А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Тогда при / б Ь" Г> !>о из неравенств 2 ")(/,хи)) < б и=.> полйчагл<, что )(/> хи)~ < 2ие. в частности, )(/,хи„)! < 2и'е < 2~к =- <1/2. Следовательно, для всех Ь = 1,..., <и получаем ( (/, »> ) ) < (/, х и „) ) + ) (/ ув — хи, ) ! < Б/2 + () Д,') ув — х „л! ( < Ь, Таким обРазом, Е* й <бг С Ь<. ТеоРема доказана. Ясно, что этот результат автоматически распространяется на любой шар., а значит, н на л>обое огранпчс>шое подмножеспю М с Е".
Мы показали (теорсма 3), что из каждой ограниченной последовательности в Е" л<ожно выбран *-слабо сходящуюся подпогледовательногэь. Иначе говоря, в простращ:твс Е*, сопряжею<ом гепарвбельному линейному иормир<>вютому и снабжгнном *-слабой топологией, каждое ограниченное подмножество М счетно-прсдкомпактпо. Но в < илу последней теоремы каждое такое мпожес> во егть меэризусмос топологическос пространство, а для метрических пространств компактность и счетная компакпюсть совпадают.
Таким образом, мы получаем следующий результат. Теорема 3'. Всякое о>рщтчслнос .множество М в пространстве Е', го<у>яжспном сепарабслы<ому пормироиащ<ому пространству, предкомпактно в смь>еле «-елэбой топологии про<>транства Е". Покажем теперь, что если Š— сспарабельное линейное нормированное пространство, то всякий замкнутый шар в пространстве (Е*, Ь) замкнут в *-слабой топологии пространства Е".
Так как сдвиг в пространстве Е' переводит хна<с замкнутых (в *-г эв!юй тополо> ии) множеств и с<>бя, то достаточно доказать, что в *-слабой топологии замкнут всякий шар вида 5; = (/ < ))Д < с). Пусть /о ф Я,*. По определению нормы <)>унии<>онана найдется такой вектор х Е Е, что !)хЦ = 1, /о(>с) = о ) с. Тогда множ<ство П = (/: /(;г) ) '— «) будет «-слабой окрестностью <)>ункцнона- 2 ла /е, не содержащей ни одного элемента из шара о'„', следовательно, шар э;. замкнут в *-слабой топологии.
!л.!К Линейные функционалы и аперппеерн Из доказанного утверждения и теоремы 3 вытекает следующая теорема. Теорема 5. Всякий замкнутый шар в прастрвнгтве, сопряженном селарабелыюму нормированному пространств~, компактен в *-слабой топологии.
Изложенные выше результаты об ограниченных множествах в сопряженных пространствах могут быть перенесены с нормированных пространств на произвольные локально выпуклые. См. по этому поводу, например, )42). 2 4. Обобщенные функции 1. Расширение понятия функции. В различных вопросах анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз, и т.д.
Однако в ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле, т. е. как произвольное правило, относящее каждому значению х из области определения этой функции некоторое число у = Дх), оказывается недогтаточным. Вот два важных примера. 1) Распределение масс вдоль прямой удобно звданжгь плотностью этого распределения.
Однако если на прямой существуют точки, несущие положительную массу, то плотность такого распределения заведомо не может быть описана никакой «обычной» функцией. 2) Применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, мы сталкиваемся с невыполнимостью некоторых операций, например, функцию, не имекещую производной (в некоторых точках или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как «обычную» функцию. Конечно, затруднений такого типа можно было бы избежать, ограничившись, скажем, рассмотрением одних только аналитических функций. Однако такое сужение запаса допустимых функций во многих случаях весьма нежелательно. Оказывается, однако, что подобные затруднения можно преодолеть путем не сужения, а существенного расширения понятия функции, вводя так называемые обобщенные функции.
Основой для введения соответствующих определений нам послужит понятие сопряженного пространства, рассмотренное выше. Подчеркнем еще раз, что введение обобщенных функций было вызвано вовсе не стремлением к возможно большему расширению 1 4. Обобо4енные фрикции понятий анализа, а сонершенно конкретными задачами. По существу, в физике обобщенные функции использовались уже довольно данно, во всяком случае раныпе, чем была построена строгая математическая теория обобщенных функций. Прежде чем переходить к точным определениям, изложим основную идею построения.
Пусть 1 — фиксированная функция на прямой, интегрируемая на каждом конечном интервале, и пусть у. непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала (такие функции мы в дальнейшем будем называть финиптнылеи). Каждой такой функции р можно с помошью фиксиронашгой функции 1 сопоставить число (1; у) = ~ у(х)у(х) г~х (фактически, в силу финитности ез(х) интеграл берется по некоторому конечному ипторвалу). Иначе говоря, функцию 1 можно рассматривать как функционал (линейный, в силу основных свойств интеграла) на некотором пространстве фипитных функций. Однако функционалами вида (1) не исчерпываются все функционалы, которые можно ввести на таком пространстве; сопоставляя, например, каждой функции р ее значение в точке х = О, мы получим линейный функционал, не представимый в виде (1).
Таким образолц функции Дх) естественным образом включаются в некоторое более широкое множество — совокупность всех линейных функционалов на фннитных функциях. Запас функций х можно выбирать различным образом; например, можно было бы взять все непрерывные фишлтные функции. Однако, квк будет ясно из дальнейшего, разумно подчинить допустимые функции р, помимо непрерывности и финитности, еще и достаточно жестким условиям гладкости. 2. Пространство основных функций. Перейдем теперь к точным определениям.
1'посмотрим на прямой совокупность К всех финитных функций ~р, имеющих непрерывные производные всех порядков "). Функции, принадлежащие К, образуют линейное пространство (с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа). В этом пространстве нельзя ввести норму, которая отвечала бы излагаемой ниже теории, однако в нем естественным способом вводится понятие сходнмости.
1) Интервал, вне которого функция р равна О, может быть различным для различных Н б К. ИИО !'л. !р. Лкмеакме 4пнкйнонлллм и ооерощорм Послгдонатольность (~Ро) элементов нз К называетсЯ гхол!Ялл(ейсл к 4рнкл(ии зо Е К, если: 1) л:уществует интервал, вне которого все (ро равны нулкц 2) последовелельностьпронзводяых ) (;р,', ) поряд- 2 , (ь) ка )е ()е = О, 1, 2,...
) сходится на этом интервале равномерно к йо(ь). (Равноклерность сходнмостн по различным к яе предполагается.) Линейное пространство К с той сходнмостью, которую мы в нем определили, мы будем называть основным п!ласт!лпнсьчоолл, а его элементы - — основными лрлрнкцидми. 11етрудно описать топологпю в К, которой подчнняетгя заданная в К сходнмость. Такая топология порождается спстелюй окрестностей пуля. каждая нз которых задается конечным набором 'го...,'1, непрерывных положительных функциИ и состлпш нз гех прннадлежащнх К функций, когорые прн всех х удовлетворяю! неравешлвам (р(х)~ С 1о(х), ..., )дало(х)~ С З„,(х).
Проверка того, что втой топологии действительно подчнняез ся описанная вьппе сходнмость в К, предоставляется чнтателю. Упраж не нп е. Обозпачнч через К„, подпространство прогтранства К, состоящего яз всех функций ул 6 К, равных 0 вне отрезка ( — пл, т), В пространстве К можно ввести структуру счетно-нормированною пространства, полагая (Щ =- вцр (Зо~ 1(х),'. п = 0,1,2, осей ~с Проверьте, *шо тополагня (соотвегственно сходкмость последовательностей) в пространстве Ко„порождаемая втой снстезюй норм, совпадает с топологией (соответственно сходнмостью), нндуцнрованноИ н К„, описанной выше топологией (сходпмогтью) в пространстве К.
Ясно, что К1 С С К„л С ..., прячем К = () К„. Покажите, что лпюже=1 ство и С К тогда и только тогда ограничено относительно введенной и К топологии, когда существует такое т, что 12 является ограниченным подмножеством счетно-нормнрованцого пространства К . Пусть Т вЂ” — линейный фупкцнонал па пространстве К; докажите, что следующие четыре условия равносильны: (а) функционал Т непрерывен отпоснтгльно топологии орос гранства К; (б) фупкцнонал '!' ограничен па каждом ограниченном множестве с) С К; (в) еглп уь, Е К и зло -к ю (в смысле введенной н К сходнмостн последовательностей), то Т(Зо„) -+ 0; (г) для каждого ьч сужение Т функционала Т на подпространство К, С К есть непрерывный функпионал на К„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
