А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 44
Текст из файла (страница 44)
деленные в Е, непрерывны относительно слабой топологии этого пространства. Даже в случае цорлшрованных пространств слабая тополежия и Е может не удовлетворять первой аксиоме счетности. Следовательно, эта топология, вообще говоря, не описывается на языке сходящихся пос.педовательностей.
Тем не менее сходпмость в Е, определяемая этой топологией, представляет собой важное понятие. Она называется слабой схадимсзсзаью. В отличие от нее, сходимость, опредсляемую исходной топологией пространства Е (нормой, если Е нормировано), называют сильной схадимастью. Понятие слабой сходимости мозкпо сформулировать следующим образом: последовательность (хя) элементов из Е называется слаба сходящейся к хе б Е, если для любого непрерывного линейного функционала у(х) на Е числовая цоследовательпость (р(х„)) сходится к ее(ха). Действительно, считая для простоты ха = О, предположим, что 1а(хя) э О при всяком еа й Е'.
Тогда для всякой слабой окрестности точки О, найдется такое Х, что ха б У при всех и > Х (для этого достаточно выбрать Х; так, что (йп(х„)( < е при и > Х, и затем положить Х = щах Х,). Обратно, если для каждой слабой окрестности нуля У существует такое Х, что х„6 У для всех и > Х, то условие у(х„) — > О прн и -э оо, очевидно, выполнено для каждого фиксированного еа б Е". Из того, что слабая топология пространства Е слабее его сильной топологии, следует, что асякая сильна сходящаяся паследааательносепь схадитпся и слабо. Обратное, вообще говоря, неверно (см. примеры ниже). 2. Слабая сходимость в нормированных пространствах.
Рассмотрим подробнее понятие слабой сходимости применительно к нормированным пространствам. 1 К Слабая тааээалегил и слааал егадимесшь зоэ Теорема 1. Если (хо) -- слабо сходящаяся посл»щоватсльность в нормированном л1эостранстве, то существует такое постоянное число С, что [[хо[[ < С. Иначе говоря, а«якая слабо сходяи»алан последовательно»э»»ь в нормированном простравстес ограни шна. Доказательство. Рассмотрил» в Е* лшожегтва А»„,и = (~: [(1 х„)[ < 1с), Е и = 1,2,... Эти л»ножества замкнуты в силу непрерывно«:тн (1., хи) как»)эункции от 1 при фиксированном х„. Следовательно, замкнуты (как пересечения замкнутых) и множества А».
= П А»и. В силу слабой о=» сходимости (х„) последовательность (/, х„) ограничена для каждого б Е" поэте»» У Е* = () Аа. »=.» Так как пространство Е' полно, то по теореме Бара (з 3 гл. 11) хоть одно из множеств А», скажем Аь„должно быть плотно в некотором шаре В[ус, е), а так квк А», замкнуто, то это означает, что В[Д,е! с Аье.
Но это значит, что последовательность (х„) ограничена на шаре В[ус,е], а следовательно, и на любом шаре и Е", в частности на единичном шаре этого пространства. Таким образом, последоватепьность (ха) ограничена как последовательность элементов пз Е". Но в силу изометричности естественного вложения Е в Е" это означает ограничешюсть (х„) и в Е. Замечание. При доказательстве ограниченности последовательности (хь) по норме мы воспользовались лишь тем, что числовая последовательность (1,х ) ограничена при каждом 1 б Е*. Таким образом, если последовательность (х„) в Е такова, что числовая последовательность (,1,х„) ограничена прп каждом 1 б Е", то существует такая постоянная Со что [[х„[[ < С. Это утверждение можно обобщит»е всякое слабо ограниченное (т.с.
ограниченное в слабой топологии) падмнохсеспэеа Я нермираеаннага прасэпранстаа Е сильно ограничена (т.е. содержится в некотором шаре). Действительно, допустим, найдется гахан последовательность (х„) С Я, что [[х„[) -+ оо при и -э со. Так как О слабо ограничено, то н множество (х„) шэабо ограничено, т. е. поглощается любой слабой окрестностью нуля; в частности, для любого 1 б Е' найдется такое дэ, что (х ) С М(х: [(1,х)[ < 1), откуда [(1,х„)[ < М для всех и. Но это в силу еде чанного выше замечания противоречит предположению [[х [[ — э оо. Если учест»ч что слабая ограниченность множества Я означает, что на нем ограничен любой непрерывный линейный функционал, то 2!о Гл.
((т. Линейные (оунационалы и онграоюры мы приходим к следующему важному результату: длл тпого чтпобы поев мноотсгстпво ('„) нормированного простпранстаоа было ограничено, необхооимо и достпаточно, чтобы на (;) был ограничен любая фуннииоттал )' й Е". Следующая теорема часто бывает полезна для фактической проверки слабой сходимости той или иной последовательности. Т е о р е м а 2. Последовательность (х„) элементов нормированного пространства Е слабо сходится к х Е Е, если: 1) )(хтт(! ограничены в совокупности некоторой констэлтой М; 2) Дх„) -т,! (Х) для всякого ~ б Ь, где (), — некоторое множество, линейная оболочка которого всюду плотна в Е*.
Доказательство. Из условия 2) и определения действий над линейными функционалами следует, что если тр — линейная комбинация элементов из ст, то (о(х„) -+ тто(х). Пусть теперь (о — произвольный элемент из Е' и (трь) — сходящаяся к ут последовательность линейных комбинаций элементов из тл. Покажем, что у(х„) -+ тр(х). Пусть М таково, что ((х„(! < М, и = 1,2,..., ()х(! < М. Оценим разность ((о(ха) — тр(х)(. Так как трг -+ тр, то для любого е > О существует такое К, что )(у — утг)! < е для всех (с > К.
Поэтому ((то(хп) тр(х)/ ~ ()тто(х„) — (ог(х )! + !ттоь(ха) — ттог(х))+ + (ута(х) — ут(х)/ < еМ + еМ + (трь(ха) — ~Оа(х)( ° Но, по условию, тру(х„) -+ тру(х) при и — ) со. Следовательно, ут(хи) — тр(х) -+ О при п -) оо для всякого р 6 Е*. П р и м е р ы. Посмотрим, какой смысл имеет понятие слабой сходимости в некоторых конкретных пространствах. 1.
В конечномерном евклиоовом простпраистпве тк" слабая сходимость совпадает с сильной. Действительно, пусть ет,..., е„— какой- либо ортогональный нормированный базис в Рн и (хг) -- последовательность в йо, слабо сходящаяся к элементу. х. Пусть ха = хг' е! + .. +хе" ент (т) (н) х = х(')е! + + х(")е„. Тогда х = (хь,е!) -+ (х,е!) = х (!) (!) х„" = (хюе„) -+ (х,е„) = х (и) (а) 1 3. Сообоэ пгопооомгя и сообоя сяодомосгиь 2!! т.е. последовательность (х„) покоординатно сходятся к х. Но тогда з 1/2 р(хь,х) = ('~ (х1„'! — х!'1) ) -+ О, т.е.
(хв) сильно сходится к х. Поскольку из сильной сходимости всегда вытекает слабая, равносильность этих сходимостей в )я" доказана. 2. Слабая сходимосгль е 12. Для слабой гходнмости о г р а н и ч е иной последовательности (хь) к х достаточно, чтобы выполня.лись условия (хь, е;) = хь10 -г х!'! = (х, е,), г = 1, 2,..., где е! = (1,0~0, ° ..)~ ез — (О, 1,0, ° . ), Действительно, линейные комбинации элементов е, вскзду плотны в пространстве 12 (совпадающем, как мы видели, со своим сопряженным). Поэтому наше утверждение вытекает из теоремы 2 Таким образом, слабая сходнмость ограниченной последовательности (хь) в 1з означает, что числовая ггоследовательность х коор- 01 дияат этих некторон сходится для каждого! = 1, 2,...
Иные говоря, слабая сходимость совладает с покоордннагной (прн условии ограниченности), Нетрудно видеть, что в 1г слабая сходимость не совпадает с сильной. Действительно, покажем, что последовательность еы..., еп,... слабо сходится в 1з к О. Всякий линейный функционал У в 1з записывается как скалярное произведение у(х) = (х,а) вектора х Е 12 на некоторый фиксированный вектор а = (а!, аз,... ). Поэтому у(ео) = а„, и поскольку ав -г 0 лри п -з со для всякого а б 1з, получаем !зп! 1(ео) = О э-+м для каждого линейного функционала в 12.
В то же время в сильном смысле последонательность (е„) ни к какому пределу не сходится. У п р а;к н е н и я. 1. Пусть последовательность (х„) элементов гильбертова пространства Н слабо сходится к элементу г, причем (~х„й -+ 'Зх11 при н -+ ос. Доказать, что и атом случае последовательность (х„) сильно сходится к х, т. е. 11х„— х11-г О. 2. Доказать, что утверждение упражнения 1 сохранится, если условие 11х 11 -+ 11х11 заменить условием 1)х„11 ( 11х11 для всех и или уюювиеы !1пг 11х 11 ( )1х11. 3. Пусть Н вЂ” (сепарвбельное) гильбертово пространство и Я -- его ограниченное подмножество.
Тогда топология в Я, индуцируемая слабой топологией пространства Н,может быть задана некоторой метрикой. з!з рл. !у. Лииоаяыа фраат!завалы а ояораоторы 4. Докажите, что всякое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства замкнуто в слабой топологии (в частности, всякое замкнутое линейное надпространство гильбертова пространства слабо замкнуто).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
