А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 63
Текст из файла (страница 63)
ц. Мера, измеримие функции, иижеграл прерывной с помощью такой «малой деформации», говорят, что она обладает С-свопспевом (термин Н. Н. Лузина). Как показывает теорема Лузина, для функций числового аргумента С-свойство можно положить в основу самого определения измеримости. Доказательство теоремы Лузина можно получить, воспользовавшись теоремой Егорова (проведите это доказательство!). Упражнение. Доказать, что если А — измеримое множества на отрезке [а, Ь], то для любого е>0 найдутся такое открытое множество СЗА и такое замкнутое множество Р С А, что ее(б ~ А) < е и и(А ~ Р) < е. й 5.
Интеграл Лебега Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «ве слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так, что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной.
Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом. Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том„что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки х группируются не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Это сразу же позволяет распространить понятие интеграла па весьма широкий класс функций. Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно одинаково для функций, заданных на любых пространствах с мерой, в то время как интеграл Римана вводится сначала для функций одного переменного, а затем уже с соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных.
Для функций же на абстрактных пространствах с мерой интеграл Римана вообще не имеет смысла. Всюду, где не оговорено противное„будот рассматриваться некоторая полная о.-аддитивная мера д, определенная на о-алгебре множеств с единицей Х. Все рассматриваемые множества А С Х будут предполагаться измеримыми, а функции )'(к) — определенными для х б Х и измеримыми. Нам удобно будет определить интеграл Лебега вначале для так называемых простых функций, а затем распространить его 1 5. Инямгваа Леаега на существенно более широкий класс функций. Пункты 2 — 5 содержат построение интеграла Дебега для случая, когда мера всего пространства конечна.
Случай бесконечной меры рассматривается в п. б етого параграфа. 1. Простые функции. Определение 1. Функция /(х), определенная на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более чем счетное число значений. Структура простых функций характеризуется следующей теоремой. Те оре м а 1. Функция /(х), принимающая не более чем счетное число различных значений Уы .,Уа, измерима в том и только том случае, если все множества А„= (х: /(х) = ра) измеримы. Доказательство.
Необходимость условия ясна, так как каждое А„есть прообраз одноточечного множества (у„), а всякое одноточечное множество является борелевским. Достаточность следует из того, что в условиях теоремы прообраз / '(В) любого борелевского множества есть объединение () А„не более чем счетного з ев числа измеримых множеств А„, т. е. измерим. Использование простых функций в построении интеграла Лебега будет основано па следующей теореме.
Теорема 2, Для измеримости функции /(х) необходимо н достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых нзмернггых функцпй. Доказательство. Достаточность ясна из теоремы 4 предыдущего параграфа. Для доказательства необходимости рассмотрим произвольную измеримую функцию /(х) и положим /н(х) = т/и, если т/и:ь /(х) ( (т + 1)/п (здесь т — целые, п — целые положительные). Ясно, что функции /„(х) простые; при и -ч оо они равномерно сходятся к /(х), так как ~/(х) — /„(х)) ( 1/и,. 1е.
И. Мера, измеримеге функции, игггггеграл 2. Интеграл Лебега для простых функций. Мы введем понятие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простыми, т.е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное число значений. Пусть 1 — — некоторая простая функция, принимающая значения у„...,у„,...; у;фуу при ефу, и пусть А — некоторое измеримое подмножество Л. Естественно определить интеграл от функции 1 по множеству А равенством / 1(х) г1!г = ~~' гйи1г(4и), где Аи ее (х: х Е А, У(х) = йи),, (1) .4 и если ряд справа сходится. Мы приходим к следующему определению (в котором по попятным причинам заранее постулируется абсолютная сходимость ряда). Определение 2.
Простая функция 1 называется ггнтегрируемой или суммируемой (по мере р) на множестве А, если ряд (1) абсолютно сходится. Гели 1 интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от 1" по множеству А. В этом определении предполагается, что все у„различны. Можно, однако, представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида сьр(Вь) и не предполагая, что все су различны. Это позволяет сделать следующая лемма.
Л е и м а. Пусть А = () Вю В; П Ву = ьг при г' ф у' и пусть на каждом множестве Вь функция 1 принимает только одно значение се, тогда / 1(х)г1р= ~ сур(Вь), (2) л ь причем функция 1" интегрнруема на А в том и только том случае, когда ряд (2) абсолютно сходится. Доказательство. Легко видеть, что каждое множество А„=(х:хбА, У(х)=у ) является объединением тех Вуь для которых сь = у„. 11оэтому " у„р(Аи) = ~ у„~~ р(Вь) = У сер(Ву). и п ег —.-у„ ь Так как мера неотрицательна, то ~~, Ьг,! 14(А ) = ~ Ь ! ~ р(Вь) ее,) !сь! 14(Вь), Э З. Интеграл Леоега т.е. ряды ~ у„р(А„) и ~„"сед(Вь) абсолютно сходятся или расхоа г дятся одновременно.
Лемма доказана. дь = ~ У(х) др =- , ', 'Бь(К), А ь ,Уз = ( д(х) Нр = ~~ь д р(С ). А (3) (4) Тоьда в силу леммы э = 1 У(х) + 9(хаен = Х~', Е(Л+ду)ьз(г) ь ьСу)' но р(Г,) = ~~ р(Я,ПС ), р(С,) = ~~ р(Г;ПСэ), э ь так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при этом .7= дь+1з. Б) Длл любого постоянного к / Ц(х) др = Й / ((х) Щ причем иэ сущеспьоования тппеграла в правой части следует сущеставование интеграла в левой части. (Проверяется непосредственно.) В) Ограничеэоьая на мноэьсесьпве А простая функчия у интеерируема на.4, причем если (/(х)~ < М но А, ьпо / ь'(х) др < Мр(А). (Проверяется непосредственно.) Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций. А) /(У(х) +д(х))др = ~ ~(э:) фь+ ( д(т) др, А А А причем иэ существоваяил интегралов в правой часпт равенсьпва следует гуьйесьпвовоние иньььегрььла в левой.
Для доказательства предположим, что у принимает значения ьь на множествах К С А, а д —. значения д, на множестььах С, С А, так что г'з. Ч. Мера, измеримые функции, инкмграз 314 3. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры. Определение 3. Назовем функцию у интегрируемой (суммируемой) на множесгпее А, если существует последовательность простых интегрируемых на А функций 4'Ц„), сходящаяся рави о м е р н о к у.
Предел (6) обозначим / у(х) его А и назовем интегралом функции г' по множеству А. Это определение корректно, если выполнены следующие условия. Е Предел (6) для любой равномерно сходящейся последовательности простых интегрируемых на А функций существует. 2. Этот предел при заданной функции у не зависит от выбора последовательности (у„). 3. Для простых функций определение интегрируемости и интеграла равносильно данному в п. 2. Все эти условия действительно выполнены. Для доказательства первого достаточно заметить, что в силу свойств А), Б) и В) интеграла от простых функций (1 Уи(*)а — У У ( )Ы ! (А) ' !У„(*) — У,„(*)!.
(7) А А еЕА Для доказательства второго условия надо рассмотреть две последовательности, (уа) н (Д), сходящиеся к ~. Если бы предел (6) для этих двух последовательностей принимал различные значения, то для последовательности, получешюй объединением этих двух, предел (6) не существовал бы, что противоречит первому условию. Наконец, для доказательства справедливости третьего условия достаточно рассмотреть последовательность, в которой у„равняется ~ для всех и.
Замечание. Мы видим, что в построении интеграла Лебега имеются два существенных этапа. Первый — непосредственное определение интеграла (как суммы ряда) для некоторого класса функций (простых суммируемых функций), достаточно простого и в то же время достаточно обширного, второй — распространение определения интеграла на существенно более широкий класс функций зиз 1 5. Интпегрел Ле6еге с помощью предельного перехода. По существу, сочетание этих приемов — непосредственного конструктивного,но узкого определения и последующего предельного перехода присутствует в любом построении интеграла.
Установим основные свойства интеграла Лебега. Непосредственно из опроделения следует,что: /1 йр = р(А). (8) П. Длл любого поетпоянного к / /СУ(х)йр = )т 1 У(х) йр, (9) Л Л причем из сущестпвоеаиия интеграла в правой части вытекает существование интеграла в левой. Это свойство выводится при помощи предельного перехода из свойства В) для интеграла от простых функций. П1. Аддипгивиоглпес 1йх)+д(х))йр = ~ 1(')йр+ / д(х)йре (1О) )' з (х) йр > О (11) Л (в предположении, что интеграл существует). Для простых функций это утверждение следует прямо из определения, а в общем случае его можно вывести, заметив, что если т измерима и неотрицательна, то найдется равномерно сходящаяся к ней последовательность(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
