А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 69
Текст из файла (страница 69)
если воспользоваться обобщением леммы Ф. Рисса на функции с разрывами первого рода. Пусть д функция на отрезке [п, Ь], имеюрцая разрывы только первого рода. Назовем точку хй е [а, Ь] невидамойг справа для д(х)г если существувт такое С > хй, что шах [д(хо — 0) д(хо) д(ко + 0)] < д(с). !. Монотоннно функции Тогда, как и н случае непрерывной с, множество точек, невидимых справа длн рн открыто, и е концах слстаеллкпцих его ингпервалов (ал, Ь!) еъпи!лнкются неравенства й(а!) < ФЬ»).
Хотя доказательство теоремы 1 довольно длинно, сама она имеет простой наглядный смысл. Поясним, например, почему Лои (и Лло,) обязано быть конечным почти всюду. Отноше!ше !.'!)/ллх — это «коэффициент растяжения» отрезка [а, Ь] в данной точке х при отображении з'. Так как при этом отображении конечный отрезок [а, Ь] превращается в конечный отрезок [1(а)., 1(1!)], то «растяжение» не л!ожет быть бесконечным на множестве положительной меры. Иногда бывает полезна следующая теорема о почленном дифференцировании ряда из монотонных функций, называемая иногда «малой теор! мой Фубипи».
Теорема 2. Вск!д! сходящийся ряд ~Р„(х) =- Р(. ), и=1 (10) где Р„-- монотонно неубыва!ощие функции на [а, Ь], почти всюду допускает почленсое дифференцированньч Р,', (х) = Р '(х) . Е„=!(Р (с)-Р ( )) < Р(Ь) — Р(х) Ь Переходя к пределу прп б — ! х, получаем Р„'(х) < Р'(х). и=! ы — !зл« Доказательство. Заменив Р„(х) на Рн (х) — Р'„(а), !ложно считать, что все Рн(х) неотрицательпы н обращаются в нуль при х = о,. В силу теоремы 1 существует множество полной меры Е С [а, Ь], на котором существу!от все Р„'(х) и Р'(х).
Пусть х. б Рн а б б [а, Ь] произвольно. Имеем ~:„,(Г„(Ь) — Ро( )) Р(б) Р(х) г-х ( — о. Так как с -. х и Рн(с) — Р (х) имеют одинаковый знак (лтонотонность!), то при любом Л! 350 Гл. 1Ч. Неппределенныа инепеграл Лебегп Поскольку все г'„'(и) > О, отсюда следует, что ~К„'(я) < Г'( ). (11) п=1 Итак, ряд из производных Р'„'(т) сходится всюду на Е. Покажем, что при почти всех х в (11) имеет место знак равенства. Для каждого й найдется такая частичная сумма Ян, (я) ряда (10), что О «Г(Ь) — Я„„(Ь) < 11211 Так как функция г (х) — Япл (я) = 2,' Гп,(я) — неубывающая, гп)пг то и при любом х О < Г(к) — Ь'„л (х) < 1/2", откуда следует, что ряд ',:(Р(Я) — 3н,(*)) (12) 1=1 состоящий из неубывающих функций, сходится (даже равномерно) на всем отрезке [о, 6].
Тогда, по уже доказанному, ряд (Е'(х) — Я„'„(х)), (13) »=1 полученный из (12) почленным дифференцированием, сходится по- чти всюду. Следовательно, общий член ряда (13) почти всюду стре- мится к нулю, т.е. Яг„(х) — г'г(х) -+ О почти всюду. Но если бы в неравенстве (11) стоял знак <, то никакая последовательность частичных сумм не могла бы сходиться к Ен(я). Следонательно, Р,(я) = Е'(к) п=1 почти всюду.
Теорема доказана. С л е д с т в не. Функция скачков имеет почти всюду производную, равную нулю. Действительно, такая функция есть сумма сходящегося ряда не- убывающих «ступеней»н . =(. О при я<х„, Е„(х) = Ьн при х > яп, каждая из которых имеет почти всюду равную нулю производнукг. 3. Производная интеграла по верхнему пределу. Поскольку интеграл / 1р(1) 111 а от любой сумм и руемой функции можно представить в ниде разности двух монотонных функций, из теоремы 1 сразу вытекает следующий результат. 1 Я.
Функции с оьрагьичинннм измининоим теорема 3. Для каждой сьсммируемойфункппн ср производная — /' уи(1) сьс (14) с'1 п[ествует при почти Всех х Необходимо подчеркнуть, что хотя мы и установилн существование производной (14) почти всюду, вопрос о равенстве „~, / (1)[1= р(*) п пока не обсуждался.
В действительности (см. 3 3) зто равенство оказывается верным почти вс:юду для любой суммируемой функции уь. з 2. Функции с ограниченным изменением Вопрос о дифференцируемости интеграла Лебега по верхнему пределу привел нас к рассмотрению класса функций, представимых в виде разностей монотонных функций. В этом параграфе мы дадим для этих функций другое описание, нс опиракнцееся на понятие монотонности, и рассмотрим основные их свойства.
Начнем с необходимых определений, Определение 1. Функция 1, заданная на отрезке (П,Ь], называется фгйнкг[пей с озраниченнььлг изменением, если существует такая постоянная С, что, каково бы ни было разбиение отрезка (а, Ь] точками а=хо <хь« х„=Ь, выполнено неравенство и ]У(хь) — ['(хь 1)] < С. ь=ь Всякая монотонная функция имеет ограниченное изменение, так как для нее сумма, стоящан в (1) слева, не зависит от выбора разбиения и всегда равна ]ДЬ) — 1(а)]. Определение 2. Пусть т" — функция с ограниченным изменением. Точная верхняя грань сумм (1) по всевозможным конечным разбиениям отрезка (а,6] называется гьолнмм изменением (или полной вариацией) функции [ на отрезке (а, Ь] и обозначается Ъ~и(Я.
Таким образом, 1[ (У] = чг'р ~~' ]У(хь) У(хь — 1)]. ь=! Гл. у!. ««еонределеннна интеграл Лсбегл Замечание. Функция у, заданная на всей прямой, называется функцией с ограниченным изменением, если величины «г«[д1 ограничены в совокупности. При этом !1т 1г, [Г[ Ь вЂ” «со с — э — оо называется полным изменением функции д на прямой — со < х < оо и обозначается 1«ло [Я. Установим основньн свойства полного изменения функции. 1. Если а — постоянное число, то 1'."[оЛ = [а[у [Л. Это сразу следует из определения $;~[~[. 2. Если д' и д — функции с ограниченным изменениелг, то д + д тоже имеет ограниченное изменение и 1".У+ д) < ) ".[.([+ ~".[д).
(2) Действительно, для каждого разбиения отрезка [а, Ь[ имеем , '[у(хз) + д(х«) — у(хь «) — д(х«, «)[ < ь <,> [У( ь) — У( '« — )[ + ~~' [д(х«) — д(х«- )[ ь ь откуда, поскольку всегда зпр(А + В) < зэ«р А + зпр В, получаем требуемое неравенство. Свойства 1 и 2 означают, что линейная комбинация функций с ограниченным изменением (определенных на данном отрезке «а, Ь[) есть снова функция с ограниченным изменением. Иными озонами, функции е огра!«ичеггэгь«ги изменением образуют линейное просгпрап- ство (в отличие от множества монотонных функций, которые ли- нейного пространства не образуют). 3. Еслиа<Ь<с, гпо гг«[г[ + 1гс[г[ ггс[г) (3) Действительно, рассмотрим сначала такое разбиение от!эезка [а, с[, в котором Ь служит одной из точек деления, скажемг х, = Ь.
Тогда л г [)(хз) — у(хь «)[=" [у(х«) — у(хь «)[+ ь=« ь=« н + ~ Х[у(х«) — у(хь «)[ < И [у) + э'д'[у[. (4) «.--э ь« Ь и. Фкнкчоп с огрвнвченнмм аэмсненасм Возьмем теперь произвольное разбиение отрезка [а,с]. Ясна, что если к его точкам деления добавить еще одну, именно точку Ь, то сумма ~,[У(хь) — У(хг-!)[ ь=1 от такого добавления не уменьшится.
Следовательно, неравенство (4) выполнено лля любого разбиевия отрезка [а, с], понтону р [Л <ФЛ+К;М (4') С другой стороны, для всякого с > О найдутся такие разбиения отрезков [а, Ь] и [Ь, с], что ~. Шх[) - Лх[.,)] > рт] - с, ~~'„[у( у) — у(х,"-!)[ > ~7И вЂ” $. Соединив зтн два разбиения, мы получим разбиение отрезка [а, с], для которого [Дхь) — у(хь !)[ = ]э' (х';) — э (х'; ! ) ] + ~ [Дхэ ) — э (хэ' ! ) [ > 1~„[Д + ! д'[э ] — е. В силу произвольности с > О отсюда следует, что ~~с[эг] > р ![с] + 1)ся (о) Из (4') и (5) следует (3). Так как полное изменение любой функции на любом отрезке не- отрицательно, то из свойства 3 сразу следует свойство 4.
4. Функция о(х) = ~.*И так, что в «а [Л-',.]П-.)-1(*ь !)[<-; ь=! (б) монотонно нсубываюи!вя. 5. Если у' непрерывна в пючкс х' слсоа, то и о нег!рсрывна в этой точке слева. Действительно, пусть е > О задано. Выберем д > О так, что [э (х") — э'(х)] < е/2, как только х — б < х < х". Далее, выберем разбиение а = хо < х! « ' хн = х Гл. 'г Ь Неопределенный анагеграл Ледега При этом мы можем считать, что х' — х„.1 < б (иначе мы добавили бы еще одну точку разбиения, отчего разность, стоящая в (6) слева, могла бы только уменьшиться), поэтому ]7'(х*) — Дх„г)] < е(2 и, следовательно, п-1 Ъа [У] — ~~~ ]7(хь) — 7(хь-1)] < ж Но тогда, тем более, Ъ"; [1] — Ъ;*"-'[7] < е, т.е.
п(х') — п(х„ г) < е. Так как и — монотонно неубывающая функция, то отсюда следует, что п(х') — е(х) < е для всех х таких, что х„ г < х < х'. А это и означает непрерывность функции и в точке х' слева. Если г непрерывна в точке х' справа, то, как показывают аналогичные рассуждения, и и непрерывна в этой точке справа. Следовательно, если 7' непрерыеяа в некотпорой пгочке (или на веем отрезке [а, Ь]), то непрерывна и и. Пусть 7' — произвольная функция на [о, Ь] с ограниченным изменением и е — се полное изменение на [а, х].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
