А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Отсюда вытекает, что функционал г — („ ограничен. Но тогда ограничен и, значит, непрерывен и функционал у =,1а+ (~ —,)а). Кроме того, отсюда же следует, что !!1 — у„!! < е для всех н > М, т.е. что (та) сходится к 1, Подчеркнем еще раз, что эта теорема справедлива независимо от того, полно или нет исходное пространство. Замечание. Если нормированное пространство Е не полно, а Š—. его пополнение, то пространства Е* и (Е)* изоморфны. Действительно, если Е вложено в Е в качестве всюду плотного подмножества, то всякий линейный непрерывный на Е функционал ( продолжается по непрерывности с Е на все Е. Обозначим это (единственное!) продолжение 7. Ясно, что У а (Е)", !!г )! = !)Д, и что всякий функционал из (Е)* служит продолжением некоторого функционала из (Е)' (а именно, своего сужения на Е).
Следовательно, отображение у -+ Г' представляет собой нзоморфное отображение пространства Е' на все пространство (Е)'. Определим теперь сильную нгопологию в пространстве, сопряженном к произвольному линейному топологическому. В пространстве, сопряженном к нормированному, мы определили окрестность нуля как совокупность функционалов, удовлетворяющих условию !Я <е. Иначе говоря, за окрестность нуля в пространстве Е', сопряженном к нормированному, принимается совокупность функционалов, для 1 а оакрлэсеккае кроск~ракстео которых )у(х)) < г, когда т пробегает в Е единичный шар Йх)! ( 1.
Беря всевозможные г, получим определяющую систему окрестностей нуля. В случае, когда Е --не нормированное, а топологическое линейное пространство, вместо единичного ьчара в Е естественно взять произвольное ограниченное множество А. Окрестность нуля У,,л в Е' определяется как совокупность линейных функционалов, удовлетворяющих условию (Дх)! < г при всех х й А. Варьируя г в А, получим определяющую систему окрестностей нуля в Е.
Итак, сильная тогюлогия в.Е' задается совокупностью окрестностей нуля, зависящих от положительного числа г и ограниченного множества А С Е. Мы не будем здесь проверять, хотя это и несложно (см., например, (9]), что такая система окрестностей действительно превращает Е' в линейное топологическое пространство. Ясно, что в случае нормированного пространства Е только что описанная сильная топология в Е' совпадает с той, которая определялась с помощью нормы. Заметим, что сильная топология в Е' обязательно удовлетворяет аксиоме отделимости Т, и локально выпукла (независимо от топологии в Е).
Действительно, если /э Е Е' и уэ Зг О, то найДетсЯ такой элемент хо Е Е, что уэ(хэ) = О; положим г = у~Уо(та)1 и А = (яо) 1 тогда (с ф У,л, т. е. Е* — — Тыпространство. Для доказательства локальной выпуклости сильной топологии в Е" достаточно заметить, что для любого г ) О и любого ограниченного А С Е окрестность Угл выпукла в Е. Сильную топологию в Е' обозначим символом б; желая подчеркнуть, что Е* рассматривается в сильной топологии, мы будем писать (Е", Ь) вместо Е'. 3. Примеры сопряженных пространств. 1.
Пусть Š— п,-мерное линейное пространство (действительное или комплексное). Выберем в нем какой-нибудь базис еы...,е„; тогда всякий вектор т с Е однозначно представим в виде т = ~ х;е;. Если / — линейный функционал на Е, то ясно, что следовательно, линейный функционал однозначно определяется своими значениями на векторах базиса еы..., е„, причем эти значения можно задать произвольно. Определим линейные функционалы аоо рл. !Ч.
Линааныо функционалы и анара!норы д1,...,д„, полагая ж 1, ЕГЛИ1к 11, д (е,) = О, если! р11 Очевидно, что эти функционалы линейно независимы. Ясно, что д,(х) = х1, поэтому формулу (1) можно:щписать в виде и У()=~ У(е)д(), Таким образом, функционалы д1,...,д„составляют базис в пространстве Е*, т.е. Е' есть и-мерное линейное пространство; базис д1,..., д„в Е* называют двойственным по отношению к базису е1,...,е„в Е. Различные нормы в пространстве Е нндуцируют различные нормы в Е".
Вот несколько примеров пар соответствующих друг другу норм в Е и Е' (читателю рекомендуется аккуратно провести соответствующие доказательства): (а) ЦхЦ=(~~ /х,! ), ЦД=(~ !Л! ) !=1 1=1 (б) ЦхЦ вЂ” (~~,! ! ) ЦП вЂ” (,~ !У1) -+- — 1 1<р< а=1 1=1 (С) ЦХЦка Енр )Х1), ЦД=~~ ЦД; 1<1<и (11) ЦхЦ=~ (х1Ц ЦП= впр )Д!.
В этих формулах х1, ..., х„— что координаты вектора х Е Е и базисе е1,, Е„, а 11,,, 1„— кооРдинаты функционала 1 Е Е* В днейетВЕННОМ баЗИСЕ д1,,.,,дн. Упражнение. Доказать, что все перечисленные нормы определяют в и-мерном пространстве одну и ту же топологию. 2. Рассмотрил! пространство се сходящихся к нулю последова- тЕЛЫЮСтЕЙ Х = (Х1,..., Х„,...
) С НОрМОИ ЦХЦ = Знр (Хн) И ПОКВжЕМ, п что саврас!сенное к нему простпранспщо (го, Ц . Ц) пзоморфно пространству 11 всех абсолютно суммиру1ммх последовательностей 1 = (11,...,1а,...) с нормой ЦЛ = 2 ЦЯ. Любая последовательн=-1 ность (' е 11 определяет в пространстве са линейный ограниченный 1 3. Сопрпопх!епое пр !еперопетоо функционал у по формуле (Х) = Ь-хоб ии ! ясно, то !,г(х)( ( пхО 2 ((„(, так что (Я < 2 'ь(„! ( Щ.
и=! и=! 1 аех'мотрим н со векторы е! = (1,0,0,...,О,О,...), ез = (Ое1,.0.....,0,0,...), (2) еи = (0,0,0,..., 1,0,...), п=! и и положим х!~е = 2, — "е„(если (и = О, то считаем, что —" = 0). „ил!Я " '* ' ' 1И Тогда х! 1 е се, 'Ох! 1)! < 1 и !о м 7(х~ ~) = ~~! — "7(е„) = у )Я, ~И и=! и=! так что !!нп 7(хоай) = 2 (,(„! = ))Д. Следовательно, ОД ) ~" (ри(; М-нп и=! п=! сопоставляя это с доказанным выше противоположным неравен- ством, заключаем, что ~ф) = 2 (г"„! = Щ!. п=! Таким образом, мы построили л и вейн ое изометрическое отображение ~ -! р" пространства 1! в пространство со! оста- ется проверить, что образ пространства (! при этол! отображении совпадает со всем с„', т.
е. что всякий функционал У е со представим в ниде (2), где ( = (!'„) Е 1!. Дця нсякого х = (х„) Е се имеем х = 2и х„еп, пРичем Рнд, стонщий спРава, сходитсЯ в се к влек|сп- ту х, ибо ~)х — 2,' х„е„,'~ = зцр )хе,( -+ 0 при М вЂ” ! оо. Так как и=! и>!О функционал ( е со непрерывен, то 1(х) = 2, х„Деп); поэтому до- статочно пРовеРить, что 2, Щеп))<оо.
Полагаа х!~!ее~ ="еп „=! (1(Еи)! и замечая, что хбм! Е со, !!х!е'!() < 1, имеем И !ч „, ~У( )! !У(е )~ = ~ = — '" У(еп) = У(х' ') < )Л, откУда н силУ пРоизвольности Ф заключаем, что 2 (Дои)! < оо. 202 Го. 11( Лпнеанне фрнкпноналн п оператоорн 3. Нетрудно доказаггн что пространство 1;, сопряженное к пространству 11, пзоморфно пространству т, состоящему из всех огра- НИЧЕННЫХ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЕИ Х = (Х„) С НОРМОЙ 321)) = ЗПР )Хп). и 4. Пусть р > 1 и 1р . пространство всех последовательностей х = (хп), дпя которых Йх(! = (~ )х„)р) ( оо; можно доказать, что сопряженное к нему пространство 1' ичоморфно пространству 1о, 1/р+ 1/й = 1.
Общий вид линейного непрерывного функционала на 1р1 ~(х) = ~1пхп; х = (хп) Е (р~ У = (2п) Е 1д ° ппе Доказательство основана на применении неравенства Гельдерн. 5. Выясним структуру пространства, сопряженного к гильбертову. Теорема 2. Пусть Н вЂ” действительное гильбертово пространство. Дпя всякого непрерывного линейного функционала У на Н сУп1ествУет единственный элемент хе Е Н такой, что ) (х) = (а:, хэ), х Е Н, (3) прячем (Щ = ()хе(!. Обратяо, если хе Е Н, то формула (3) определяет такой непрерывный линейный функционал 1, что ОД = йхе(). Таким образом, раиенство (3) определяет нзоморфпзм 2" -ь те между пространстпамн Н" и Н.
Доказательство. Очевидно, что для всякого хе Е Н формула (3) определяет линейяый функционал на Н. Так как )~(х)! = = )(х,хо)~ ( йхй йхеЙ, то этот функционал непрерывен, а так как У(хо) = !~хо!1~, то !)П = Йхо~! Покажем, что всякий непрерывный линейный функционал 7 на Н представим в виде (3). Если 7' = О,. то полагаем хе = О. Пусть теперь 2 ~ 0 и Но = (х: У(х) = 0) ядро функционала 2'; так как 2 непрерывен, то Не — замкнутое линейное подпространство в Н. В и. б 2 1 гл. П1 было показано, что коразмерность ядра любого линейного функционала равна 1.
Поэтому, учитывая следствие 3 теоремы 7 из 2 4 гл. П1, заключаем, что ортогональное дополнение Не к подпространству Не одномерно, т.е. существует такой (ненулевой) вектор уо, ортогональный к Не,что всякий вектор х Е Н однозначно представим в виде х = у+ Луе, где у Е Но. Очевидно, можно считать, что ))уе)) = 1; 203 1 2. Ссоеернженное пространство положим хо = Дуо)у,!. Тогда для любого х б Н имеем х = у+ Луо, у б Но, У(х) = ЛУ(уо), (х,хо) = Л(уо,хо) = Ч(уо)(уо, уо) = ЛУ(уо). Таким образом, т'(х) = (х,хо) для всех х б Н.
Если Дх) = (х, хо), х б Н, то (х, хо — х„') = О, откуда, полагая х = хо — то, получаем, что хо = хо. Замечания. 1. Пусть Е -- неполное евклидово пространство, а Н вЂ” гильбертово пространство, являк!шееся ого пополнением. Так как пространства Е' и Н" изоморфны (см. замечание в п. 2), а Н* изоморфно Н, то справедлино следукнцее утверждение: пространсгаво Е", сопряженное к неполному свклидову просперансливу Е, изоморф!ео пополнению Н пространства Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
