А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Сходимость последовательности суммируемых функций в смысле этого расстояния называют сходнмосптью в среднем. Пространство Ь| можно считать состоящим из комплексных функций (комплексгюе Ь1) или из одних только действительных (действительное Ь~ ). Содержание данного параграфа относится к обоим этим случаям. Весьма важен для многих вопросов анализа следующий факт. Теорема 1.
Прострапство Ег полно. Доказательство. Пусть (уя) — — фундаментальная последовательность в Ьы т. е. ((~„— у 'й' -+ О при п,пт -+ оо. Тогда можно найти такую возрастающую последовательность индексов (пу), что йупь У ь+ й = ~(1нь(к) — Ун,„,(к))дд < 112". Из этого неравенства и теоремы Б. Леви вытекает, что ряд !Х,! + !У, — У,! + " 1) Точнее: каждый элемент в Гл — это класс эквивалентных между собой суммируемых функпий; чтобы сложить два таких класса, нада «зять в них по представится~о и объявить суммой класс, содержащий сумму выбранных представителей.
Ясно, что результат ве зависит от произвола в выборе представнтевей. Аналогично — и для умножения элемента из ьг на число. ~ Ь Ргрвснвмрвтов Ь1 сходится почти всюду на Х. Но тогда и ряд У,+Ум — У )+ . сходится почти всюду на Х к некоторой функции У( ) =,1' У..( ). Таким образом, фундаментальная последовательность в Ь1 содержит подпоследовательностгч сходящуюся почти всюду. Покажем теперь, что подпоследовательность ((я, ) сходится к той же функции Г" и и среднем. В силу фундаментальности последовательности Д,) при любом фвксировапном е > О для всех достаточно больших й и ( имеем 1~Х .(х) — У,(*)!дд < .
Согласно теореме Фату в атом неравенстве можно перейти к пределу под знаком интеграла при ( — > оэ. Получаем ~ !~„„(х) — т(х)!дд < е, откуда следует, что т' Е Л1 и что ~ь„— > г. Но нз того, что фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу, следует, что и сама она сходится к гому же пределу. Теорема доказана. 2. Всюду плотные множества в Ьы Для всякой функции т, суммируемой на Х, и любого е > О существует такая простая суммируемая функция <р(х), что / (~(х) — д(х) ) Йр < е.
Далее, поскольку для простой суммируемой функцнв, принимающей значения уы уз,... на множествах Ем Е~,..., интеграл определяется как с мма ряда У у„р(е„) и=1 (при условии его абсолютной сходимости), ясно, что всякую простую суммируемую функцию можно представить как предел (в среднем) последовательности простых функций, принимающих лишь конечное число значений.
Итак, в првсщрансгпве Ь1 всюду плвп1нм гл. и11. Пространства суммирусмнг функций ззв функции, каждая из которых принимает лишь конечное число значени41 (т. е. представ.чяет собой конечную линейную комбинацию индикаторов). Пусть Л вЂ” метрическое пространство с введенной в нем мерой, удовлетворяющей такому условию (выполненному для меры Лебега в евклидовом пространстве и во многих других практически интересных случаях): асе откреппые и все замкнугпые множества в Л измеримы, и для любого измеримого мнозюества М С Л и любого г ) О найдется1) гпакое открытое С Э М, что (2) р(С'1 М) < г.
Тогда верна следующая теорема. Теорема 2. Множество всех непрерывных функций всюду плотно в Е1(Л, р). Доказательство. В силу сказанного выше достаточно доказать, что всякая простая функция, принимающая конечное число значений, является пределом, в смысле сходимости в среднем, последовательности непрерывных функций. Далее, так как всякая суммируемая простая функция, принимающая конечное число значений, есть линейная комбинация индикаторов Хм(х) измеримых множеств конечной меры, то достаточно провести доказательство для этих последних. Пусть М -- измеримое множество в метрическом пространстве Л и р(М) < оо. Тогда из условия (2) сразу следует, что для любого г > О найдутся замкнутое множество гм и открытое множество См такие, что Ем С М С См и р(См) — р(Рм) < г. Определим теперь функцшо дс(х), положив ) р(х, Я ~ См) 'Р ( ) о р(.,Л~См)+,(.,Рм) Эта функция равна О при х е Л 1 См и равна 1 при х ч Гм.
Она непрерывна, так как каждая из функц1лй р(х, Рм) и р(х, Л '1 См) непрерывна и их сумма нигде не обращается в О. Функция ) 1гм — сов) не превосходит 1 на См 1 Рм и равна О вне этого множества. Следовательно, / 1хм(х) — ~р,(х)) ар < г, откуда и вытекает утверждение теоремы. 1) Ср. упражнение в и. 7, 1 4, гл. Ч.
г) р(х, А) означает от точки з до множества А. 1 К 1?роотраньтоо 11 Ясно, что пространство Еь(Х, р) зависит н От выбора пространства Х, и от выбора меры р в нем. Например, если мера д сосредоточена в конечном числе точек, то 1,1(Х,д) будет просто конечномерным просгранством. В анализе основную роль игрщот пространства ьь бесконечной размерности, но содержащие счетное всюду плотное подмножество. Для того чтобы охарактеризовать такие пространства Хь, введем еще одно понятие., относящееся, собственно, к общей теории меры. Определение 2. Мера р называется мерок со счспгным 6азисом, если существует такая счетная система А = (А„) (и = 1, 2,...
) измеримых подмножеств пространства Х (счетный базис меры р), чтО длЯ ВсЯкОГО нзььсрньього М С Х н всЯкоГО с ) О найдь'.ТсЯ такое Аь Е А, что ьь(М ьь Аь) С с. А;,...,А„',... (3) есть счетный базис меры 11. Легко видеть, что, распщряя систему множеств (3), можно образовать новый счетный базис этой меры Аь,..., А„,..., (4) замкнутый по отношению к операциям вычитания и взятия конечных сумм и пересечений, т.е. являющийся кольцом.
Теорема 3. Если мера д пмеет счетный базис, то в ЬГ(Х,д) существует счетное всюду плотное множество фуьькций. Доказательство. Покажем, что счетное всюду плотное множество в ьь(Х, ьь) образуют конечные суммы о сьуь(я), в=1 (3) В частности, мера р имеет счетный базис, если ее можно представить как лебегово продолжение меры пь, определенной на некотором счетном полукольцо б. В самом деле, в этом случае кольцо Я(Я) (очевидно, счетное) и представляет собой искомый базис. Отсюда видно, например„что счетный базис имеет мера Лебсга на отрезке, поскольку для нее за исходное полукольцо можно принять совокупность полуинтервалов с рациональными концами.
Произведение р = ьы ьВ рз двух мер со счетными базисами также обладает счетным базисом, ибо конечные суммы произведений элементов из базиса меры ььь на элементы из базиса меры 1ьз образуют, как легко проверить, базис меры 1ь = ГЫ З рз. Поэтому мера Лебега на плоскости (а также и в и-мерном пространстве) имеет счетный базис. П сть !И. л'!!, гтросп)рвистаи суммиррвмих функций где сл рациональные числа, а ул -- индикаторы злементов счетного базиса моры р. Счетность такого множества очевидна; покажем, что оно вски ду плотно в Е!(Х, р). Квк мы уже показали, множество ступенчатых функций, принимающих лишь конечное число значений, всюду плотно в Х ы Так как любую такую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать функцией того жс вида, но принимающей лишь рациональные значения, достаточно показать, что любую ступенчатую функцию у, принимаю!пую значения уы..,,у„(все у! рациональны) на множествах Еы, Е„ таких что ()Е,=Х, Е!ПЕ,=О при !Ф!'. можно сколь угодно точно аппроксимировать в смысле метрики Ь! функциями вида (5).
Согласно сделанному замечанию можно без ограничения общности предполагать, что базис меры р является кольцом. По определению счетного базиса меры р, при любом е ) 0 в нем существуют такие множества Аы..., А„, что р(Ей и Ал) < ш Положим А'ь = Ал ~ О А;, !г = 1,...., и, !<л и определим !', положив ул при хбАл, У(') = П ~ 0 при к е т! ~ () А';. Легко видеть, что при достаточно малом е мера р(к:,((к) Ф ~*(х)) сколь угодно мала и, следовательно, интеграл / /Дк) — ~'(к)/с(р < (2шах$ул))р(к: !(к) ф ! "(х)) сколь угодно мал при достаточно малом е.
В силу сделанных нами предположений относительно базиса меры р, функция !" есть функция вида (5). Теорема доказана. ззч 1 2. Нросюпр«нот«о /з Для того частного случая, когда Х есть отрезок числовой прямой, а р — мера Лебега, счетное всюду плотное множество в Ьс можно получить и проще, например, взяв множество всех много- членов с рациональными коэффициентами. Опо всюду плотно (даже в смысле равномерной сходимости) в множестве непрерывных функций, а эти последние образуют вск9ду плотное множество в Ь1(Х, р).
9 2. Пространство Ьз 1. Определение н основные свойства. Пространств Ь~ представляет собой, как мы видели, полное нормированное (т.е. банахово) линейное пространство. Однако оно не является евклидовым: определенную в нем норму нельзя задать с помощью какого-либо скалярного произведения. Это вытекает из «теоремы о параллелограмме», установленной в п. 8 9 4 гл. 1П, Например, для интегрируемых на отрезке [О, 2к) функций г': — 1, д = зш х соотношение [[у + д1['+ !! у — д[[з = гяП'+ [[д[[т) в Ес не выполняется. Функциональное пространство, не только нормирсп1анное, но и евклидова, можно построить, взяв совокупность функций с интегрируемым квадратом.
Введем соответствующие определения. Вудем сперва рассматривать действительные функции у, определенные на некотором пространстве Л, с заданной на нем мерой р. Все функции предполагаются измеримыми и определеннымя на Л почти всюду. Эквивалентные между собой функции нс различаются. Определение 1. Функция 1' называется функцией с интегрируемым квадратом иа Х, если интеграл ~ Уз(х) др существует (конечен). Совокупность всех таких функций мы обо- значим Ьз(Х,д) или, короче, Ьз. Установим основные свойства функций с интегрируемым квадратом. 1. Произведение двух 4ункций с интегрируемьсм квадратом есть интегрируемая функция. Это непосредственно вытекает из неравенства [)(х)д(х)[ ~( -[~ (х) + д (х)[ и свойств интеграла Лебега. 4ОО г'л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
