А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Покажем, что каждая вз двух систем (2) и (3) ортогональна и полна па отрезке [Ог гг]. Ортогонвльность проверяется прямым подсчетом. Докажем полноту системы (2). Пусть у — функция с иптогрируемым квадратом на [О, т]. Доопредслим ее на полуиптервале [- г, 0) формулой У(-х) = У(х) и разложим ее в ряд Фурье по системе 1, совах, в1пггхг п = 1,2,... Поскольку функция 1, определенная теперь на [ — т, тг], — четная, все коэг[гфициснты при синусах равны у нее нулю.
Это сразу видно из формулы для коэффициентов: л,ля четной функция у при п > 1 г о а / .((х)вйгпхг1х = (г у'(х)в1ппхдх+ / ((х)вшпхЫх = х а = — /,((х) вшпхг1х+ )' У(х)вшпхНх = О. о о рл. Ген. Лрастранстаа суммируемнх функигг41 412 Иначе говоря, эту функцию на [-я, з] (а тем более и на [О, гг]) можно агшроксимировать в среднем квадрати гном с любой точностью линейными комбинациями элементов системы (2). Отсюда следует полнота системы (2). Полнота системы (3) на [О,я] доказывается аналогично, путем нечетного продолжения функции 2, заданной на [О, я] на полуинтерввл [ — гг, 0) по формуле Д вЂ” х) = — Дх).
Полученная при таком продолжении функция на [ — гг,гг] нечетна и разлагается на этом отрезке по одним синусам. 3. Ряд Фурье в комплексной форме. Тргггоггометрический ряд можно записать компактно, если воспользоваться формулами Эйлера яппх =— 2е '"* + созпх = е и 2 Внося эти выражения в ряд Фурье, получим а" + ~~~ аисозпх+ Ь„Яппх = аа + ~~ (а е'"" + е и.- .1 а гЬп егге + ~ ап + ГЬп -гпе % ' иС,еие е = л сие ас 2 пи1 п=1 где со = оо/2 и при и > 1 аи — еЬ„ Си сс -В-пс — ", а +гЬ„ с „= Выражение еис Е '.' 1' 0 при пфтп, / '"' ' ' 21г при п = пь называется тпригонометрггчесьим рядом Фурье е комп,лексной форме.
Коэффициенты сп этого ряда выражаются через ап и Ьп с помогцью равенств (4)1 :однако легко написать для них и прямые формулы, Действительно, как показывает непосредственное вычисление, 413 1 3. Орпюгональнме свспкмм функций е Ьт Поэтому, умножая равенство (5) дх) = 2 х„е!па на е ""' (пз = О, х1, х2,...) и интегрируя, получаем )',!'(х)е '"" дх = 2нс т. е. к сщ = 2 /,Г(х)» ' 'ггх, гп =О, ~1,*2,... (6) — п Разложение (5) остается в силе и для комплексных функций с интегрируемым квадратом на отрезке [ — гг, и].
Иначе говоря, функции е!™ образуют базис в пространстве 72[-л,х[ кока!лексных функций с интегрируемым квадратом модуля на отрезке [ — гг,я). При этом выражения (6) представлягот собой скалярные произведения Г на г"" в этом комплексном пространстве. Заменив функции е!"* на е! г *, можно перенести все сказанное па пространство Ет[-1, 1[ комплексных функций на отрезке произвольной длины 2!. 4. Многочлены Лежандра. Линейные комбинации функций 1, х, х ,... — зто совокупность всех многочленов. Следовательно, система (7) полна в пространстве Х2 функций на произвольном отрезке' ), Ортогонализируя систему (7) на отрезке [-1, 1) по отношению к скалярному произведению (Ла) = (' .((х)р(х) ! -1 мы получим полную ортогопальну1о систему с40(Т) з сг! (Х) > сь'2(Х) ~ ° где сх' — многочлен и-й степени.
Покажем, что каждый из многочленов Яп(х) совпадает, с точностью до постоянного множителя, С МНОГОЧЛЕНОЛ1 г1 (Х) «" (,2 1) !) Полнота системы многочлевов в пространстве дг(ооу) функций с интегрируемым квадратом на произвольном отрезке (а.ь) вытекает из теоремы Вейерштрасса о равнолгерноуг аппроксимации любой непрерывной функции на отрезке многочленами. Пм.
п. 2 1 2 гл. Ц1П, 14 †13 414 Гл. И!. Простраксткеа сумынрукмык функция В самом деле, во-первых, система (Л„) ортогонвльна. Пусть н ~~ на. Так как 4 Х(Х2 1)л~ И (Х2 1)я~ О при всех !с = О, 1,..., н — 1, то, интегрируя по честям, получаем 1 ~ Л (х)Л„(х)й: = -1 эт+! ! 4л-! -1 " =(- )" / ~".,„(хз — )"~( ' — )", (й) — ! Если гп < н, то под знаком последнего интеграла стоит тождественный нуль, откуда следует ортогонзльность системы (Л„). Во-вторых, ясно, что многочлен Л имеет степень н, т.
е. каждый Л„лежит в подпространстве, порожденном н+ 1 первыми элементами системы (7). Таким образом, как система (Л„), так и система Я„) обладают следующими свойствами: 1) ортогональность, 2) н-й элемент системы принадлежит подпространству, порожденному элементами 1, х„..., х" Но этими двумя свойствами каждый элемент системы определяется однозначно с точностью до числового множителя (теорема 1 з 4 гл. П1). Найдем теперь нормпрующие множители для Ла(х). В случае и = пт равенство (8) дает!) 1 у Лз()! ( 1)л у ~Н" (2 1)л~(2 -1 — 1 2 л т (к!)~2"+' т(2 )) ~ (1- ')"~ = ";„ — 1 Иначе говоря, норма многочлена Л„равна и!2" 1~~~+ .
Таким образом, система многочленов не только ортогонвльна, но и нормирована. 1)Последнии интеграл можно вычиСлить элементарна, применяя рекурреитные формулы, или же путем сведвния его к В-функции. 1 3. Оргсогоисгьнмс сисгссгги фкигчиа с Аг Обычно рассматриваются не вти нормированные мнслочлеяы, а многочлены, определяемые формулой Их называют миогочаенами Леэсандра, в саму зту формулу — фор- мулой Родрига. Из проведенных выкладок следует, что 1 1 0 при и ф гп, / Р„(х)Р,„(х) сгх = -1 2п+ 1 Приведем явные выражения пяти первых многочленов Лежандра: Ре(х) = 1, Р1(:г) = х, Рг(х) = нх 3 г 1 Рз(х) = 2 х — %у 5 з 3 Р4(х) х х + 33 г 15 г 3 8 4 В' Разложение функции Х на отрезке ( — 1, 1] по многочленам Лежан- дра имеет вид Дх) = ~~~ с„Р„(х), с=в где 1 2 +1 -1 Ь.
Ортогональные системы в произведениях. Кратные ряды Фурье. Пусть на множествах Х' и Хп определены меры р' и р". Соответствуклцие пространства функций с интегрируемым квадратом будем обозначать Ц и Ьгг. В произведении Х=Х'хХ" рассмотрим меру р=р ег1г и обозначим через Хг отвечакнцее ей пространство функций с интегрируемым квадратом. Функции из Х г будем записывать как функции двух переменных. Теорема 1.
Если (у„,) и (гр„) — полные ортонормальные системы соответственно в Ц и в Х г, то систегга всех произведений Х „(хьу) = д (х)13„(у) есть полная ортонормвльная система в Х г. !И. И!. !!раетрапетаа еуммируеммк фуикипя Доказательство. В силу теоремы Фубини (замечание) ~ /' и(, у) г!!! = ~ у! (и)( ~ еУ„(у)е!!е")Ы = Е х х Х" Если ги ф тп!, то в силу той же теоремы ~ („т(х,у)~,„,еп(х, у) и!е = Х !Г е)!п(у)е)!т (у) ( !! й (х)!р (х) е!!! )е!!! О Хп х поскольку функция утп(х, у)у „„(х, у) двух переменнык суммируема па Х = Х' х Х". Если еп = т!, яо п ф и!, то ~ Утп(х, у) Ут, п1 (х1 у) !!!е = / ущ (х) ( / !Уп ЬЫ!и, (у) «Р ) 4! = О.
х Х' Хп Докажем полноту системы (у и). Допустим, что в Ьт существует функция ~, ортогональная ко всем функциям ~ „. Положим Е (у) = )' 1(х у) р (х) М . х Легко видетьп что функция Ет(у) имеет интегрируемый квадрат. Поэтому гт(у)4п(у) при любом и интегрируема. Снова используя теорему Фубини, полу чаем )' Ет(у) У.(у)щп= )' У(х,у)!„,„(х,у)М,=О. Хп х В силу полноты системы (!р„) отсюда вытекает, что для почти всех у Г (у) ее О.
Но тогда при почти каждом у имеют место равенства / ((х,у)рт(х) е!!е = О х для всех пп В гллу полноты системы (~р„,) отсюда получается, что при почти каждом у множество тех х, где г(х,у) ф О, имеет меру нуль. В силу теоремы Фубини это означает, что на Х функция !(х, у) равна О почти всюду. Применим эту теорему к некоторым конкретным ортогональным системам. В пространстве функций двух переменных !(х,у), -л < х,у < л, 1 3.
Орпгагвнвппные сисгпемы функций в бг с интегрируемым квадратом полную ортогональную систему обра- зуют попарные произведения элементов систем: 1, сов гих, сйп тх, 1, сов ну, вгцну, т=1,2,..., и=1,2,..., т.е. функции 1, сов тх, в1п тх, сов ну, гйп иу, гав тх вт иу, сов тх сов иу, в1п тх в! и иу, вгп тх сов иу.
Соответствующий ряд Фурье выглядит несколько громоздко, поэтому здесь удобнее пользоваться показательными функциями ппх гпу гйгпх.~-пу1 г ) Этому базису отвечает ряд Фурье у(х у) = 'у г пегй *'""'. пг,п= — вс где сгпп гх — ~ ) 1'(х, У)е й """ ггхпУ. 4ге~ Многочлены Лежандра дают в пространстве функций, определенных на квадрате -1<х,у<1, дхы...,хв) = ~~г сп, пгсгйпг г+'"~ и'*'1 пг,.пг= — сс где с = 1 Г ... Г /(х,...,х )с йп' '+" +и"*1г4х . Их . (2гг)" ч... ы — л — л 6.
Многочлены, ортогональные относительно данного веса. Мы пришли к многочленам Лежандра, ортогонализируя функции (з) полную ортонормальную систему, состоящую из многочленов с ( ~=ее"'"сг'" — г'- г — 'г'- г Все сказанное очевидным образом переносится на функции нескольких переменных.
В частности, тригонометрический ряд Фурье для функции й переменных имеет вид взв дм р!!, Преетренетеа еуммируемнк функций относительно скалярного произведения / /(х)д(х)е!х, -1 отвечающего обычной мере Лебега на отрезке ( — 1, Ц. Если на зтом отрезке задать какую-либо иную меру !е такую, что функции (9) в соответствующем пространстве Ьз со скалярным произведением 1 / /(х)д(х) Ид линейно независимы, то, применив к (9) процесс ор— ! тогонализации,мы придем к некоторой системе многочленов (Ян), зависящей, вообще говоря, от выбора меры р. Предположим, что мера д определена для измеримых по Лебегу подмножеств сегмента ( — 1, Ц формулой р(Е) = ~ д(х)бх (10) Е где д — фиксированная неотрицательная суммируемая функция. Условие ортонормальности (1 при гп=п, (ее!т ~ ее!и) — ~ 0 при пе ф и в атом случае записывается в виде 1 Г1 при ттп, / Ят(х)б/и(х)д(х) Г1х (11) 0 при тфп.
Функция д, определяющая меру (10), носит название веса или весовой функции. Таким образом, про многочлены, удовлетворяющие условии (11), говорят, что онн орепогональнм с весом д. Выбор того или иного веса приводит к различным системам многочленов. В частности, положив д(х) = 1/~/~ — хз Т„(х) = совпагссовх, и = 1,2, и играют важную роль в различных интерполяционных задачах. Ортогональность зтнх многочленов относительно веса 1/Я вЂ” хв легко проверяется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
