее отображение и согласно доказанной теореме последовательность хе, х> — — ((хе), хз = у(х>), ... сходится к единственному корню уравнения х = Г'(х). Рнс. 9 Рнс. 10 !л. ц. Метрические и топологпчсспиг проспгранспгеа В частности, условие сжимаемости выполнено, если функция имеет на сегменте [ач У] производную /'(х), причем [1'(х)] < К ( 1. На рис. 9 н 10 изображен ход последовательных приближений в случае О < 1" (х) < 1 н в случае — 1 ( 1" (х) ( О.
Пусть теперь мы имеем дело с уравнением вида Е(х) = О, причем Е(а) < О, р ((г) > О и О < К1 < р'(х) ~< Кт на [а,в]. Введем функцию ,1 (х) = т. — лГ(х) и будем искать решение уравнения х = 1"(х), равносильного уравнению Е(х) = О при Л ф О. Так как ~'(х) = 1 — ЛГ'(х), то 1 — ЛК1 < 1'(х) ( 1 — ЛК1 и нетрудно подобрать число Л так, чтобы можно было действовать методом последовательных приближений. Это - — распространенный метод отыскания корня. 2.
1'ассмотрим отображение А и-мерного пространства в себя, задаваемое системой линейных уравнений и Уг ~' рмгхг + У1г 1.=1 Если А есть сжатие, то мы можем применить метод последовательных приближений к решению уравнения х = Ах. При каких же условиях отображение А будет сжатием? Ответ па зтот вопрос зависит от выбора метрики в пространстве, Рассмотрим трн варианта. а) Пространство К", т.е, р(х,у) = шах [хе — у,]; 1<г(п р(у',уп) = шах]у' ,— у,"] = шах~~~ аб(х' — х')~ < < Шак~~г ]ие]]Х,' — Х"[ ( П1ак ,'г [а„.[Шаи[Х,' — Х",[ = = ~шах~ ~[а11])р(х,х').
Отсюда условие сжимаемости ]ае [<а<1, 1=1,...,п. 1=1 и б) Пространство гк1', т.е. р(х,у) = ~п ]х; — у,[; с=1 Р(У,У ) = ~~г [У; — У; [ = ~~г ~~~ оег(х- — х1)[ < ( ~~г 'р [аг[[х' — х"[ ( ~шах~юг [а;;[)р(х'гхп). 1 св 17рннцин союгниаюгани оигобраисений Отшода услови! сжимаевгости ~)ац~ <о<1, 7=-1,...,п. в) Пространство )й", т.е.
р(х,р) =,7'2,'(х, — у;)'. На основании неравенства Коши-Буняковского имеом р (у'Ойн) = 27 (~ П17(Х1 — Х,")) < ~~ ') П,',)рт(Х',Хн). Ото!ода условие сжимаемости ат" < о < 1. (4! (Ш (, (о),(о! 1 ~''' !н (И ( (1) (1)) (ь) („(1), (ь)) где (Ь) Ч (1.— И х1 = кт а!ух + Ь1, 1=1 а в качестве х(о) = (х( ),..., х(, )) можно взять лк!бую точку ич Й". (о) (о) Каждое из успений (2)-(4) достаточно для того, чтобы отображение и = Ах было сжатием. Относительно условий (2) и (3) ) В частности, и! любого ив условий (2)-(4) вытекает, что аг! — 1 а!! ат! атт — 1 а!и ав„ х о. а„! т ...
а 1 — 1 Таким образом, если выполнено хотя бы одно из у!!лений ') (2)- (4), то существует одна и только одна точки (х1,..., х„) такая. что хг = 2,' ог х) + (),, причем последовательные приближения к этому 1 — "1 решению имек1т вид дг. П. Меигиические и гпопологические просгпронсгпоо можно было бы доказать, что они и необходимы для того, чтобы отображение р = Ах было сжатием (и смысло метрик а) или б) соответственно). Ни одно из условий (2) — (4) не необходимо для прилее77имости метода последовательных приближений. Если (а77! < 1/и, то все трн условия (2) (4) выполнены и леетод последовательных приближений заведомо прил7еним. Ее пи )а71( > 1/и, то ни одно из условий (2)- (4) не выполнено.
3. Теоремы существования и единственности для дифференциальных уравнений. В предыдущем пункте были даны два простейших примера применения принципа сжимающих отображений в одномерном и в 77-мерном пространствах. Однако наиболее существенны для аналцза применения этого принципа в бесконечномсрных функциональных пространсгвах.
Сейчас мы покажем, как с его помощью можно получить теоремы существования и единственности решения для некоторых типов дифференшиальных и интегральных уравнений. 1. Задача Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение (е) с1р/Йх = /(х,д) с начальным условием Р(хо) =- ущ (б) причем функция / определена и непрерывна в некоторой плох'.кой области С, содержащей точку (хиг ро), и удовлетворяет в этой области условшо Липппща по р: ~У(Х РЛ) — /(Хг Ри) ~ < ЫЬ7 — Ы Докажем, что тогда на некотором сегменте !х — Х77! < 71 суп7егтвует, и пРитом только оДно, Решение У = Уг(х) УРавнениЯ (5)г УДовлетворяю7цее начальному условию (б) (теорема Пикара).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
