А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 14
Текст из файла (страница 14)
т.е. — числоная функция. определенная на некотором подмножестве Х числовой оси, то приведенное определение непрерывности отображения превращаетгя в хорошо известное нз элементарного анализа определение непрерывности функции. Аналогично можно определить непрерывцусо функцшо (отображение) 1 от нескольких переменных хе б Хы..., х„б Л„(где Хы...,Л"„— метрические пространства) со значениями в метрическом пространстве 1'.
Заметим в этой связи, что само расстояние р(х, у), если рассматривать его как функцию переменных х н у из Х, непрерывно. Это сразу же следует из неравенства ~р(х, у) — р(ха, уа)! < р(ха, х) + р(уо- у), легко выводимого из неравенства треугольника. Если отображение 1': Х вЂ > 1' взаимно однозначно,то существует обратное отображение х = 1 '(у) пространства 1' на пространство Х. Если отображение 1 взаимно однозначно и взаимно непрерывно (т.е. 1 и г" ' -- непрерывные отображения), то оно называется гомеоморфнксм отобразюеииелс илп гомеоморфизлеом, а сами пространства Х и 1', между которыми можно установить гомеоморфизм, называются гомеомор4иьезеи между собой.
Примером гомеоъюрфных метрических пространств могут служить вся числовая прямая ( — оо, оо) и интервал, например, интервал ( — 1, 1). В этом случае гомеоморфизм устанавливается формулой у = — агсскх. Важным частным случаем гомеоморфизма явлнется так называемое изометрическое отображение. Говорят, что бнекция 1 между метрическими пространствами зс = (Л, р) и сс' = (У, р') является изомгтприей, если р(хыхз) = р'(1(х1),1(хг)) для любых хг, хг й й. Пространства Л и й', между которыми можно установить изометрическое соответствие, называются изомгепричимми. Изомстрия пространства Л и Л' означает, что метрические связи между их элементами одни и те же; различной может быть лишь 1 и Схоььэьльоь'тььь. Сьвхръььпеьв а воменвоьыв мнюэввгшво природа их элементов, что с точки зрения теории льетрических пространств несущественно.
В дальнейшем изометричвые между собой пространства мы блудом рассматривать просто как тождественные. К изложенным здесь понятиям (непрерывность, гомеоморфизм) мы ээернемся, с более общей точки зрения, в конце з б этой главы. ] 2. Сходимость. Открытые и замкнутые множества 1. Предельные точки. Замыкание. Мы введелэ здесь некоторые понятия теории метрических пространств. Зэ.и понятия мы неоднократно используем в дальнейшем. Открмьпмм сааром В(хо, э) в метрическом пространстве Л мы будем называть совокупность точек х Е Л, удовлетворяющих условию р(:г, та) < г. Точка ха называется центром этого шара, а число г — его рььдирсаль. Замкнутым шаром В[ха, г] мы назовем совокупность точек х е Ль удовлетворяющих условию р(х,ха) < г. Открытый шар радиуса г с центром хо мы будем называть также г-окрестностью точки ха и обозначать символом Ов(ха).
У праж и ение. Привести пример метрического пространства н таких двух шаров В(х,рэ), В(в,рь) в нем, чта рь > рг, и тем ие менее В(х,рь) С В(и,рг), Множество М О Л называется ограниченным, если оно содержится целиком в некотороль шаре. Точка х е Л называется точкой прикосновения множества М С Л, если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из М. Совокупность всех точек прикосновения множества М обозначается [ЛХ] и называется замыканием этого множества. Таким образом, мы определилн для множеств метрического пространства операцию замыкания -- переход от множества М к его замыканию [М]. Теорема 1.
Операция замыкспшя обладает следующими свойствамиэ 1) ЛХ с [М], 2) [[Лб]] = [М], 3) если Мэ С Мз, то [Л1э[с [Мт], 4) [М Сэ'М]=[Л4,'О[М]. рл. П. Мегпричгские и пгспслегические прсспграггсгггеп 64 Доказательство. Первое утверждениеочевидно, так как всякая точка, принадлежащая М, является для М точкой прикосновения. Докажем второе.
Пусть х б [[ЛХ)]. Тогда в любой окрестности 0,(х) этой точки найдется точка х1 б [М]. Положим е — р(х, хэ) = ег и рассмотрим шар 0„(хэ). Этот гпар целиком лежит внутри шара 0,(х). Действительно, если г б 0„(хэ), то р(г, хг ) < гы и так как р(х, хэ) = с — гы то по аксиоме треугольника р(г,х) с г1 + (с — г1) = г> т е. г б 0,(х). Так как хэ б [ЛХ], то в 0„(хэ) найдется точка ха б М.
Но тогда хз б Ое(х). Так как 0,(х) — — произвольная окрестность точки х, то х б [ЛХ]. Второе утверждение доказано. Третье свойство очевидно. Докажем, наконец, четвертое свойство. Если х Е [Мг О Мг), то х. содержится по крайней мере в одном из множеств [Мг) илн [ЛХг], т.е. [М, О ЛХ,] С [ЛХ,] О [Мг]. Так как ЛХг С М~ О Мз и Мг С ЛХг О Мг, то обратное включение следует из свойства 3). Теорема доказана полностью. Точка х б В называется предельной точкой множества М С В, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из ЛХ.
Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать М. Например, если М вЂ” множество рациональных чисел из отрезка [О, 1), то каждая точка этого отрезка -- предельная для М. Точка х, принадлежащая М, называется изолированной тпочкой этого множества, если в достаточно малой ее окрестности 0,(х) нет точек из ЛХ, отличных от х. Предлагаем читателю доказать в качестве упржкнеиия следующее утверждение: Всякая точка прикосновения мэгозгсестоа М есть либо предельная, либо изолированная точка этого множества. Отсюда можно заклк~чить, что замыкание [М] состоит, вообще говоря, из точек трех типов: 1) изолированные точки множества М; 2) предельные точки множества М, принвдлезкащие ЛХ; 3) предельные точки множества М, не принадлежащие М.
Таким образом, замыкание [М] получается присоединением к ЛХ всех его предельных точек. 2. Скодимость, Пусть хм ха,... — последовательность точек в метрическом пространстве ХХ. Говорят, что эта последовательность 1 в. Скодимогть. Огпкрктко и эамкпртпп мпоэпхоэпоа 65 сходипгся к гаечке х, если каждая окрестность Ос(х) точки х содержит все точки х„, начиная с некоторой, т.е. если для всякого а ) О найдется такое число Лэ, что Оо(х) содержит все гочки хп с и > Ь;. Точка х называется пггеделвм последовательности (х„). Это определение момсно, очевидно, сформулировать еще и следующим образом: последовательность (х.„) сходится к:г,, если !!гп р(х,х„) = О.
и — г юэ Неггосредствегггго из определения предела вытекает, что 1) никакая последователыюсть но может иметь двух различных пределов и что 2) если последовательность (х„) сходится к точке х, то и всякая ое подпоследовательпость сходится к той же самой точке. Следующая теорема устанавливаот тесную связь между понятиями точки прикосновения и предела. Теорема 2. Для того чтобы точка х быэт точкой прикосяове; пня множества М, необходимо и достаточно., чтобы существовала послецонательногть (хп) точек из М, сходящаяся к х. Доказательство. эсщовие необходимо, так как тли х — точка прикосновения множества М, то в каждой ее окрестности Огрг(х) содержится хотя бы одна точка хп е М. Эти точки образунгт последовательнострп сходящугося к х.
Достаточность очевидна. Если х — предельная точка множества М, то точки х„б Оггп(х) и М, отвечагощие разным и, можно выбрать попарно различными. Таким образом, для топо чтобы точка х была предельной для М, необходимо и достаточно, чтобы в М сущгсгпвввала последовательность попарив различных точек, сходящалсл к х.
Понятие непрерывности отображения метрического пространства Х в метрическое пространство 1', введенное в 51, можно теперь сформулировать в терминах сходимости пощгедователыюстей. Именно, отображение у = 1(х) непрерывно в точке хо, сели дли всякой последовательности (х„), сходящейся к те, последовательность (угг = У(х. )) сходится к уо = У(хо) Доказательство разносил!,ности этого определения ггривеГГеггнолгу в 5 1 ничем не отличается от доказательства равносильности двух определений непрерывности («на языке е, й» и «иа языке последовательностей») функций числового аргумента и может быть предоставлено читателю.
3. Плотные подмножества. Пусть А и В два множества в метрическом пространстве Л. Множество А называется плотным в В, если [А] Э В. В частности, множество А называется всюду плвгпиым (в пространстве В), если его замыкание (А) совпадает со бб !'л. !!. Мепьричееиие и пьополоеичеееие проел>роне>пол всем пространством й. Например, множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой. Множество А называется нигде не еьлотнмм, если оно не плотно ни в одном шаре, т. е.
если в каждом шаре В С Л содержится другой шар В', не имеющий с А ня одной общей точки. Примеры пространств, имеющих всюду плотное счетное множество. Пространства, в которых имеется счетное всюду плотное множество, называют сепарабельниими. Рассмотрим с этой точки зрения примеры, которые приведены в б 1. 1. «Дискретное» пространство, описанное в примере 1 б 1, содержит счетное всюду плотное в нем множество тогда и только тогда, когда оно само состоит лишь из счетного числа точек.
Дело в том, что замыкание [М] люГ>ого множества М в этом пространстве совпадает с М. Все пространства, перочисленные в примерах 2 — 8 б1, содержат счетные всюду плотные множества. Укажем в каждом из них по такому множеству, настоятельно рекомендуя читателю провести подробные доказательства. 2. На действительной оси К вЂ” рациональные точки. 3-5. В и-мерном евклидовом пространстве К" и в пространствах К" ,ь К„" — совокупность векторов с рациональными координатами. б. В пространстве С[и, Ь] — совокущюсть всех многочленов с рациональными хоэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
