А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 48
Текст из файла (страница 48)
1 4. Ойобиеениие функции Теорема 1. Только константы служат решениями (н классе обобеценных функций) уравнения (9) Доказательство. Уравнение (9) означает, что (у', 1е) = (у, -1р') = 0 (10) для любой ос1ювной функции ~р б К. Рассмотрим совокупность КО1 тех основных функций, каждая из которых может быть представлена как производная какой-то основной функции. Очевидно, что КО1 есть линейное подпространство К. Положим ~р1(х) = — ~р'(х); функция ~р1 пробегает КО1, когда ~р пробегает К.
Равенство (10) определяет функционал у на КО1. Заметим теперь, что основная функция у принадлежит К01 в том н только том случае, если / р(х) 41х = О, (11) т. е. КО1 есть ядро функционала / ~р(х) Их. Действительно, если р(х) = ф'(х), то / 1р(х) Их = у1(х)( = О. (12) Обратно, выражение Их) = У Р(1) ей (13) есть бесконечно дифференпируемая функция. Если (11) выполнено, то ф(т) — финитная функция.
Ее производная равна у(х). В соот- ветствии с результатами и. 6 а 1 гл. П1 любую основную функцию ~р 6 К можно представить в виде р,~кц>, ~р= р1+оро, где ре — фиксированная основная функция, не принадлежащая К01 и удовлетворяющая условию ро(х) 4х = 1. Для етого достаточно положить с = ~ у(х) Их, у1(х) = <р(х) — сре(х). ггн Го. !и. гшнаиные фунивионаоы и онараторы Таким образом, если задать значение функционала д на основной функции 1ро(х), то тем самым он будет однозначно определен на всем К.
Положив (у, у1о) = о, получим (д,1р) = (д,уо1) + с(д,уоо) = о )' уо(х) 11х = / ауо(х)се, т.е. обобщенвая функция д есть постоянная о, что и требовалось доказать. Отсюда следует, что если для двух обобщенных функций 1 и д выполнено равенство 1' = д', то 1 — д = сопзо.
Рассмотрим теперь уравнение (14) у' = т'(х), где 1'(х) — произвольная обобщенная функция. Теорема 2. Уравнение (14) пря каждом 1' б К' имеет решение, принадлежащее К". Это решение естестненно назвать переооброоной обобщенной функции 1. Доказательство. Уравнение (14) означает, что (15) для любой основной ц>ункции уа Е К. Это равенство определяет значение функционала р на всех основных функциях 1р, из К<11: Используем теперь полученное выше представление 1Р = ~01 + про элементов из К. Положив (д, у1о) = О, мы доопределим тем самым функционал у на всем К: именно, Этот функционал, как легко проверить, линеен и непрерывен. Кроме того, он удовлетворяет уравнению (14).
Действительно, для всякого уа б К 1 4. Обобщенные фявкчьв Итак, для каждой обобщенной функции Дх) существует решение уравнения у' = Дх), т. е. каждая обобщенная функция имеет первообразпую. В силу тео- ремы 1 эта первообразная определяется функцией 7'(х) однозначно с точностью до постоянного слагаемого. Полученные результаты легко переносятся на системы линейных уравнений. Ограничимся здесь соответствующими формулировками, опуская доказательства. Рассмотрим однородную систему п линейных дифференциальных уравнений с п неизвестными функциями у,'.
= ~~ асб(х)ую 1 = 1,...,п, ь.—:1 (16) где ам — — бесконечно дифференцируемые функции. Такая система имеет некоторое количество «классических» решений (т. е. решений, представляющих собой «обычные», причем бесконечно дифференцируемые функции). Можно показать, что никаких новых решений в классе обобщенных функций система (16) не имеет. Для неоднородной системы вида у, пмуг+Л, (17) где Д вЂ” обобщенные, а ам — . «обычные» бесконечно дифференцируемые функции, решение существует в классе обобщенных функций и определяется с точностью до произвольного решения однородной системы (16).
Если в системе (17) не только ам, но и 7"; -- «обычные» функции. то все решения этой системы, существующие в К", также оказываются обычными функциями. 7. Некоторые обобгцения. Выше мы рассматривали обобщенные функции «одного действительного переменного», т. е. обобщенные функции на прямой. Можно, на основе тех же идей, ввести обобщенные функции на ограниченном множестве, скажем, на отрезке или окружности, обобщенные функции нескольких переменных, обобщенные функции комплексного аргумента и т. д. Наконец, и для обобщенных функций на прямой то определение, которое было дано выше, — далеко не единственно возможное.
Рассмотрим вкратце некоторые из указанных типов обобщенных функций. 23! 1 4. Обое«4«нные функции в комплексном линейном пространстве существуют линейные и сопряженно-линейные функционалы. Первые удовлетворяют условию (о — — число) (1, а~р) = а(1', ~р), а вторые — условию (1, оу!) = о(1, !4г). Если У(х) — обычная комплекснозначная функция на прямой, то ей можно сопоставить линейный функционал на К двумя способами: (/, ~р)! — — / 1(х) ~р(х) пх, (,1, !2)г = / Дх) !о(х) 41х.
(18!) (18г) Этой же функции Дх) можно сопоставить два сопряженно-линей- ных функционала, а именно: г(у,гг) = / Дх) ф(х) дх, г(~, !р) = ~ ~(х) ф(х) Нх. (182) (184) Выбор одной из этих четырех возможностей означает определенный способ вложения пространства «обычных» функций в пространство обобщенных функций. Операция над комплексными обобгценными функциями определяется аналогично тому, как это было описано выше для действительных функций. в) Обобщенные функции на окружности.
Иногда полезно рассматривать обобщенные функции, заданные на некотором ограниченном множестве. В качестве простейшего примера рассмотрим функции на окружности. За пространство основных функций примем совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций на окружности, определив для них операции сложения и умножения на числа обычным образом. Последовательность функций (сго(х)) в этом пространстве мы назовем сходящейся, если для каждого й = 0,1,2,... последовательность производных (~р~" (т)) сходится на всей окружности равномерно.
Поскольку здесь все множество аргументов (окружность) ограничено, условие финитности основных функций автоматически отпадает. Линейные функционалы на этом пространстве мы назовем обобщенны и функци4ьни на окружности. Всякую обычную функцию на окружности можно рассматривать как периодическую функцию, заданную на всей прямой. Перенося это соображение на обобщенные функции, можно связать обобщенные функции на окружности с периодическими обобщенными 222 Гь. Гч. Линеание фуннционили и операторы функциями. При етом периодической обобщенной функцией (с периодом а) естественно называть функционал 1, удовлетворяющий условию (~(х),у(х — а)) = (/(х),у(х)) для всякой основной функции ео.
Примером периодической обобщенной функции может служить функция газах = — 2+я ~~ б(х — 2йх), и=! Ь=-еи которая уже упоминалась выше. г) Другие основные прогтронстоа. Мы определили выше обобщенныс функции на прямой как линейные функционалы на пространстве К бесконечно дифференцнруемых финитных функций. Однако такой выбор основного пространства — - не единственно возможный.
Например, вместо пространства финитных функций К можно было бы взять более широкое пространство всех бесконечно дифференцнруемых функций у(х) на прямой, убывающих вместе со своими производными быстрее, чем любая степень 1/)х!. Точнее говоря, будем считать, что ш(х) принадлежит основному пространству, которое мы обозначим Я „если для любых фиксированных р, й = О, 1, 2,...
существует такая постоянная С (завнсящая от р, й и у), что /хиуйй(х) ! < Сг и — со < х < оо. (19) Сходимость в Я„определяется таким образом: последовательность ( р„(х) ) называется сходящейся к у(х), если для каждого у=О, 1,... последовательность (у~~~ (х) ) сходится равномерно на любом конечном интервале и если в неравенствах ~ "4" (х)~ < С„ постоянные С„можно выбрать не зависящими от и. При атом получается запас обобщенных функций несколько более узкий, чем в случае пространства К.
Например, функция 1(х) = е есть непрерывный линейный функционал на К, но не на Я„. Выбор 5, в качестве основного пространства удобен, например, при рассмотрении преобразования Фурье обобщенных функций. Вообще, как показало развитие теории обобщенных функций, нет необходимости связывать себя раз и навсегда каким-то определенным выбором основного пространства, а целесообразно варьировать его в зависимости от рассматриваемого круга задач.
При атом, однако, существенное требование состоит в том, чтобы, с одной стороны, 1 5. Лине»ни< оверапшры гзз основных функций было «достаточно много» (чтобы с их помощью можно было различать «обычные» функции, а точнее, регулярные фуякционалы), а с другой, — чтобы эти основные функции облада- лн достжгочной гладкостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
