А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Далее, для любого е ) О существует такой элемент х, 11 О, что а — е < !!Ах,!!1!!х !! или (о — е)!!хе)! ( !!Ахе!! ( С!!хе)!. Поэтому о — г < 1п1С = !!А(!, и, в силу произвольности е, о < )!А!!. Следовательно, (!А!! = о. Доказательство. Введем обозначение о = зпр )!Ах!!. В силу 1е1<1 линейности А справедливо равенство З 5. Лимеанме онераюорм 3. Сумма и произведение операторов. Определение 1.
Пусть А и В.— два линейных оператора, дейстнующих из линейного пространства Е э пространспю Еы Назовем их суммой А + В оператор С, ставящий в соответствие элементу х б Е элемент У=Ах+ВхбЕы Он определен на всех элементах, принадлежащих пересечению Рл П Рн областей определения операторов А и В. Легко проверить, что С = А+  — линейный оператор, непрерывный, если А и В непрерывны. Если Е и Е1 — нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то А+ В тоже ограничен, причем ))А + Вй < кАй + )Щ. (3) Действительно, для всякого х ЦА + В)х)! = ((Ах + Вх)( < )(Ах)) + )(Вх)) < ЯА)( + )ЩЦх(), откуда и следует (3).
Оп редел е и не 2. Пусть А н  — линейные операторы, причем А действует из пространстваЕ в Еы а В действует из Е1 э Ез. Произведением ВА операторов А и В называется оператор С, ставящий в соответствие элементу х б Е элемент х = В(Ах) из Ез. Область определения Рс оператора С = ВА состоит из тех х б Ря, для которых Ах б Рн. Ясно, что оператор ВА линеен. Он непрерывен, если А и В непрерывны.
Упражнение. Доказать, что Рс — линейное многообразие, если РА и Рв линейные многообразия. Если А и  — ограниченные операторы, действующие э нормированных пространствах, то и оператор ВА ограничен, причем 'ЦВАЙ < ()Вб ° 'йАй. Действительно, ((В(Ах)(! < !)В(! )!Ах() < ()В(( . !)А)! )!х)), (б) откуда следует (4), Сумма и произведение трех и более оператороэ определяются последовательно.
Обе эти операции ассоциативны. Произведение йА оператора А на число и определяется как оператор, который элементу х станит в соответствие элемент ЙАх. рв !р. ЛингЪ!ни фуннципна!и и пи»риторы Совокупность ь(Е, Ег) всех непрерывных линейных операторов, определенных на всем Е и отображающих Е в Е, (где Е и Е! фиксированные линейные топологичсские пространства), образует, по отношению к введенным выше операциям сложения и умножении на числа, линейное пространство.
Если Е и Е! — — нормированные пространства, то Е(Е,Е!) — нормированное пространство (с тем определением нормы оператора, которое было дано выше). Упражнение. Пусть Š— нормированное, а Е! -- полное нормированное пространства. Тогда: а) нормированное пространство С(Е,Е!) полно: б) если А! Е ь(Е,Е!) и 2 !)Аь(! < со, то ряд 2 А! сходится к й=! ь=! некоторому оператору А е ь(Е, Е!) и 'УА!) = )!) А!)! ( ~ )!Аь!!. 4. Обратный оператор, обратимость.
Пусть А — — оператор, действующий из Е в Е!., и Пл —. область определения, а 1!и Ав образ этого оператора. Определение 3. Оператор А пазынается обрат!!з»мм, если для ли!бого у б 1ш А уравнение Ах = у имеет единственное решение. Если А обратим, то каждому у 6 1шА можно поставить н соответствие единственный элемент х с с!л, явля!ощийся решением уравнения Ах = у.
Оператор, осуществляющий зто соответствие, называется обрагпнмм к А и обозначается А ' !. Теорема 2. Оператор А г, обратный линейному оператору А, также лилеен. Доказательство. Заметим прежде всего, что образ 1п!А оператора.4, т. е. 12л-!, есть линейное многообразие. Пусть у!, у с1гп А. Достаточно проверить выполнение равенства 4 (а!У! + агУг) = а!А У! + агА Уг. (7) Пусть Ах! —— у! и Ахг = уг.
В силу линейности А имеем А(а! х! + а»хг) = агу! + агуг. (8) По определению обратного оператора, А у! = хг, А уг = хг, — ! — ! г 5. Линьанмв онсраторм гч1 откуда, умножая эти равенства на а| и аг соответственно и скла- дывая, получим агА 'У1 +огА 'уг = а1х1+ агхг. С другой стороны, из (8) и из определения обратного оператора следует, что огхг +агхг = А '(о1У, + о у. ), что вместе с предыдущим раненством дает ( гуг + огуг) = огА,щ + огА ' Уг. Теорема 3 (теорема Банаха об обратном операторе). Пусть А -- линейный ограниченный опреатор, вэатшо однозначно отображающий банахово пространство Е на балаково пространство Е,.
Тогда обратный оператор А г ограничен. Для доказательства нужна следующая лемма. Л е м м а. Пусть М вЂ” всюду плотное множество в баиаховом простраьн.тве Е. Тогда любой ненулевой элемент у й .Е можно разложить в ряд У = У1 + ' ' ' + Уч + гще уь Е М и ~~уь~! < З~~У8/2в Доказательства. Элементы уь будем строить погчедовательно: У1 выберем так, чтобы ~)у — У18 < )~у))/2. Это возможно, так как неравенство (9) определяет сферу радиуса ()да/2 с центром в точке у, внутри которой должен найтись элемент из М (М всюду плотно в Е).
Выберем уг е М так, чтобы ,'(у — У1 — дг(! < йу~(/4, дз — так, чтобы !)д — У1 — уг — дз)(»(,'(у)(/8 н вообще уч выберем так, чтобы )~д — дг — — у„,'! < ()д!)/2". Такой выбор всегда возможен, так как М всюду плотно в Е. В силу выбора элементов дь п ~~у — ~~~ уь~~ -+ 0 при и -+ оо, в=1 т.е. Ряд 2, уь сходится к у. Оценим нормы элементов уь. ь=! ((у,() = ))у, — у+ гл ( ))у, — у))+ 8У)! < 31)УЦ2, йугй = цдг + у1 у + у угй (» ()у У1 угц + (Ь у1)( » (3((д)(/4 г42 Гп.
П". Линейные 4»уикчиокепы и операиееры Наконец, [[Ук[! ее[[у, +У -»+" +У»-У+У-У» — "— Ук-»[! < ([[у — у» — — у„[! + [[у — у» — — у„» [! < 3[[у[[/2". Лемма доказана. Доказательство теоремы 3. В пространстве Е» рассмо- трим множество М» — совокупность тех у, для которых выполня- ется неравенство [[А "у[! < к[[у[!. Всякий элемент пространства Е» попадает в некоторое Мрл т.е. Е1 = [) Ма. По теореме Вэра [те»=1 орема 2 из и. 3 г 3 гл. П), хотя бы одно из множеств Мы скажем, М„, плотно в некотором шаре В. Внутри шара В выберем шаровой слой Р с центром в точке из Ми„слой Р— это совокупность то- чек з, для которых справедливо неравенство 3 ( [[з — уо[! < ее, где О < )1 < а, уо б М„, Перенеся слой Р так, чтобы его центр попал в начало координат, получим шаровой слой Ро — — (з: 0 < /[ < [[е[! < «т).
Покажем, что в Ро плотно некоторое множество М4ч. Пусть е Е Р П М„; тогда е — уо 6 Ро и [[А '[з — уо)[! ( [[А 'з[[+ [[А 'уо[! ( я[!!а[[+ [[уо[!) ~( ( И вЂ” о[[+2[[уо[!) = [! — о![!1+ ™~~1[) < < п[[е — уо[[[1+ 2[!уй[[//4). (10) Величина и[1+ 2!!уй[[/»1) не зависит от з.
Положим ') Х = 1+ я[1+ 2!!уй[[/ф Тогда в силу [10) з — уо б Мн, а из того, что М„плотно в Р, следует, что Мм плотно в Ро. Рассмотрим произвольный ненулевой элемент у из Е». Всегда можно подобрать Л так, чтобы было 43 ( [[Лу[! < а, т. е. Лу е Ро. Так как Мп» плотно в Ро, можно построить последовательность уа б М4у, сходящуюся к Лу. Тогда последовате чьность — уь сходится к у. Оче- 1 видно, что если Уе Е Мм, то и „-Уе б М4е пРи любюм действительном 1 Л ~ 0; таким образом, Ме» плотно в Е» 10), а потому и в Е». Рассмотрим ненулевой элемент у б ЕН по доказанной лемме его можно разложить в ряд по элементам из М4ч.
У = У» + ''' + У» + .. причем [[у»[! < 3[[у[[/2"'. 4) скобки [ ] означают целую часть числа. ьчз 1 5. Линеанме опорагоорм 1'ассмотрим в пространстве Е ряд, составленный из прообразов элементов уь, т.с. элементов хь = А 'ры Этот ряд сходится к некоторому элементу х, так как имеет место неравенство ()хь)( = !)А' ~уь)! < Ф))рь() < ЗХ(и/2~; при этом ((х(! < ~~~ йхьй < ЗХ()уз ~~~ —,.
= ЗХ!(па. В силу сходимости ряда ~, х„и непрерывности оператора А о=1 можно применить А почлеяно к этому ряду. Получим Ах = Ах~ + Ахт + = у| + йа + ' ' = у~ откуда х =- А 'у. Кроме того, ЙА 'у(! = 'Зхп < ЗХ!)у(), и так как оценка нерпа для любого р ф О, то оператор А ' ограни- чен. Приведем некоторые важные следствия этой теоремы. Прежде всего дадим ее естественное обобщение на случай, когда отображение А не взаимно однозначно. Следствие 1 (теорема об открытом отображении). Линейное непрерывное отображение А банахова пространства Е па (все) банахово пространство Е1 открыто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
