А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В бесконечномерном пространстве компактность оператора есть требование существенна более сильное, чем п1»осто его непрерывность (т. е. ограниченаость). Например, одиничный оператор в гильбертовом пространстве непрерывен, но отнюдь не компактен. (Докажите это независимо от рассматриваемого ниже примера 1.) 9 -1324 254 Га.!р. Линейные функционалы и операторы Рассмотрим некоторые примеры. 1.
Пусть 1 -- единичный оператор в банаховом пространстве Е. Покажем, что если Е бесконечномерно, то оператор У не компактен. Дпя этого достаточно, очевидно, сказать, что единичный шар в Е (который, разумеется, переводится оператором 1 в себя) не предкомпактен. Это в свою очередь вытекает из следующей леммы, которая понадобится нам и в дальнейшем. Лемма 1. Пусть х!, хз,... — линейно независимые векторы в нормированном пространстве Е и пусть ń— подпространство, порозкденное векторами х!,..., х„. Тогда существуег последовательность векторов у!, рз,..., удовлетворяющая следующим условиям: 1) ((уп(~ = 1; 2) уп Е Еп; 3) р(у„,Еп !) > 1/2, где Р(у», Еп-!) — — расстояние вектора рп от Е„!, т. е.
1п! 'йу„— х)(. ее п„ Доказательство. Действительно, так как векторы х!, хт,... линейно независимы, то х„ф Е„..! и р(х„,Е„!) = о > О. Пусть х' — — такой вектор из Е„„что цх„— х"!) < 2о. 'Тогда, поскольку о = р(х„, Е„! ) = р(х„— х', Е„! ), вектор х — х" 1~*. -*Ч удовлетворяет всем условиям 1) — 3). Зв, у! при этом можно взять х!Дх!'й. Лемма доказана.
Пользуясь этой леммой, в единичном шаре всякого бесконечно- мерного нормированного пространства можно построить последовательность векторов (у„), для которой р(р, уп) > 1/2, т ф и. Ясно, что такая последовательность не может содержать никакой сходящейся подпоследовательности. А это и означает отсутствие пред- компактности. 2. Пусть А -- непрерывный линейный оператор, переводящий банахово пространство Е в некоторое его конечпомерное подпространство.
Такой оператор компактен, поскольку он переводит всякое ограниченное подмножество М с Е в ограниченное подмножество конечномерпого пространства, т. е. в предкомпактное множество. В частности, в гильбертовом пространстве оператор ортогонального проектирования на подпространство компактен в том и только том случае, если это подпространство имеет конечную размерность.
1 6. Компактные операепоры 3. Рассмотрим в пространстве ?г оператор Л, определенный следующим образом: если х = (хы..., х„,... ), то Ах = 1х>., 2хг,..., — „хп,... ). Этот оператор компактен. Действительно, поскольку всякое ограниченное множество из 1г содержится в некотором шаре этогю пространства, достаточно доказать, что образы шаров предкомпактны,. а в силу линейности оператора достаточно проверить это для единичного шара. Но оператор (1) переводит единичный шар пространства 1г в множество точек, содержащееся в основном параллелепипеде (см. гл.
??, 2 7, п. 1). Следовательно, это множество вполне ограннчено,а значит, и предкомпактно. Упражнение. Пусть Ах =. (аьхм.,.,апхп, .., ); прв каких условиях ва последовательность чисел (а„) этот оператор в 1а компактен7 4. В пространстве непрерывных функций С[а, Ь] важный к.ласс компактных операторов образуют операторы, представимые в виде ь Ах = у(в) = / К(в,ь)х(1) д1. (2) Покажем справедливость следующего утверждения: если функция К(в, 8) ограни сена на квадрапье а < в < Ь, а < 1 < Ь и осе ее точки разрыва лежат на конечном числе кривых 1= рь(в), й = 1,...,п, М = ьцр ]К(в,?)[ а<ел<в и пусть 6' множество тех точек (в,1), для которых хотя бы при одном 1е = 1,, ть выполняется неравенство 12Мп ' Следом С(в) этого множества на каждой прямой в = сопвь служит объединение интервалов С( ) аа 0 11: [1 — уь( )[ < 12М вЂ” „) где уь — непрермвньье функции, то формула (2) определяет в пространспьве С[а, Ь] компактнььй оператор.
Действительно, заметим, прежде всего, что в указанных условиях интеграл (2) существует для любого в из отрезка [а, Ь], т.е. функция у(в) определена. Далее., пусть 2»г1 !е. С СЕ. Пиневнне фунаннанаан н ааерааеерн Пусть Р— дополнение множества 0 до квадрата а <», 1 < Ь. Так как Е компактно, а функция К(»,1) непрорывна на Е, то гущеетвуел такое Б > (), что [К(»',1') — К(»",сн)[ < для любых точек (»', 1'), (»",сн) из Е, удовлетворяющих условщо [»' — »с'[ + [е' — ге[ < 6. (3) Оценим теперь разность у(»') — й(»н) в предположении, что [»' — »н[ < <».
Имеем » [Р( ') — й(»н)[< /'[К(.',1) — К(»",1)[ (1)[ 11; а для оценки стоящего справа интеграла разобьем промежуток интегрирования [п, 6] на объединение интервалов С(»') О С(»н), которое обозначим Р, и остальную часть отрезка [а, 6), которую обозначим Я. Заметив, что Р есть объединение интервалов, суммарная длина которых не превосходит»/(ЗМ), получаем /' [К(»,~) — (,~)[[. (~)[й д [[ [[.
Интеграл по Я допускает, очевидно, оценку / [~(,~) - (,~)[[ (На —,[[х[[ Таким об азом [р(»') — у(»н) [ <»[[х[[. (4) Неравенство (4) показывает, что функция й(») непрерывна, .т.е. формула (2) действительно определяет оператор„переводящий пространство С[а, 6) в себя. Далее, из того же неравенства видно, что если (х(1)) - — ограниченное множество в С(п, 6[, то соотвстствусощее множество (р(»)) равностепенно непрерывно. Наконец, если [[х[[ < С, то [[у[[ = »пр [у(»)[ <»пр / [К(»,1)[[х(6)[с11 < М(Ь вЂ” о)[[:е[[ а Таким образом, оператор (2) переводит всякое ограниченное мно- жество из С[аз Ь[ в множество функний, равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное, т.
е. предкомпактное. 4а. Расположение точек разрыва функции К(»,1) на конечном числе кривьсх, пересекающих прямые» = снизу лишь в одной точке, существенно. Пусть, например, 1 при»<1/2, К(»,1) = О при»>1/2; 1 и. Комаактн1ае онерагг~оры 257 оператор (2) с таким ядром, заданным на квадрате 0 < я, 1 < 1 и имекшгим точками разрыва весь отрезок з = 1/2, 0 < г < 1, .переводит функцию х(1) е— а 1 в разрывную функцию. 4б. Если положить К(а,б) = 0 при 1 > з, то оператор (2) примет вид у(н) = / К(а,1)х(г) гй. (5) и Будем считать, что функция К(я,б) непрерывна при 1 < я; тогда из сказанного в примере 4 следует, что оператор (5) вполне непрерывен в С[и,б]. Этот оператор называется ипериторола пгнпи 1зольтерра ').
.гх(з) = / х(1)М; -1 —. вполне непрерывный оператор в С[ — 1, 1]. по доказанному выше, о Положим Е О, если — 1 <1<0, гь1, если 0 < 1 < 1/и, 1, если1/п<1<1. х„(е) = Тогда х„б С[ — 1, 1], ]]х„]] = 1 для всех п и О, если — 1 < 1 < О, ро(Ф) =,Ух„(Ф) = пбт/2, если 0 < 1 < 1/и, 1 — 1/(2п), если 1/п < 1 < 1.
Ясно, что последовательность у„сходится в С[ — 1, 1] к функции О, если — 1<1<0, у(1) = 8, если 0<1<1, которая не является образом (при отображении Х) никакой функции из С[ — 1, 1], ибо функция р'(1) разрывна. Однако можно доказать, что если пространство рефлексивно (например, гильбертово), то образ замкнутого единичного шара при компактном линейном отображении компактен. 1) Вито Вольтерра — итальянский математик, автор ряда работ но функциональному анализу н интегральным уравненияи. Замечание. При принятом нами определении компактного оператора может оказаться, что образ замкнутого единичного шара некомпактен (хотя он предкомпактен).
Действительно, рассмотрим в пространстве С[-1, Ц оператор интегрирования Гл.!Н, Линеннне фзнкцноналн и онераеаоин 258 2. Основные свойства компактных операторов. Те о р е м а 1. Если (Ан) — последовательность компактных операторов в банаховом пространстве Е, сходящаяся по норме к некоторому оператору А, то оператор Л тоже компактен. Доказательство. Для установления компактности оператора А достаточно показать, что, какова бы ни была ограниченная последовательность х!,..., х„,...
элементов из Е, из последовательности (Ах„) можно выделить сходящуюся 2юдпоследовательность. Так как оператор Л! компактен, то из последовательности (А! х„) можно выбрать сходяшуюся подпоследовательность. Пусть (!) (ц — такая подпоследовательностсн что (А! х„) сходится. Рассмотрим (!) теперь последовательность (Лзх„). Из нее опять-таки можно вы- '(!] брать гходяшуюся подпоследовательность. Пусть х(2) х(2) х1 1'''1 н — — такая подпоследовательность, выбранная из (б), что (Азх„) схо- (2) дится. При этом, очевидно, (А! х„) тоже сходится. Рассуждая ана- (2) логично, выберем из последовательности (х„) такую подпоследо- , (2) вательность (3) (2) что (Азх„) сходится и т.д.
Возьмем затем диагональную последо- (з) вательность (!) (и) х,,...,х„ Каждый из операторов А2, ..., А„, ... переводит ее в сходящуюся. Покажем, что и оператор А тоже переводит ее в сходящуюся. Тем самым компактность А будет установлена. Так как пространство Е полно, то достаточно показать, что (Ах„) — фундаментальная по(л) следовательность. Имеем Цйт(") — Ах('") Ц < ЦАх(") — Ау,х(") Ц+ + ЦАсх(") — Асх(~)Ц+ ЦАсх~~) — Ах( )Ц. (7) Пусть Цх„Ц < С; выберем сначала й так, что ЦА — Ас Ц < е/(ЗС), а потом выберем такое М, чтобы при всех и > Е! и т > Л( выполнялось неравенство ЦАсх(") — Асх~"') Ц < е/3 1 С. Компактные оператори (это возможно, так как последовательность (Аьх„) сходится).
При [и) этих условиях из (7) получаем, что ))Ах(п) — Ахба))) < с для всех достаточно больших и и т. Теорема доказана. Легко проверить, что линейная комбинация компактных операторов компактна. Следовательно, в пространстве ь(Е, Е) всех ограниченных линейных операторов, определенных на Е, компактные операторы образуют замкнутое линейное подпространство. Посмотрим теперь, будет ли совокупность компактных операторов замкнута относительно операции перемножения операторов. На самом деле здесь справедливо даже существенно более сильное утверждение. Теорема 2. Если А -- компактный оператор, а  — ограниченный, то операторы АВ и ВА компактны. Доказательство.
Если множество М С Е ограничено,. то ВМ тоже ограничено. Следоватеьтьно, АВМ предкомпактно, а это и означает, что оператор АВ компактен. Далее, если М ограничено, то АМ предкомпактно, а тогда, в силу непрерывности В, множество ВАМ тоже предкомпактно, т. е. оператор ВА компактен. Теорема доказана. Следствие, В бссконечвомерном пространстве Е компактный оператор нс может иметь ограниченного обратного. Действительно, иначе единичный оператор Г = А 'А был бы компактен в Е, что невозможно (см.
пример 1). Замечание. Теорема 2 показывает, что компактные операторы образуют в кольце всех ограниченных операторов Е(Е, Е) двусторонний идеал '). Теорема 3. Оператор, сопряженный компактному, компактен. Доказательство. Пусть А - — компактный оператор в банаховом пространстве Е. Покажем, что сопряженный оператор А', действующий в Е", переводит каждое ограниченное подмножество из Е' в предкомпактное. Поскольку всякое ограниченное подмножество нормировашюго пространства содержится в некотором шаре, 1) Идеалом (двустороннии) в некотором кольце й называется такое подкольцо 11, что если а с 0, т е д, то ат с 11 и та е 11. 1л. 1Ч. 21инааныа функционалы и онараааары 260 достаточно показать, что А" переводит каждый шар в предкомпактное множество. В силу линейности оператора А' достаточно показать, что образ А'5' замкнутого единичного шара 5" с Е' пред- компактен, Будем рассматривать элементы из Е* как функции не на всем пространстве Е, а лишь на компакте А5 — замыкании образа единичного шара при отображении А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
