А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Рассмотрим разность Эта разность представляет собой монотонно неубывакнцую функцию. Действительно, пусть х' < х". Тогда ~р(хп) — ~р(х') = [п(хп) — п(х')] — [д (ха) — д (х')]. (7) Но всегда [дха) — дх')[ < е(х") — в(х') = Ъ;*, [1], поэтому правая, а значит, и левая части равенства (7) неотрица- тельны. Итак, поскольку У=о — д, мы получили следующий результат: Теорема 1. Всякая функция с ограниченным измеггением может быть представлена как разность двух монотонно неубываккпих функций. Обратное утверждение очевидно: всякая функция, представимая в виде разности двух монотонных, имеет ограниченное изменение.
ззв 1 а Функции е агуаниченным «гменением Поэтому совокупность функций. представимых в виде разности монотонных функций, рассмотренная нами еще в предыдущем параграфе, это и есть совокупность функций с ограниченным изменением. Из теоремы 1 и установленной в предыдущем параграфе теоремы Лебега о существовании производной у монотонной функции сразу следует, что всякая функция с играничениым изменением имеегп поищи всюду конечную производную. Перейдя от монотонных функций к функциям с ограниченным изменением, полезно следующим образом обобщить введенное выше понятие функции скачков.
Пусть хы..., х„,... — коночное или счетное множество точек на [а, Ь[. Поставим в соответствие каждой из этих точек х„два числа д„н Ь„так, что ~ ~([д.[+~Ь.[) < Предположим, кролле того, что если х„= а, то д„= О, а если хи ге Ь, то Ь„= О. Положим ф(х) ее С д„+ ~~ ' Ьн, е„<е е„<г Мы будем называть теперь функциями скачков любые функции вида (8).
Полное изменение функции ф(х) равно, очевидно, ~. ([д.[+ [)г-[) и Точками разрыва функции (8) служат те х„, для которых хотя бы одно из чисел д„, Ь„отлично от нуля; при этом ф(х„) — ф(х„— 0) = д„, ф(х„+ 0) — г/г(хн) = Ь„. Теперь легко получается следующее утверждение, обобщающее утверждение 4 п. 1 предыдущего параграфа. Всякая функция 1 с ограниченным изменением, определенная на [а, Ь], может быть прецставлена, и притом единственным образом, в виде 1 = Ф+уу, где уг непрерывна, а гЬ вЂ” функция скачков. Упражнения. 1, Копи т' имеет па (а, Ь) ограниченную производную (т. е.
г '(х) существует всюду н [У'(х)[ < С), то / — функция с ограпячепным изменением, причем !л. Пй Нганредалгнннв нннггграл !!гбега 2. Пусть !(х) = хгйв — при т К'- 0 и /(0) = О. Показать, что изменение 1 функции ! на [О, 1] бесконечно. Постоянные, и только они, представляют собой функции, полное изменение которых равно О. Положим ][й = р.'[~] Величина г;а[1] обладает свойствами 2) и 3) нормы (см.
и. 1 3 3 гл. П), но не свойством 1). Если рассмотреть только функции, удовлетворяющие дополнительному условию у(о) = О, то они также образуют линейное пространство, в котором величина г'а[у] обладает уже всеми свойствами нормы. Пространство 1го[а,6] функций с ограниченным изменением на [п,о), удовлетворяющих условию 1(а) = О, с обычными определениями сложения и умножения на числа и с нормой 1,ь[ (] называется пространством функций с ограниченным изменением. (Докажите полноту этого пространства.) Упражнение.
Докажите, что ][!]] = ]!(а)[+ 1а [Л является пармой в пространстве всех функций с ограниченным изменением на отрезке [а, б] и докажите полноту этого пространства. з 3. Производная неопределенного интеграла Лебега В 3 1 мы показали, что интеграл Лебега / .!'(!) а!! а как функция от х имеет почти всюду конечную производную.
Однако мы пока еще не выяснили, как связана эта производная с подынтегральной функцией. Сейчас мы установим следующий результат, упомянутый в конце з 1. Теорема 1. Для всякой суммируемой функции у' почти всюду имеет место равенство „вЂ” '. /'У(!) «! = У(.). а Доказательство. Положим г 1 3. Праигооднаа неоиределенного июаеграла Покажем вначале, что почти всюду Дх) > Ф'(х). Если д'(х) < Ф'(х), то найдутся такие рациональные числа о и гг, что Дх) <а < р<Ф(х).
(1) Пусть Е„гг — множество тех точек, в которых выполнено неравен- ство (1). Оно измеримо, поскольку ~ и Ф' измеримы. Покажем, что мера каждого из множеств Е а равна нулю. Так как число этих множеств счетно, то отсюда будет следовать, что р(х: д(х) < Ф'(х)) = О. Пусть е > О произвольно и пусть д > О таково, что ~УП1)(1~ <е, как только д(е) < б (такое б существует для любого е в силу абсо- лютной непрерывности интеграла; см. теорему 5 З 5 гл. Ч). Выберем теперь открытое множество С С ~а, Ь) так, что С Э Е,з и р(С) < р(Е а) + Б (см. упражнение в п.
7 З 4 гл. Ч). Если х б Е а, то ФЫ) — Ф(,) > г (2) 5 — х для всех С > х, достаточно близких к х. Записав неравенство (2) в виде Ф(Е) — Я > Ф(х) — Дх, получаем, что точка х — невидимая справа для функции Ф(х) — 11х на любом из составлнющих интервалов множества С. Используя лемму Ф. Рисса, мы можем поэтому указать такое открытое множество Я = 0(аю Ьь), состоящее из непересекающихся интервалов, что ЕдсЯССи Ф(Ьь) — ДЬь > Ф(аг) — 11аы т. е. Ф(Ьг) — Ф(аг) > )3(6ь — аь), или г.
а (г д(1) Ж > ЯЬг — аг). аг Суммируя такие неравенства по всем интервалам (аю Ьг), составляющим Я, получаем У У(1) Ф > (11г(Б). (3) Я ра. П. Иеаяределеанмв интеграл Лебега В то же время /Д~)ей= / Д~)(Н+ / ~(т)Ж< 5 е а Б~~Е а < ор(Е з) + е < од(Я) + е+ )о)д. (4) Сравнивая (3) и (4), получаем о!г(Б) + х + ~о~б > Дю(5), т. е. (е) < е+!оИ и Таким образом, множество Е„я можно заключить в открытое множество сколь угодно малой меры (мы можем считать, например, что )о(6 < е), а это и означает, что р(Е в) = О. Итак, мы показали, что Дх) > Ф'(х) почти всюду. Заменив Дх) на — ~(х), мы таким же путем получим, что почти всюду - т(х) > -Ф'(х), т.
е. У(х) < Ф'(х) и, следователыю, почти всюду з 4, Восстановление функции по ее производной. Абсолютно непрерывные функции Итак, мы решили первый из поставленных в начале этой главы вопросов, установив равенство — / Д1) Ж = г'(х) (почти всюду) для любой суммируемой на (а, Ь) функции г. Рассмотрим теперь второй из сформулированных там вопросов, т. е. выясним, как обобщается на случай интеграла Лебега формула Ньютона — Лейбница г'(х) = г'(а) + / г'~(г) ог, (1) а хорошо известная в случае непрерывно дифференцируемых функций из элементарного анализа. 1 4. Носсюамоелсиос ЬЬрмвчви но сс орооэеодээов 359 Естественно ограничиться рассмотрением функций Ь", заведомо дифференцируемых почти всюду (иначе равенство (1) просто не имеет смысла).
Как мы уже знаем, такими, .в частности, являются функции с ограниченным изменением, С другой стороны, интеграл, стоящий в (1) справа, ость функция с ограниченным изменением. Поэтому равенство (1) не может быть верно для более широкого класса функций. Поскольку всякая функция с ограниченным изменением есть разность двух монотонно неубывающих, то именно монотонные функции и нужно рассмотреть в первую очередь.
Однако для произвольных монотонных функций равенство (1), вообще говоря, не имеет места. Вместе с тем справедлива следующая теорема. Теорема 1. 11роизводная г' монотонно пеубывээощей функция 1 суммируема и ь / 1 (х) эьх < 1(Ь) — 1(а). а Доказательство. По определению, производная функции 1 в точке х есть предел отношения ) /(х+ Ь) — т'(х) (2) при 6 -+ О. Из монотонности 1 вытекает ее суммируемость, а значит, и суммируемость каждой из функций ьоь.
Поэтому равенство (2) можно проинтегрировать. Получаем ь ь ь / шь(х) их = — / у(х + й) аэх — — / ~(х) Йх = а а а ь+ь ьь = 1 )' У(х)(х — 1 1 У(х) а*. ь а Стоящее справа выражение при Ь -+ +О стремится к у(Ь) — )(а + 0). (Докажите!) Поэтому, применив теорему Фату (теорема 8 5 б гл.
т), мы получаем ь ь ~ ('(х) с(х < 1пп /' ьоь(х) дх = /(Ь) — г(а+ О) < Х(Ь) — 1(п) а а (само существование интеграла от ~' также обеспечивается тсоромой Фату). Теорема доказана. ь) Чтобы выражение э'(с + Ь) имело смысл при любом и е (а,Ь], можно считать, что Пх) = ПЬ) при х > Ь и э'(а) = э (а) при л < а. 360 Гл. ЧЬ Неанределеннна инеаеграл Лебега Рис. 21 Нетрудно привести пример монотонной функции, для которой имеет место строгое неравенство / /'(х) дх < /(Ь) — /(а). а Достаточно положить 0 при 0(х<1/2, /(х) = 1 при 1/2<х<1. Интересно, однако, что существуют непрерывные монотонные функции, для которых строгое неравенство / / (г) ен ( /(х) — /(а) а выполнено при всех х > а. Вот один из простейших примеров. Рассмотрим на отрезке [О, 1] канторово множество и определим / свачала на его смежных интервалах, положив /(8) =:„, й = 1, 2, 3,..., 2" 2" на Ь-м смежном интервале и-го ранга (включая и его концы).
(Интервалы нумеруются слева направо.) Следовательно, /(1) = 1/2 цри 1/3 ( 1 < 2/3, /(1) = 1/4 при 1/9 < 1 < 2/9, /(М) = 3/4 п1)и 7/9(1(8/9 и т.д. (рис. 21). Таким образом, / определена на отрезке (О, 1] всюду, кроме точек второго рода канторова множества (т.е. точек, не принадлежащих ни смежным интервалам, ни совокупности их концов). зщ 1 4.
Яоеетоаноаление функции ио ее ироиэлодноа Доопределим теперь 1 в этих оставшихся точках гледуюгаим обра- зом. Пусть г* — одна из таких точек и пують (Мн) — сходящаяся к ней возрастающая последовательность точек первого рода (т.е. концов смежных интервалов). Тогда существует предел 1пп У(гн); (3) аналогично, существует и предел 1пп 1(е~„), (4) если (1'„) — убывающая последовательность точек первого рода, сходящаяся к ь'., причем пределы (3) и (4) равны между собой. При- няв зто общее значение за 1(ь'), мы получим монотонную функ- цию, определенную и непрерывную на всем отрезке [О, 1[, называе- мую «канторовой лестницей».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
