А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Упражнение. Проверьте, что в пространстве 5„, можно ввести структуру счетно-нормнрованного пространства, положив, например, М1- =,"„р !(1+ И) рн'(хП, равд= -«с<й< а« р э<~<ц в что последовательность, сходящаяся в Ь' в определенном выше смысле. сходится и в топологии, определяелюй этими нормами. З 5. Линейные операторы 1. Опрццеление и примеры линейнык операторов. Пусть Е н Ег -- два линейных топологических пространства. Линейнььм оператором, действующим из Е в Еы называется отображение у=Ах, хбЕ, уйЕы удовлетворяющее условию А(ох| + г3хт) = аАх1 + ~3Ахз. ))х' — х" й < 6, х', х' б Вл ((Ах' — Ах" (( < е. следует Совокупность Ря всех тех х б Е, для которых отображение А определено, называется областью определении оператора А: вообще говоря, пе предполагается, что Рл = Е, однако мы всегда будем считать, что Вл есть линейное многообразие, т.е.
если х, .у б Рд, то ах+ ду б Вл при всех а,(3. Оператор А называется непрерывнььи в точке хе и Рл, если для любой окрестности г' точки уе = Ахв существует такая окрестность У точки хэ, что Ах Е 'г", как только х Е У О Вл. Оператор А называется непрерььенмм, если он непрерывен в каждой точке х б Вл. Когда Е и Е, — нормированные пространства, это определение равносильно следующему: оператор А называется непрерывным, если для любого е > О су|цествует такое 6 > О, что из неравенства Гл, ! у'.
Лккеакые фуккниокалк к ляеракмрк Множество тех х б Е, для которых Ах = О, называется ядром линейного оператора А и обозначается КегА. Множество тех у е Еы для которых у = Ах при некотором х е Йл, называется образом линейного оператора А и обозначается 1т А. Как ядро, так и образ линейного оператора, являются линейными мнопюбразиями. Если оператор непрерывен и Вл = Е, то КегА является подпространством, т.е. замкнут. Что же касается образа непрерывного линейного оператора, то он не обязательно будет подпространством в Еы даже если Ол = Е. Понятие линейного функционала, введенное в начале этой главы, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал — это линейный оператор, переводящий данное пространство Е в числовую прямую К.
Определения линейности и непрерывности оператора переходят при Е1 = К в соответствующие определения, введенные ранее для функционалов. Точно так же и ряд дальнейших понятий и фактов, излагаемых ниже для линейных операторов, представляет собой довольно автоматическое обобщение результатов, уже изложенных в ~ 1 этой главы применительно к линейным функционалам.
Примеры линейных операторов. 1. Пусть Š— линейное топологическое пространство. Положим 1х=х длявсех хЕЕ. Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператпором. 2. Пусть Е и Е1 — произвольные линейные топологические пространства и пусть Ох=О длявсех хЕЕ (здесь Π— нулевой элемент пространства Е~). Тогда О называется нулевым операпгорам.
3. Общий еид линейного опертпора, перееодящего конечномерное проетранстпео е конечномерное. Пусть А — линейный оператор, отображающий и-мерное пространство К" с базисом еы ..., е„ в гп-мерное пространство И с базисом 1ы ..., 1 . Если х — произвольный вектор из Вл,то х=~~ хе,, г=у и в силу линейности оператора А п Ах = ~~~ х;Аео 1 5. Линевнне операторы Таким образом, оператор А задан, если известно, во что он переводит базисные векторы ем...,е„. Рассмотрим разложения векторов Ае, по базису ум..., ут. Имеем ео Ав, = ~~~ аь;.ьь. ь=! Отсюда ясно, что оператор А определяется матрицей коэффициентов ()аь,'5.
Образ пространства Кн в )к представляет собой линейное подпространство, размерность которого равна, очевидно, рангу матрицы йаый, т.е. во всяком случае не превосходит и. Отметим, что всякий линейный оператор, заданный в конечномерном пространстве, автоматически непрерывен. 4. Рассмотрим гильбертово пространство Н и в нем некоторое подпространство Нь Разложив Н в прямую сумму подпространства Нь н его ортогонального дополнения, т.е. представив каждый элемент Ь Е Н в виде Ь=Ьь+Ьг, Ьь ЕНы Ьг1-Нг положим РЬ = 1м. Этот оператор Р естественно назвать оператором ортогонального проектирования, или ортопроектором Н на Нм Линейность и непрерывность проверяются без труда.
5. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на отрезке (а, Ь] оператор, определяемый формулой ь "ьь(з) = 1 К(з, ь)зг(г) ьье, а где К(з, ь) — некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных. Функция гЬ(з) непрерывна для любой непрерывной функции ьо(ь), так что оператор (1) действительно переводит пространство непрерывных функций в себя. Его линейность очевидна.
Для того чтобы говорить о его непрерывности, необходимо предварительно указать, какая топология рассматривается в нашем пространстве непрерывных функций. Читателю предлагается доказать непрерывность оператора в случаях, когда: а) рассматривается пространство С(о, Ь), т, е. пространство непрерывных функциИ с нормой )Щ = шах)~р(1)); б) когда рассматривается Сг1а,Ь), т.е. )Ьр5 = ( / Ьгг(Ь) 1Г) 6. В том же пространстве непрерывных функций рассмотрим оператор гр(г) = гге(г)гг(1) 236 Гл. Ге'. Линекнне фвннционолн и опероеоорн где ув(Ь) — фиксированная непрерывная функция. Линейность этого оператора очевидна.
(Докажите его непрерывность при нормировках, указанных в предыдущем примере.) 7. Один из важнейших для анализа примеров линейных операторов — зто оператор дифференцирования. Его можно рассматривать в различных пространствах. а) Рассмотрим пространство непрерывных функций С[а, Ь] и опеато и ((с) = У'(е), действующий в нем. Этот оператор (который мы считаем действующим из С[и, Ь] опять-таки в С[а, Ь]) определен, очевидно, не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на линейном многообразии функций, имеющих непрерывную производную. Оператор тл линеен, но не непрерывен.
Это видно, например, из того, что последовательность сходится к 0 (в метрике С[а,Ь]), а последовательность Йгрп(С) = созпС не сходится. б) Оператор дифференцирования можно рассматривать как оператор, действующий из пространства С' непрерывно дифференцируемых функций на [а, Ь] с нормой [[ср[[~ = п1вх[у(С)[+ п1ах[~р (е)[ в пространство С[а, Ь]. В этом случае оператор тл линеен и непрерывен и отображает все С" на все С[а, Ь]. в) Рассмотрение оператора дифференцирования как оператора, действующего из С~ в С[а, Ь], не вполне удобно, так как хотя при этом мы и получаем непрерывный оператор, определенный на всем пространстве, но не к любой функции из С~ можно применить этот оператор дважды.
Удобнее рассматривать оператор дифференцирования в еще более узком пространстве, чем С', а именно, в пространстве С бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [а, Ь], в котором топология задается счетной системой норм [[р[[- = р [к"'(~)[. ок<ь< о(е(е Оператор дифференцирования переводит все это пространство в себя, и, как легко проверить, непрерывен на нем. г) Бесконечно дифференцируемые функции составляют весьма узкий класс.
Возможность рассматривать оператор дифференцирования в существенно более широком пространстве и вместе 1 5. Ламганмг операторы зз с тем как непрерывный оператор дают обобщенные функции. В предыдущем параграфе мы уже говорили о том, как определяется дифференцирование обобщенных функций. Из сказанного там ясно, что дифференцирование есть линейный оператор в пространстве обобп1ешп~к функций, притом непрерывный в том смысле, что из сходимости последоватольпости обобщенных функций (за(1)) К У(С) СЛОДУет СХОДИМОСтЬ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСти ИХ ПРОИЗВОД- ных к производной обобщенной функции 1(1). 2. Непрерывность н ограниченность. Линейный оператор, действующий нз Е в Ег, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограпичешюе множество переводит снова в ограниченное.
Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора су1цествуот тесная связь, а именно, справедливы следующие утверждения. 1. Всякий непрерывный линейный гтерагпор ограничен. Действительно, пусть Лд С Е -- ограниченное множество, а множество АМ С Е~ не ограничено. Тогда в Е~ найдется такая окрестность пуля г', что ни одно из множеств 1 АЛХ не содержится в И.
Но тогда существует такая последовательность х„б М, что ни один из злемептов -пАх„не принадлежит Г, и мы получаем ), что 1 1 — „х„-+ 0 в Е, но последовательность ~ — „Ах„~ не сходится к 0 в Е11 это противоречит непрерывности оператора А. П. Если А —. ограниченный линейный оператор, дейсзпвующий из Е в Ег, и в првсгаранстве Е вътолнвна первая аксиолга счетнвсти, гав впграгпвр А непрерывен. Действительно, осли А не непрерывен, то найдется такая окрестность нуля 1е в Е~ и такая определяющая система (Уп) окрестноСтвй НуЛя В Е, Чта Уае1 С У„И дпя КаждОГО и Сущвотнуот таКОЕ х„й;,У„, что Ах„ф пУ. Последовательность х„в Е ограничена (и даже стремится к О), а последовательность Ах„не ограничена в Ег (поскольку она пе содержится ни в одном из множеств п1е). Итак, если оператор А яе непрерывен, а в Е имеет место первая аксиома счетности, то А и не ограничен.
Наше утверждение доказано. Итак, для оператора, заданногв на пространстве с первой аксиолгвй счетнвсти (к которым, в частности, относятся все нормированные и счетно-нормированные пространства), ограниченность равносильна непрерывности. ~) См. упражнение 1 в п. 1 1 5 гл. 1!1. Га. !К Линейные О уннционааы и операторы Вге операторы, приведенные в примерах 1-6 в предыдущем пункте, непрерывны. В силу только что доказанного утверждения 1 все перечисленные там операторы ограничены.
Если Е и Е, -- нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Еы можно сформулировать так: оператор А называется ограниченным, если он переводит всякий шар в ограниченное множество. В силу линейности А это условие можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постояннэл С, что для всякого 1 б Е !!Ау!! < С!!1!!.
Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих этому неравенству, на- зывается нормой оператора А и обозначается !!А)!. Те о р е м а 1. Дли любого ограниченного оператора А, действующего из нормированного пространства в нормированное, )!А!! = зпр !!Ах!! = зпр —. !!Ах!! !! !! ' о = зпр ))Ат!! = зпр— !)Ах(! уе)~<1 еощ !!х!! Поэтому для любого элемента х !!Ах!!Дх)! < о, )!Ах!! ( о!!х!!, т. е. откуда следует, что !!А)! = 1п1 С ( о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
