А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Приведите пример замкнутого множества в гильбсртовои пространстве, не являющетося слабо замкнутым. 3. Слабая схвдилтвсть в пространстпве С[а, 6[ непрерывных фрнкт!иб. Пусть (х„(С)) -- последовательность функций из С[а, Ь[, слабо сходящаяся к функции х(1). Последовательность (х„(!)) ограничена по норме С[а, Ь[.
Среди функционалов, определенных на С[а, Ь[, имеются, в частности, функционалы бт„каждый из которых есть значение функции в некоторой фиксированной точке гв (см. пример 4 и, 2 з 1). Для каждого такого функционала Ьт, условно бто(ха) -+ бто(х) означает, что ха(!о) -+ х(бв).
Таким образом, если ттоследовательность (х„(1Ц слабо сходится, то она: 1) равномерно ограничена, т.е. [х„(!)[ < С при всех и = 1,2,... на<!<Ь; 2) сходится в каждой точке. Можно показать, что совокупность этих двух условий не только необходима, но и до с тат о ч н а для слабой сходимости последовательности (х„(!) ) в С[а, 6[.
Иначе говоря, слабая сходимость в С[а, 6[ совпадает с поточечной (при условии ограниченности). Ясно, что эта сходимость не т:овпвдает со сходнмостью по норме С[а, Ь], т. е. равномерной сходимостью непрерывных функций. (Приведите соответствующий пример.) 3. Слабая топология и слабая сходимость в сопряженном пространстве. В п. 2 предыдущего параграфа мы ввели в сопряженном пространстве Е* топологию, названную нами сильной, приняв за систему окрестностей нуля совокупность множеств вида С,л = (!': [,т'(х)[ < в, х б А), где А — произвольное ограниченное множество в Е, а с — произвольное положительное число. Если мы здесь вместо всех ограниченных множеств будем рассматривать все конечные подмножества А С Е, то мы получим так называемую слабую топологию в сопрлзюеннвлт пространстве Е'.
Поскольку всякое конечное множество А С Е ограничено (обратное, вообще говоря, не верно), ясно, 1 3. Слабал п<свалогал а слабая стадамасп<ь 2! 3 <то слабая топология пространства Е' слабее, чем сильная топология этого пространства. Вообще говоря, эти две топологии не совпалают. Слабая тополоп<я, внед< иная в Е", определяет в этом пространстве некоторую сходимост ь, называемую слабой сходи<настыв> функцпоиалоа Слабая сходил<ость лннейных функционалов представляет собой важное понятие, играющее существенную роль во многпх вопросах функционального анализа, в частности, н теорпп так называемых обобщенных функций, о которых будет идти речь в следующем параграфе. Слабая сходимост<, последовательности (<р„) линейных функщюналов есть, очевндно, сходнмость этой последовательп<ютп на каждом фиксированном элементе из Е. Иными словами, последовательность ( р„) называется слабо сходящейся к;р й Е*, если для кан<дого х й Е выполнено соотношенне 'тч< (Х) + <Р(Х) Ясно, что и н сопряженном пространстве последовагечьносгь, сходящаяся в силыюй топологии, сходится и слабо (но не наоборот).
Пусть Е (а следовательно, и Е*) -- банахово пространство. Имеет место следующая теорема, аналогичная теореме 1. Теорема 1*. Если 12 ) --. слабо сходящаяся послед<тагеп,- ность линснных функционалов на балахоном пространстве, то существует такое постоянное число С, что ((Уа(! < С, п = 1,2,. Иначе говоря, »сякая слабо сходящаяся последовательность элементов пространства, сопряженного банахову просграпс< ну, ограничена ПО пО<эме. Доказат<льство не отличается от доказательства теоремы 1.
Следующая теорема вполне аналогична теореме 2. Т е о р е м а 2'. Последонатепы<ость 2<ипе112<ь<х функционалов (<ра) нз Е' слабо сходится к <р й Е*, если: 1) эта последовательность ограничена, т. е. (!«<а!! ( С, п = 1,2,...; 2) соотпопюпие (<р„„х) — > (сс, я) выполнено для всех т, принадлежащих некоторому множ<ютв<, линейные комбинации эдеме<тон к02'Орого всюду <<ЛОтны в Е. Доказательство то же, <то в теореме 2. !л. !ьг. Лииевиие функционалы и оаараггюри Рассмотрим пример. Пусть Е есть пространство С[о, Ь] непрерывных функций ') и ~р(х) = х(0), т.е, ьо есть д-функция (см. э 1, п.
2, пример 4). пусть, далее, (1о„(!)) — последовательность непрерывных функций, удовлетво- ряющих следующим условиям: 1) уа(!) ж 0 прн [![ ) 1/п, Ьза(1) ) 0; ь 2) / ьои(!) й = 1. Тогда для любой непрерывной на [о, Ь] функции х(1) с помощью тео- ремы о среднем получаем ь 1!и ( из„(!)х(!) с!! = ~ ьа„(!)х(!) сй -+ х(0) при ть -+ оо. а -1!и Выражение ь 1 ьаи(!)Х(!) и! а представляет собой линейный функционал на С[о, Ь]. Таким образом, 6-функцию можно представить как предел в смысле слабой сходимости линейных функционалов на С[о, Ь] последовательности «обычных» функций.
Замечание. Пространство Е' линейных функционалов на некотором пространстве Е мы можем рассматривать двояко: или как пространство, сопряженное к исходному пространству Е, или же считать само Е' основным пространством и связывать с ним сопряженное к нему пространство Е". В соответствии с этим мы можем в Е* вводить слабую топологию двумя способами: либо как в пространстве функционалов, определян окрестности в Е" с помощью всевозлюжных конечных наборов элементов из Е, либо как в основном пространстве, с помощью пространства Е"*.
В случае рефлексивного пространства это, разумеется, одно и то же. Если же Е не рефлексивно, то это — две различные топологии в Е'. Чтобы избежать возможной здесь путаницы, будем слабую топологию, определяемую в основном пространстве (т.е. топологию в Е*, определяемую с помощью Е" ) называть просто слабой топологией, а слабую топологию в пространстве функционалов (т. е. топологию в Е', определяемую с помощью Е) называть а-слабой топологией. 1) Мы считаем, что О Е (а,Ь). Можно было бы, коиечво, вместо точки 1 = О взять любую другую. гю г 3. Слаба» а1»полагал и слаба» алабам»ляг» Очевидно, что»-слабая топология в Е* слабее, чем слабая топология пространства Е" (т. е. в слабой топологии не меньше открытых множеств, чем в»-слабой топологии). 4.
Ограниченные множества в сопряженном пространстве. В различных применениях понятия слабой сходимости линейных функционалов важную роль играет следующая теорема. Теорем а 3. Если Š— - сепарабельиое линейное нормироваппое пространство, то в любой ограниченной последовательности непрерывных линейных функпи опалов на Е сдержится слабо сходящаяся лодпоследователыгостгь Доказательство.
Выберем в Е счетное всюлу плотное множество (кы...,х„,...). Если (<ра) -- ограниченная (по норме) последовательность линейных функционалов на Е, то числовая последовательность ю1(хг),..., аг,(тч), ограничена. Поэтому из ((аа) можно так выбрать подпоследовательность (~) (г) ггг - ~ [аа чтобы числовая последовательность (а, (х1), ..., (аа (яг), ..
схо[г) [г), днлась. Далее, из ([г„) можно так выбрать подпоследовате и ность (г) (г) [г) 1 ~'''~~а чтобы сходилась последовательность агг (хг),, ~дл (хг),... Про(г) (г) должая этот процесс, получим такую систему последователыюстей (1) р) уг . >(га [г) [г) чгг 3 .. 'Рл (каждая из которых содержится и предыдущей), что (гг„) сходится [ь) в точках яы..., хь. Тогда, взяв идиагонвльа (г) Уг .- Уа мы получим такую подпоследовательность линейных функционалов, что [а, (и„), [аг (ха),... сходится для всех и. Но тогда (в силу (ц [г) теоремы 2') последовательность (г, (х),(г (х), ... сходится и для ()) (г) любого и Е Е. ггв !о.!у.
2!иневные, фуккцпокаоы и опера~поры Эта теорема вместе с теоремой 1' означает, что в пространстве Е*, сопряженном сепарвбельному банакову пространству, ограниченные подмножества, и только они, являются счетно-предкомпактными в *-с.лабой топологии. Покажем, что на самом деле здесь имеет место предкомпактнострк а не только счетная предкомпактнос:ть. Докажем прежде всего слепуюшую теорему. Теорема 4. Пусть 8* -- замкнутый единичный шар прем трвнгтва Е", сопряженного к сепарабсльному нормированному пространству Е.
Топологию, ицпуцированную в Ь" *-слабой топологией пространства Е', моксно задать при помощи метрики р(г,д) = г 2 и!(( — д,хп)!, (2) где (хп) — некоторое фиксировшшои счетное всюду плотное множнство в единичном шаре 5 пространства Е. ; уг =. У: ИУ х>Н < г/2 Тогда, осли 1 Е Ь" й Ъ', то и СЮ Р(Г'.,0) =- ,'~ 2 ")(1",хп)!+ ~~~ 2 "/(1',х„ ))< и —.-И+1 2-п ь ~~, г-и< и=%+1 а) доказано. Докажем 2Е и=1 т.е. 5" П у' с Я,.
Тем самым утверждение утверждение б). Пусть П = Пу„,у и = (~: ((~, д,)! < ~., к = 1,...,пе) Доказательство. Ясно, что функция р(1,д) обладает всеми свойствами расстояния; кроме того, она инвариантна относительно сдвигов: Р(1 + ег д + й) = Р(! д). Позтому достаточно проверить, что система окрестностей нуля, определяемая в 5* слабой топологией пространства Е', зквнвалептпа системе окрестностей нуля, определяемой в Е расстоянием (2), т.е. что а) любой сопар> Ю.
= (У: ЛУ, О) < е) содержит пересечение о' с некоторой слабой окрестностью нуля в Е* и что б) всякая слабая окрестность нуля в Е' содержит пересечение Е* с некоторым 1,1,. Выберем гт' так, что 2 и < е/2 и рассмотрим слабую окрестность нуля 2>т 1 3, Слабом гооиологил и глобал охи<>имоои>и --- некоторая «-слабая окрестность нуля в Е". Можно считат<н что )>уь<<! < 1, << == 1»,,,,т; так как множество (хи) всюлу плотно в Ь', то пайдутгя такие ног<ори и<,...,пи„что ))у<. — хи„)! < Ь/2 (й = 1,...,>и). Пусть <г' = щах(п>,..., п„и) и с = 2 '«'«»о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
