А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 54
Текст из файла (страница 54)
При этом множество Ф функций, отвечающих функционалам из 5', будет равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Действительно, если ))ф) < 1, то кпр уР(х)! = Епр )у2(х)! < йу2й'зпрйАхй < 'йАй, *слй аЕАЯ *ей (1Р(х') — 1Р(хн)) < )(ф( йх' — ха(! < йх' — х 'й. Следовательно, это множество Ф предкомпактно в пространстве С(А5) (в силу теоремы Арцела). Но множество Ф с метрикой, индуцированной обычной метрикой пространства непрерывных функций С(А5), изометрично множеству А" 5' (с метрикой, индуцированной нормой пространства Е').
Действительно, если 91, 92 б 5', то )~Л д1 — А'92(~ = зпр ~(А*91 — А д2, х)) = аЕВ = зпр)(91 — д2,Ах)) = зпр )(91 д2,2)! = аЕЗ *сАВ впр ~(91 92~ 2)( Р(91 92) аЕАЗ Поскольку Ф предкомпактпо, то оно вполне ограничено; следовательно, вполне ограничено н изометричное ему множество А'5'. Поэтому А*5* предкомпактно в Е'. Теорема доказана. Замечание. Нетрудно проверить, что множество Ф замкнуто в С[А5), так что оно компактно, поэтому компактно и множество А*5*„хотя (как это видно из замечания в п. 1) образ замкнутого единичного шара при произвольном вполне непрерывном отображении может не быть компактом. Ситуация в только что доказанной теореме отличается от общей тем, что замкнутый единичный шар 5' в Е* компактен в *-слабой топологии пространства Е" (см. теорему б 2 3).
Отс1ода и следует компактность (в метрике пространства Е*) образа множества 5' для любого компактного оператора. Упражнения. 1. Пусть А- ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве. Докажите, что если оператор А* компактен. то и А компактен. 2С1 1 С. Компакпъпмв опврапъорм 2. Для того чтобы линейный оператор А и гильбертовом пространство Н был компактен, необходимо и достаточно, чтобы (эрмитово) сопряженный к нему оператор А' был коъшактен.
3. Собственные значения компактного оператора. Т е о р е м а 4. Всякий компактный оператор А в бапаховом пространстве Е имеет прп любом о > О лить конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственным значениям, по модулю превосходящим б. Доказательство. ПустьЛы..,,Л»,.,. какая-либопоследовательность собственных значений оператора А (раэличных илн с повторениями) таких, что ~Л„) > б; хы..., х„,... -- отвечающая им последовательность собственных векторов, и пусть эти векторы линейно независимы. Воспользуемся леммой 1 (п. 1) и построим такую последовательность векторов ры..., уп,..., что 1) Уп Е Вп 2) 0У»!! = 1.; 3) р(д„,Я„1) = 1пГ )(у„— х)( > 1/2, вен где Еп — подпространство, порожденное хы, .., тп.
Последовательность (рп/Л„) ограничена в силу неравенства ~Л„~ > 6. Мы утверждаем, что из последовательности образов (А(уп/Лп)) нельзя выбрать сходящуюся. Действителыю, пусть п йп = 2, 'окязб тогда ьъ=1 и — 1 ъЛ» г Л» где п — 1 /Ль эъъ — х оь1 1/хь и Бп — ! ° «» Ь»1 Поэтому при любых р > е )~А(~ ) А(Л )~~ = Ьр+хр (Ув+хаН! = Ир (Рв+хо зр)П > 1/2 поскольку йо + хв — хр б Ер Это противоречит компактности оператора А. Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что число линейно независимых собственных векторов, отвечающих данному собственному значению Л ф 0 компактного оператора А,конечно. Гл, 1Ъ". Линепнме фкнхчиомалм и опермэорм Из этой теоремы следует также, что число собственных значений Л„компактного оператора А во внешности круга ~Л( > б > 0 всегда конечно и что все собственные значения оператора А можно перенумеровать в порядке невозрастания модулей: )Л1! > )Лт~ >...
4. Компактные операторы в гильбертовом пространстве. Выше мы говорили о компактных операторах в произвольном банаховом пространстве. Сейчас мы дополним эти сведения некоторыми фактами, относящимися к компактным операторам в гильбертовом пространстве. Мы назвали оператор А компактным, если он переводит всякое ограниченное множество в предкомпактное. Поскольку Н = Н', т. е. Н есть пространство, сопряженное к сепарабельному, в нем все ограниченные множества (и только они) слабо предкомпактны.
Следовательно, в гильбертовом пространстве компактный оператор можно определить как оператор, переводящий всякое слабо предкомпактное множество в множество, предкомпактное в сильной топологии. Наконец, в некоторых случаях удобно еще и такое определение компактности оператора в гильбертовом пространстве: оператор .4 называется компактным в Н, если он всякую слабо сходящуюся гюследовательность переводит в сильно сходящуюся. Действительно, пусть зто последнее условие выполнено и пусть М вЂ” ограниченное множество в Н.
Каждое бесконечное подмножество множества М содержит слабо сходящуюся пшшедовательность. Если опа переводится в сильно сходящуюся последовательность, то АМ предкомпактно. Обратно, пусть А — компактный оператор, (х„~ — слабо сходящаяся последовательность и х — ее слабый предел, Тогда (Ах„) содержит подпоследовательность, сходящуюся сильно.
В то же время (Ах„~ сходится (жабо, в силу непрерывности А, к Ах, откуда следует, что (Ах„~ не может иметь более одной предельной точки. Следовательно, ~Ах„~ — сходящаяся последовательность. 5, Самосопряженные компактные операторы в Н. Для самосопряженных линейных операторов в конечномерпом евклидовом пространстве известна теорема о приведении матрицы такого оператора к диагональной форме в некотором ортогональном нормированном базисе. В этом пункте мы распространим эту теорему на компактные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Результаты этого пункта справедливы как для действительного, так и для комплексного гильбертова пространства. Дня определенности будем считать, что Н комплексно. Установим прежде всего некоторые свойства собственных векторов и собственных значений самосопряженных операторов в Н, 1 г.
Компактные операторы гбз вполне аналогичные, впрочем, соответствующим свойствам конеч- номерных самосопряженных операторов. 1. Все собственные .значения самосопряжевного оператора А е Н действительны. В самом деле, пусть Ах = Лх, ЦхЦ ф О, тогда Л(х, х) = (Ах,х) = (х, Ах) = (х, Лх) = Л(х, х), откуда Л = Л. П, Собстпеенные ееюпоры самосапрязесенного оператора, отве- чающие различным собственным значениям, ортогональны. Действительно, если Ах = Лх и Ау = ру, причем Л ф р, то Л(х,у) =- (Ах,у) = (х, Ау) = (х,ру) = д(х,у), откуда(х,у) = О.
Докажем теперь следующую фундаментальную теорему. Теорема 5 (Гнльберт-Шмидт), Для любого компактного самосопряженного линейного оператора А в гнльбертовом простран- стве Н существует ортогональная нормированная система (р„) собственных векторов, отвечающих собственным значениям (Л„) (Л„~ 0), такая, что каждый элемент 4 Е Н ззлисываетгя един- ственным образом в виде сгпог + Г, где виктор Е е Кег А, т, е, удовлетворяет условию А(' = 0; при этом Аче = ~~ Лгсг!оь г и если система (у„) бесконечна, то!пп Л„= 0 (и -+ оо). Для доказательства этой основной теоремы нам понадобятся сле- дующие вспомогательные утверждения. Лемма 2.
Если (~„) слабо сходится к ~ и линейный самосопря- женный оператор А компактен, то Я(~„) = (А~п,~„) -г (А~,(') = Я(~). Доказательство. Для всякого и !(А~„, ~„) — (А~, ~)/ < !(А~„, ~„) — (А~,4„)/ + !(А~, ~„) — (Аб, ~)(.
Но ((А~„, ~„) — (А(, ~„)! < Ц„)) . ЦА(~„— ~)((, !(А~, ~„) — (А~, с) / = !(А~„, ~) — (А~, ~) ! = = /(~,А(~„— ~))( < ЦЦ . ЦА((„— ~)Ц, и так как числа ЦспЦ ограничены, а ЦА(с„— с)Ц -+ О, то ((А~„, 4„) — (А~, ~)( -+ О, что и требовалось доказать. Гл. 1Ь, Лииеаиио функционалы и оиараюори Теорема 3. Еглн функционал !Ф()! = !(А6С)(, где А — ограннченiьгй самосопряженный линейный оператор, достигает на единичном шаре максимума в точке Се, то из ((е, и) = О вытекает, что (Аса, и) = (со, Ап) = О Доказательство. Очевидно, !!са(! = 1, Положим ,л ггкав ' где а -- произвольное комплексное число.
Из Цз!! = 1 следует, что И!! = 1. Далее, Ф() = г г Р((о) + й(А4о,9) + п(А(о, Ч) + !а! Я(6)]. 1+ !а! !!Н!! Число а можно взять сколь угодно малым по модулю и таким, что а(АСе, и) — Действительнал величиаа. ТогДа а(АСе, и) = а(А~е, г1) и 1',Я) = Я(Со) + 2а(А(е, г1) + 0(о ). Из последнего равенства ясно, что если (А(а, г1) ф О, то а можно выбрать гак, что !Ь)(С)! > ф(Се)(, а это противоречит условию леммы. Из леммы 3 непосредственно вытекает, что если ф(~)! достигает максимума при с = се, то се есть собственный вектор оператора.
Доказательство теоремы 5. Будем строить элементы оог iо индукции, в порядке убывания абсолютных величин соответствующих им собственных значений: !л,!> ">!л„!>.. Для построения элемента аг~ рассмотрим выражение (ьГ(С)! = = ((Ас, с)! и докажем, что оно на единичном шаре достигает максимума. Пусть Я = зпр !(Ас,с)! гйг<г и 6, сг, ° ° — такая последовательность,что Ц„!! = 1 и !(А~„,~„)! -+ 5 при и — г оо. Так как единичный шар в Н слабо компактен, то из (с„) можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу г1. При этом !!г1!! < 1 и в силу леммы 2 !(Аг1,г1)! = Я. 1 б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
