А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 78
Текст из файла (страница 78)
у11. Драсасранства суммврусмнх фунвчва Следствие. Всякая функция 1 с ннтсхрируемым квааратом на нространстве с конечной мерой ннтегрируема. В самом деле, достагочно, положив д(х) .=.: 1, воспользоваться свойством 1. 2. Сумма двух функций иэ Ег такэссс принадлеэссит Ег. Действительно, ( 1(х) + д(х))г < Рг(х) + 2~((х)д(х)~ + д (х). в силу свойства 1 каждая нз трех функций, стоящих справа, инте- грируема. 3. Если г' й Аг и о — произвольное число, то ог' е Ег, Действительно, если 1 б Ьг. то /(о1(х))гг11г = о ( 1 (х) Йр < со.
Свойства 2 и 3 означают, что лннейныс комбинации функций нз Ьг снова принадлежат 1 г, прп этом, очевидно, сложение функций из Ьг и умножение их на числа удовлетворяют всем условиям, .перечисленным в определении линейного пространства (3 1 гл. 1Н). Таким образом, совокуггиость 1г функций с интегрирусмъсм, квадратом есть линейное пространство. Определим теперь в Ьг сканярное произведоние, положив (1,д) = /1(х)д(х) Нр. Ясно, что все требования, входящие в определение скалярного произведения (см. 3 4 гл. 1П), а именно: 1) (Лд) =(д,У), 2) (Л + 1г,д) = Уыд) + (Ь,д) 3) (о1, д) = о(1, д), 4) (1, 1) ) О, если 1 ф О, при этом выполнены.
В частности, выполнение условия 4) обеспечи- вается тем, что мы условились не различагь эквивалентные между собой функции (за нулевой элемент, таким образом, принимается совокупность всех функций па Х, эквивалентных 1 = О). Итак, введя для функций с интегрируемым квадратом операции сложения и умножения на число, а также скалярное произведение, мы приходим к следующему окончательному определению. 1 и Лроспщ«пспмо Ье Определение 2. Ьвклидовым просщрансгпеом Х.» называется линейное пространство, состоящее из классов эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом, в котором скалярное произведение определено формулой (у,д) = /1(х)д(х) Ир. В Ьз, как и во всяком евклидовом пространстве, выполнены нс равенство Коши-Буняковского и неравенство треутольпнка, которые в данном случае имеют вид 2 (/1(х)д(х) д1т) < /ут(х) др/дз(х) Йд., В частности, при ц(Х) < со и д(х) = 1 неравенство Коши-Буняков- ского превращается в следующую полезную оценку: (/ Йх) др) < р(Х) / Е'(х) А Норма в Ьт определяется формулой а рагстояние между элементами у и д — — формулой Величину /(У(х) — д(х)) др = ()У вЂ” д)) называют также средним кввддатичнмм уклонением функций т' и д друг от друга.
Сходимость функциональной последовательности в смысле метрики пространства Ьт называется сходимосгпью в среднем квадращичном. Если нет опасности спутать эту сходимость со сходимостью и Ьы определенной в предыдущем параграфе, мы и здесь будем пользоваться более коротким термином «сходимость в среднем». 402 !ги УП. Проитраистпви суммируимих функций Теорема 1, Пространство Хг(Х,14) пря д(Л) < оо полно. Доказательство. Пусть (Ц„) - — фундал1ентальная последовательность в 1 г, т. е. [[1„— ~ [[ -+ 0 при п,п1 -+ оо. Тогда в силу оценки (1) получаем 1/г ([(и(х) — гм(х)[014 < [14(Х)) 1 (/(~и(Х) — ги(х)) 014~ < т.е.
последовательность (1„) фундаментальна и в метрике пространства Ьь Повторяя рассуждения, которыо были проведены при доказательстве полноты пространства Ьы выберем из Ц„) подпоследоватепьность (1„,), сходящуюся почти всюду к некоторой функции 1. В неравенстве /(~„,(х) — 1„,) 4114 < е, справедливом для членов этой подпоследовательности при всех достаточно больших й и 1, можно, используя теорему Фату, перейти к пределу при 1 -+ оо. Получим )'(1„„(х) — 1(х)) 014 < е, откуда следует, что 1 Е Ьг и что у„„-г у. Для завершения доказательства остается, как и в теореме 1 ~ 1, воспользоваться тем, что если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся, то н сама она сходится к тому же пределу. 2.
Случай бесконечной меры. Мы рассматривали только что функции с интегрируемым квадратом, определенные на некотором пространствеХ конечной меры. При этом условие р(Х) < оо использовалось довольно существенно. Именно, сначала мы прибегли к нему, доказывая, что всякая функция с суммнруемым квадратом суммируема и в первой степени, а затем — при выводе неравенства (2), на которое опиралось доказательство полноты пространства Ьг. Если рассматривать функции на множестве бесконечной меры (например, на всей прямой с лебеговой мерой на ней), то не всякая функция нз Ьг будет содержаться в 11.
Например, функция 1/з/Г+ хг не интегрируема на всей прямой, а ее квадрат интегрируем. Далее, в случае р(Х) < оо имеет место неравенство (1), .означающее, что из сходимости последовательности функций в Ьг следует 'з 2. Дроспзронсп1ео 1,т их сходимость а Ь1. При р(Х) = оо это тоже неверно: например, последовательность функций на прямой 1/и при [х[ < и, ~»(х) = О при [х[ > и сходится к О в пространстве Ез(-со,оо) функций с суммируемым квадратом на прямой, но не сходится ни к какому пределу а ь1( — оо,оо). Однако теорема о полноте пространства ьт остается справедливой и при р(Х) = со 1). Докажем зто утверждение.
Как и а и. 6 2 5 гл. у', где мы ввели понятие интеграла по множеству бесконечной меры, будем предполагать, что нсе пространство Х можно представить как счетную сумму множеств конечной меры. Пусть Х= Ц Х„, р(Х„)<сю, Х„11Хы =И при пфт п=1 — такое представление и пусть ( 1„) — фундаментальная последовательность в Ье(Х, р). Таким образом, для каждого е > О существует такое )у', что ~Цк(х) — л(х)]ас~р < е для всех й,1 > ж.
Введем обозначение у(х) при х Е Хп, со" (х) = О при остальных х. Тогда н силу свойства в-аддитивности интеграла Лебега, имеем /Ул(х) — Их)] Ф = ~, /' ~Ха"'(х) — Х1"~(х)] др < е =1 Х. Для каждого конечного М и подавно м / [У~~ 1(х) — )1 ~ (х)]звр < е. =:1 Х„ Совокупность функций с интегрируемым квадратом па каждом Х„ представляет собой полное пространство.
Положив ~ОО(х) = !нп )11 ~(х) 1-ко )Доказательство полноты пространства Ьы проведенное в З 1, не зависит, очввидно, от предположения конечности меры пространства Х. Гэ. 'ги. Лрогзнрэнгтньэ срммнрремнэ фрннннв 4с4 (где сходимость понимаетси как сходимость в пространстве ьт(Х, р)), мы можем перейти к пределу при 1 — + оо в неравенстве (3).
Нол чаем у и Е У (Л"'(*) -~'"1(*)Г1д <' н=1 х„ Так как это неравенство выполнено для всех М, то в нем можно перейти к пределу при М -+ оо. Таким образом, имеем / (/ь1 1(х) — у1"1(х))зпр < г. э=1 Х„ Ноложнв у(х) = убй(х) при х б Х„, мы можем последнее неравенство переписать в виде Ян(х) — у(х)] др < е. Отсюда вытекает как принадлежность у к Ьз(Х,д), так и сходимость последовательности (,Я к У.
Упражнение. Определим Ьр(Л,д) хак совокупность классов эквивалентных между собой функций, для которых ( (г"(х)(р4ь < ос, где 1 < р < со, Доказать, что т'р(Х,д) является баиахоэым пространством о носитель о нормы ()Л = ( (г )у(х))ЧИ)ыр. 3. Всюду плотные множества в Ьз. Теорема об изоморфизме. Итак, пространство Ьт(Х, р) функций с интегрируемым квадратом есть полное евклндово пространство.
За исключением вырожденных случаев, размерность этого пространства бесконечна. С точки зрения различных применений в анализе важно выяснить, когда пространство Ьт(Х,д) сепарабельно, т.е. содержит счетное всюду плотное множество. В 3 1 мы установили, что для пространства Ь|(Х, д) сепарабельность вытекает из существования у меры р счетного базиса.
Нетрудно убедиться, что это условие гарантирует н сепарабельность Ьт(Х,д). Действительно, каждую функцию из Ьт(Х, р) можно приблизить с любой точностью функциями, каждая из которых равна 0 вне некоторого множества конечной меры '). Далее, те же рассуждения, которые были проведены при доказательстве теоремы 3 3 1, показывают, что в совокупности таких функций можно выбрать счетное всюду плотное множество. ~ ) Если р(Х) < со, то этот шэг атпэдает.
1 У. Пространство йз Итак, если мера р имеет счетный базис, то пространство Ьз(Х, р) есть полное сепарабельное евклидова пространство. Иначе говоря, оставляя в стороне тот случай, когда Ьз(Х, д) имеет конечную размерность, мы получаем следующий результат; если мера р имеет счетный базис, то Уо(Х,р) есть еепарабельное.
гильбертово пространство. В силу теоремы об изоморфизме гильбертовых пространств, зто означает, что все такие Ьз(Х, р) изоморфны между собой. В частности, каждое такое Ьо(Х, р) изоморфно пространству 1з числовых последовательностей со сходящейся суммой квадратов. Последнее можно рассматривать как Ьз(Х, р), когда Х счетно, а р определена на всех его подмножествах и равна 1 для каждой точки.
Ниже мы будем рассматривать только Ьз(Х, р), огпвечающие мерам со счетным базисом. В случаях, когда это не может вызвать недоразумений, каждое такое прострапстно мы будем обозначать просто Ез. Поскольку пространство Ьз представляет собой, как мы выяснили, реализацию гильбертова пространства, на Ьт можно перенести все те понятия и факты, которые были установлены в З 4 гл. 1П для абстрактного гильбертова пространства. В частности, согласно теореме Рисса всякий линейный функционал в гильбертовом пространстве Н записывается в виде скалярного произведения г"(Ь) = (Ь,о), где а --- фиксированный вектор из Н. Позтому всякий линейный функционал в Хз имеет «ид ГУ) = УУ(х)у(х) др, где д — — фиксированная функция с интегрируемым квадратом на Л .
4. Комплексное пространство Ьз. Мы рассматривали сейчас действительное пространство Лз. Изложенные результаты легко переносятся на комплексный случай. Комплексная функция у, онределенная на некотором пространстве Х с заданной на пем мерой р, называется функцией с интегрируемым квадрапюм, если интеграл / (Д(х)( др л конечен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
