А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(Две функции называются р-эквиввлеитиыми, если опи совпадают почти всюду относительно меры р.) Доказательство. Каждый заряд можно представить как разность двух неотрицательных (см. п. 1), при этом абсолютно непрерывный заряд представляется как разность абсолютно иепрерыввых. Поэтому доказательство теоремы достаточно провести для неотрицательных зарядов, т.е. для мер.
Итак, пусть Ф вЂ” мера, абсолютно непрерывная относительно данной меры р. Докажем следующую лемму. 373 1 3, Икк!кепок Дебееа как фуккч!ек мкеежегтка Лемма. Пусть мерв Ф абсолютно непрерывна относительно р и не равна нулю тождественно. Тогда сушествуют гакос и и такое измеримое множесзво В, что р(В) > 0 и В положительно ло отношению к заряду Ф вЂ” -„р. 1 Доказательство леммы.
Пусть Х =" А„'0А~ — разложение Хана, отвечающее заряду Ф вЂ” и— р (и = 1,2,...) и пусть 1 А~т = О А'„. к=! А = и А„, к=! Тогда Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Пусть К вЂ” множество функций у на Х, обладаюнцех следующими свойствами: г неотрицательны, интегрнруемы по р и ( т(х)е7р < А < Ф(А) для всякого измеримого А. Пусть М = зцр( / т(х) а!р по всем у е К).
х Возьмем последовательность функций ( ! ) из К такую, что 1пп / у„(х) е1р = Ы. Положим д„(х) = шах(у7(х) ......, („(х)). Покажем, что д„б К, т. е. что для всякого измеримого Е У д„(х) г1р < Ф(Е). Е Действительно, Е можно представить в виде () Еь, где Еь не пере!с= ! секаются и д„(х) = гг(х) на Еь; поэтому ~ д (х)е1!! = ~~ ~ Ых)е77! <ЯФ(Е ) = Ф(Е). и ь=-! и!. ь — — ! Положим т'(т) = зцр( )к(х) ) . Ф(.4л ) < 1р(Ао) при всех и, т. е. Ф(Ал ) = О и, следовательно, Ф(Ал+) > О, а значит, и р(Ал ) > О (в силу абсолютной непрерывности Ф по р). Поэтому найдется такое и, что р(А~') > О.
Это и и множество В = А+ удовлетворяют условиям леммы. 374 Гл. Рп Неепределенннв иннгегрел Дедега Ясно, что при атом 7(х) = 1пп у„(х) и, следовательно, по теореме и-г ое Б, Леви, (е 7(х)г174 = 1пп ~ у (х)е174= М. х Х Покажем теперь, что Ф(Е) — / Дх) г(7г = О. и По построению, функция множества Л(Е) = Ф(Е) — / У(х) е1и и неотрицательна и обладает всеми свойствами меры. Кроме того, опа абсолютно непрерывна относительно 74. Если Л Н О, то в силу леммы найдутся такое е > О и такое В, д(В) > О, что ц (Е71 В) < Л(ЕР1В) для любого измеримого Е.
Тогда, положив (г(х) = У(х) + еЛв(х), где 7ев — индикатор множества В, мы получили бы для любого измеримого Е / 14(х) е174 = /' 7'(х) е14г+ер(Е ~В) ( ~ 7'(х) е)р ЬФ(ЕПВ) ~ Ф(Е). и и н1В Это означало бы, что функция и принадлежит определенному выше множеству К. Но в то же время ~ Ь(х) е)74 = / ~(х) е1д+ е74(В) > М, х х а это противоречит определению М. Итак, существование такой функции 7', что Ф(А) = / Дх)074, л доказано. Покажем ее единственность. Если для всех А е го Ф(А) ел /' 1,(х) 474 = / Ых)е7д. л л то при любом и для ъшожеств А„= (х: ~з(х) — ~г(х) > 1/гг) имеем 74(Ап) ~( п / Цг(х) — /2(х))71д = О.
я Аналогично, для В = (х: ~г(х) — тз(х) > 1(тп) имеем д(В ) =О. 375 1 а, Ннюеер«л Сеиилтпьееа Так как Л(х) Ф Ь(х)) = ([.) Аи) О ((.) Вел), то д(х: 11 (х) Ф 12(х)) = О, т.е. 11(х) = 1з(х) почти всюду. Доказательство закончено. Замечание. Теорема Радона — Никодима представляет собой, очевидно, естественное обобщение теоремы Лебега о том, что абсолютно непрерывная функция есть интеграл от своей производной. Однако в то время как при рассмотрении функций на прямой у нас есть эффективный способ нахождения производной — вычисление предела отношения Ь 1 к Ьх, теорема Радона — Никодима лишь устанавливает существование производной е1Ф/г1р абсолютно непрерывного заряда Ф по мере д, но не дает способа для ее вычиг.пения. Такой способ можно указать, но мы не будем на этом останавливаться.
В общих чертах он состоит в вычислении предела отнопнь ния Ф(А)/р(А) по некоторой системе множеств, «стягивающихся» в определенном смысле к данной точке. Детально эти вопросы рассмотрены, например, в [53). Ь' 6. Интеграл Стилтьеса 1. Меры Стилтьеса. В З 1 предыдущей главы, говорилось о построении меры Лебега на прямой, мы уже упоминали о следующей конструкции. Пусть на некотором отрезке [а, Ь) задана монотонно неубывающая функция Е, которую мы для определенности будем считать непрерывной слева.
Определив меры всех отрезков, интервалов и полуинтсрналов, принадлежащих основному отрезку [а, Ь,:, равенствами (а, ее)) = ГР) — Ь'(а+ 0), го[а, р] = Р(~3+ О) — Е(а), т(а, г1) = г (13 + О) — г (а + О), т[а, 13) = Р(11) — Г(а), мы можем затем распространить эту меру с помощью лебеговой процедуры продолжения меры на некоторую а-алгебру а», содержащую все открытые и все замкнутые (а значит, и все борелевские) подмножества отрезка [а, Ь[. Меру и», полученную с помощью такого построения, называют мерой Лебега — Снеилтьеса, отвечэюпюй 376 Рл. Ъ'Ь Неопределеннми ннщегрол Лебегв функции 1г, а саму функцию Р называют производящей функцией этой меры').
Рассмотрим некоторые частные случаи мер Лебега-Стилтьега. 1. Пусть Р -- функция скачков, хы хт,... — - ее точки разрыва, а Ьы )гт,.... величины ее скачков в этих точках. Тогда мера рр, отвечающая этой функции, устроена следующим образом: все подмножества отрезка [а, Ь) измеримы и мера множества А равна рр(А) = ~~ 6;. (2) Действительно, из определения меры Лебега-Стилтьеса сразу же видно, что мера каждой точки х; равна йо а мера дополнения множества (х,)~, равна нулю. Равенство (2) для любого А С [а, 6] вытекает отсюда в силу о-агтдитивности меры рр.
Мера рр, построенная по какой-либо функции скачков, называется дискрещной мерой. 2. Пусть 1г — абсолютно непрерывная неубывщощаи функция на [а, Ь) и у = гт — - ее производная. Тогда соответствующая мера рр заведомо определена на всех измеримых по Лебегу подмножествах отрезков [а, 6), причем для каждого такого множества А рр(А) = ) У(х)с)х. А (3) Действительно, в силу теоремы Лебега для каждого полуинтервала )ге[а,))) = г'(о) — 6 (о) = / /(х)сгх. г] Кслн монотонно неубывающая функция р не непрерывна с чева, то по иея тоже можно определить меру, внеся в формулы [1) очевидные изменения, например, надо положить пг[а о) = Р [д+ 0) — с[о — О) и т д.
Поскольку лебегово продолжение всякой о-адаптивной меры однозначно определяется своими значениями на исходном полукольце, отсюда следует равенство (3) для всех измеримых по Лебегу А С [а,6). Мера др, отвечающая абсолютно непрерывной функции Р, называется абсолютно непрерывной мерой. 3.
Если 6' сингулярная непрерывная функция, то отвечающая ей мера )гр целиком сосредоточена на том множестве лебеговой мс ры нуль, на котором гт отлична от нуля или не существует. Сама мера рр называется прп этом сингулярной мерой, Ясно, что если Г = Г~ + Ет, то рр = )грг +)грг: поэтому из раз ложимости монотонной функции в сумму функции скачков, абсолютно непрерывной и сингулярной компонент следует, что всякую 1 6.
Итатпаг ц>аимььгса 377 Г(оо) — Г( — оо), г'(со) = 1>п> г'(х), г'( — оо) = !нп гс(х) где (существование пределов следует из монотонности и ограниченности 1г). Понятие меры Лебега-Стилтьеса на салим деле исчерпывает все меры (т.е. все конечные а-адаптивные неотрицательные функции множеств) на прямой. Действительно, пусть р - любая из таких ме . Положив р Р(х) = 7>( — со,х), мы получим монотонную функцию, такую, что отвечающая ей мера Лебега-Стилтьеса совпадает с исходной мерой 7>. Таким образом, термин амеры Лебега Стилтьеса» ца самом деле не выделяет какого-либо спсциалыюго класса мер на примой, а указывает лишь на определенный способ построения таких мер — по заданной производящей функции.
2. Интеграл Лебега — Стилтьеса. Пусть 7>к -- мера на отрезке (а,!>), порожденная монотонной функцией Г. Для этой меры обычным образом определяется класс суммируемых функций н вводится понятие интеграла Лебега Такой интеграл, взятый по мере рк, отвечающей функции Р, называется ин>негр«лом Лгбега-Стол>пьеса и обозначается символом Ь / 7"(х) с!Р(х).
меру Лгбгга С>пилтьеса моаюно представип>ь е виде суммы с7искретной, абсолютна непргрььеной и сингулярной казспонент. Разложение монотонной й>ункции на три составляющие определяется с точностью до постоянных слагаемых. Поэтому разложение каждой меры Лебега — Стилтьеса на дискретную, абсолютно непрерывную и сингулярную компоненты о д н о з н а ч н о. Сказанное выше относится к мерам Лебега-Стилтьеса на отрезке.
Если теперь г'-. ограниченная (сверху и снизу) монотонно неубывающая функция па всей прямой, то, определив меру любого отрезка, интервала и полуинтервала на прямой с помощью Ч>армуд, аналогичных (1), ксы получим коночную меру на всей прямой, которую мы тоже будем называть мерой Лгбега С>пилтьеса. В частности, мера всей прямой при этом будет равна дл. ра Иеаияеделеннъга интеграл Лебега Рассмотрим некоторые частные случаи. Е Если à — функция скачков (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
