А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Это вытекает из доказанной теоремы и следующей леммы. Лемма. Пусть Š— банахово пространство и Е -- некоторое его замкнутое подпрострвнстио. Отображение В пространства Е на фактор-пространство Е/Ь, ставящее и соответствие каждому х й Е класс смежности, содержащий х, открыто.
Действительно, пусть Я = Е(Ь, а С вЂ”. открытое множество в Е и Г = ВС. Пусть хе б Г. Тогда найдется элемент хе, принадлежащий В гве П С. ПУсть тепеРь У(хв) — е-окРестность точки хо, целиком лежащая в С, и пусть х — произвольный элемент е-окрестности точки ге с Г, т. е. ()к — ве)) < е, В соответствии с определением нормы и фактор-пространстве это означает существование такого элемента х й В 'к, что )(х — хо)( < е, т.е. х й У(хв) с С.
Но тогда к Е ВС = Г, т.е. е-окрестность точки хе содержится в Г. Следонательно, Г открыто. Лемма доказана. 244 !зн 1У. Линейные функииотталы и о»гроюоры Представив отображение А пространства Е на Ет как суперпозицию отображения В пространства Е на ЕЕ' Кет А = Е (открытого в силу леммы) и взаимно однозначного отображения С пространства Я на Ет (открытого в силу теоремы 3), получаем, что А открыто. Следствие 2 (лемма о тройке ). Пусть Е, Ьт, Ьз - — бвнахопы ттространства и А, В неирерывпыс линейные операторы из Е в Ет и из Е в Еа соотпетствсяпо, причем В отображает Е на все Ез (т, е.
1тп В = Ез). Если прп этом КегА Р КегВ, (11) то существует такой непрерывный линейный оператор С, отобра- жающий Ез в Ет, что А = СВ. Симполически это удобно изобразить такой схемой: Кет — > Š— + Ез и О „'тт КегА — — + Š— — + Ет А Действительно, рассмотрим для каждого элемента х й Ег его полный прообраз В ' г б Е.
Из условия (11) следует, что все элементы х, принадлежащие В т г, переводятся оператором А в один и тот же элемент у. Этот элемент у мы и поставим в соответствие элементу х. Полученный оператор С отображает Ег в Ет и, очевидно, линеен. Он непрерывен (а с.псдователыю, и ограничен). Дейгтвиттдтьно, если С вЂ” открытое множество в Ет, то его полный прообраз С 'С при отображении С может быть записан как В(А 'С). Но А 'С открыто в силу непрерывности оператора А, а тогда и В(А 'С) открьщо в силу следствия 1.
Упражнения. 1. Пусть Е, Ет — нормированные пространства; линейный оператор А, действующий из Е в Ет, с областью определения Рл С Е, представляющей собой линейное многообразие, называется эамннутпым, едыти из условий х Е Рл, х„— т х, Ах -+ у следует, что х Е Рл и Ат = у. Проверьте, что всякий ограниченный оператор замкнут. 2. Рассмотрим прямое произведение Е х Ет пространств Е и Ет, т. е. линейное нормированное пространство, состоящее из всевозможных пар [х,у), х б Е, у й Ет, с нормой [[[х,у[[[ = [[х[[+ [[ту[[т ([[ [[ и [[ [[т нормы в Е, Ет соответственно). Оператору А можно сопоставить множество Сл = ((х, у),х Е Рл, у = Ах) С Е х Ет, называемое его графиком. Проверьте, что Сл — линейное многообразие в Е х Ет, замкнутое тогда и только тогда, когда оператор А замкнут.
Докажите, что голи Е, Ет— Уанахооы простпранстаоа, а опграптор А оиретЕглгн на осам Е и гамннупт, пто он ограничен (теорема Папаха о замкнутом графике). 1 а Линэпнмэ онеранюрн Укеэанна Примените теорему 3 к опграз ору Р: [г, Ах] — э х, действующему из Сэ в Е. 3. Пусть Е и Е1 -- полные счетно-норми~юваниые пространства. Докажите, что если А -- непрерывный .чинейиый оператор, взаимно однозначно отображающий Е на Еы то обратный оператор А ' непрерывен. Сформулируйте и докажите теорему о замкнутом графике для счетпонормированных пространств.
Рассмотрим мноясество С(Е, Е1) ограниченных линейных операторов А, отображщощих банахово пространство Е и банеково пространство Е|. Это - — банахово пространство. Выдеэ1им в ием множество 6Е(Е, Е1) операторов, отображающих Е на все Е| и имеющих ограниченный обратный. Это множество открыто в Е(Е, Ез ). 11мепно, справедлива следующая теорема. Теорема 4. Пусть Аеейь(Е., Ез) и пусть ЬА -- произвольный оператор из б(Е,Е1) гако11, что )(ЬЛй' с 1/'йАе 'й. Тогда оператор (Ае+э3А) ' существуети ограничен, т.е. А =- Ае+г3А е ДЕ(Е,Е1). х = Вх = А,, 'р — Ае 'ЬАг, откуда Ах == Авх + ээЛх =. 1Р Если Ах' = р, то х' -- тоже неподвижная точка отображения В, так что х' = х.
Таким образом, для всякого р е Е1 уравнение Ах, = р имеет в Е единственное решение, т.е. оператор А обладает обратным А з, определенным на всем Еы По теореме 3 оператор .4 'э ограничен, что и требовалось доказать. Теорема 5. Пусть Š—. банахово яр~к;транство, Х вЂ” тождественный оператор в Е, а А — такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что йА(( с 1. Тогда оператор (1 — А) существует, ограничен и представляется и ниде (1 — А) ' = ~~~ А". ь=.о (12) Доказательство. Фиксируем произвольный элемент и б Е1 и рассмотрим отображение В пространства Е в себя, определяемое формулой Вх = Ао1р Ао|ЬАх. Из УсловиЯ ~~ЬЛй < 'йЛе''й' э следУет, что отобРажепис В сжимающее. Так как Е полно, то существует единственная неподвижная точках отображения В: 246 !л.
ПС Лииеоиие фрихииоиали и оиераглори Доказательство. Существование и ограниченность оператора (1 — А) ' вытекает из теоремы 4 (впрочем, это слццует также и из принодимого ниже рассуждения). Так как йАб < 1, то ,'С, ''йА"й < ~ 'йА)1ь < оо. Пространство Е в=о ь=-о полно, поэтому из сходимости ряда 1, )(Авй вытекает, что сумма ь=о ряда ~ Аь представляет собой ограниченный линейный оператор.
ь=.о Для любого и имеем и а (1 — А) ~ Аь = ) А" (1 — А) = 1 — А"+'; ь- о и=-о переходя к пределу при п -+ оо и учитывая, что йАи+''й < )(А))"+' -+ -> О, получаем (1 — А) ~~~ А" = ~~ А" (1 — А) = 1, в=о в=о откуда что и требовалось доказать.
Упражнение. Пусть А — ограниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е~. Докажите, что существует такая постоянная о > О, что если В б Е(Е,Е1) и ((А — Вй < о, то В отображает Е на все Е~ (Бинах). 5. Сопряженные операторы. Рассмотрим непрерывный линейный оператор д = Ах, отображающий линейное топологическое пространство Е в такое же пространство Ею Пусть д .
линейный функционал, определенный на Еы т.е. д б Е;. Примопим функционал д к элементу у = Ах; как легко проверить, д(Ах) есть непрерывный линейный функционал, определенный на Е; обозначим его 1'. Функционал 1" есть, таким образом, элемент пространства Е . Каждому функционалу д б Е, "мы поставили в соответствие функционал 1 б Е", т. е. получили некоторый оператор, отображающий Е; в Е'.
Этот оператор называется сопряхсеннмле к оператору А и обозначается А'. Обозначив значение функционала 1 на элементе х символом ((,х), получим, что (д, Ах) = (1', х), илн (д, Ах) = (А'д, х). Это соотношение можно принять за определение сопряженного оператора. 247 З 3. Лииевиые оиероеиары Пример.
Сопрязсепнмй оператор и конечноеиерном пространстве. Пусть действительное и-мерное пространство К" отображается в пространство К"' (т-мерное) оператором Л и пусть )(а,„.(!-- матрица этого оператора. Отображение у = Ах можно записать в виде системы равенств у,=~~ а;,х,, 1=1,...,т, 2=1 а функционал ((х) -.
в виде Из равенства ие т и и ио ,г(х) = д(Ат) = ~ д,у; = ~ ~~ д;абх, = ~ х ~~~ д;аеу е"=1 е=1 2=1 о=1 ~л получим, что у = 2 д,а, . Так как / = А*д, отсюда следует, чго «ы1 оператор А* задается матрицей, транспонированной по отношеншо к матрице оператора А. Следующие свойства сопряженных операторов вытека1от сразу из определения. 1. Оператор А* лннеен. 2. (А + В)* = Л' + В'.
3. Если Ь вЂ” число, то (ЬА)* = ЬА'. Если А -- непрерывный оператор из Е в Еы то Л' есть непрерывный оператор из (Е|, Ь) в (Е*, Ь) (проверьте это!). Если Е и Е1-- банаховы пространства, то зто утверждение может быть уточнено следующим образом: Теорема 6. Если А — - ограниченный линейный операгор, отображаклпий банахово пространство Е в банахово пространство Еы )~)А Й = '6А(). Доказательство.
В силу свойств нормы оператора имеем )(А'д,х)) = )(д, Ах)) < ()д)! ))Ай. (Щ откуда ЙА" д!) < ((А(( ((д((; следовательно, !!.4*ц <!(Л!!. !л. !Ъ'. Лиаааьма фкмачиаьалм а ааараглари ПУсть х 6 Е и Ах ф О; положим Уо = — 6 ЕП очевидно, что Ах )(Ах)! 'йуэй = 1. По следствии! из теоремы Хана-Банаха существует такой функционал д, что йдй = 1 и (д,уо) = 1, т.е.
(д„Лх) = ОАхй. Из соотношений )(Ахй = (д, Ах) = )(А'д,х)) < ))А"д!) 'йхй' < '6А*() Щ).))х)( = ()А")).()х)) получаелс 'йАО ( 'йА*)(, что вместе г неравенством (13) дает й'А'й' = 6Ай. Теорема доказана. Упражнение. Пусть Е и Е! — рефлексивные банаховы пространства и А б 6(Е, Е!). Докажите, что А * = А. Следующее утверждение представляет собой енсе одно полезное следствие теззремы Банаха об обратном операторе. Л е м м а (об аннуляторе ядра оператора). Пусть А — непрерывный липсйлый оператор, отображающий' Е па все Еы !где Е, Е! банаховы пространства. Тогда (Кег А) = 1ш А".
(14) Дейгтвительно, проверим сначала включение (Ксг А) з 1пс А*. (15) Докажем теперь обратное включение: (КегА) с 1пзА*. 1'1усть !' 6 (Ксг А)".. Тогда для отображений (16) 1":Е-эЕ и А:Š— зЕ! выполнены условия леммы о тройке (следствие 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
