А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Определив гложепие таких функций и умножение их на числа обычным образом и введя скалярное произведение по формуле Гл. цп. Пространства сум»трусмнс функций 406 мы получим евклидово пространство, называемое комплексным пространством Ег, (При этом, как и в действительном случае, мы считаем эквивалентные между собой функции одним и тем же элементом пространства.) Это пространство полно, а если мера р имеет счетный базис, то и сепарабельно. Таким образом (отбрасывая конечномерный случай), мы получаем, что комплексное пространство Ьз, отвечающее мере со счетным базисом, есть комплексное сепарабельное гильбертово простпранстпво.
Все такие пространства изоморфны между собой, и для них справедливы результаты, изложенные в з 4 гл. П1, 5. Сходимость в среднем квадратичном и ее связь с другими типами сходимости функпдоиальиых последовательностей. Введя в пространстве Ьг норму, мы опредшуили тем самым для функций с интегрируемым квадратом следующее понятие сходилюсти: ~а -> ~, если 1пп ~[~„(х) — Ях)[гар = О. Мы назвали такую сходимость сходимостью в среднем квадратичном. Посмотрим, как такая сходимость связана с другими типами сходимости функциональных последовательностей.
Предположим сначала, что мера пространства-«носителя» Х конечна. 1. Если последовательность (1а) функций из Ег(Х, р) сходится в метрике Ег(Х, р), то она сходится и в мстарике Ь| (Х, и). Действительно, в силу неравенства (2) имеем 1/3 / [Уа(х) — У(х)[др ( [п(Х) Яа(х) — Ях)) д441 откуда и следует наше утверждение. 2.
Если последовательность (з'„) сходитсл равномерно, то она сходится и в среднем квадратичном. Действительно, при каждом е > О при всех достаточно больших и имеем ~~„(х) — г(х)[ < с и,вшсдоватслыю, 1[1„(х) — 1(х))здр < ггр(Х), откуда вытекает наше утверждение. 3. Если последовательность суммируеммх функций (За) сходится в среднем, пю она сходитпся на Х и тю мере. 407 1 2. дроотронон1ео Во Это утверждение сразу же следует из нераненства Чебьппева (и. 4, ~ 5, гл. Ч). Отсюда и из теоремы 8 з 4 гл. У вытекает: 4. Если последовательность (1о) сходится в среднем, то из иее можно выбрать пвдпоследоввтельность (1оь ), сходящуюся почти всюду.
Заметим, что при доказательстве теоремы о полноте пространства Ь1 мы уже установили этот факт, не опираясь на теорему 8 з 4 гл. Ч. Нетрудно убедиться в том, что из сходимости некоторой последовательности в среднем (и даже в среднем квадратичном) не вытекает, вообще говоря, ее сходимость почти всюду. Действительно, последовательность ( 1о), построенная в п. б ~ 4 гл. У, сходится к 1 = 0 в среднем (и даже в среднем квадратичном), но при этом, как мы видели, она не сходится к 0 ни в одной точке, Обратно, последовв: тельность (1„) может сходиться почти всюду (и даже всюду) н не сходиться при этом в среднем.
Рассмотрим, например, на отрезке ]О, 1] последовательность функций А (х) = и при т. б (О, 1~п], 0 при остальных х. Очевидно, ~„(я) -+ 0 при всех х е ]О, 1]. Но в то же время 1 / ].(о(я)] дх = 1 при всех и о Связь между различными типами сходимости в случае р(Х) ( ос можно изобразить слепующей схемой: равномерная сходнмоеть ~ схоннмость — э но мере где направленная вверх стрелка означает возможность выбора из последовательности, сходящейся по мере, подпослеловательности, сходящейся почти всюду.
В случае р(л') = оо (например, дня функций на всей чищювой прямой с мерой Лебега на ней) установленные выше связи уже гшз гуь Ггг!. !гГ1»стране»гоп суммируеммх фуниций не имеют места. Например, последовательность 1/1/и при ]х] < и, 1»(х) = 1 О при ]х] > гг сходится равномергго на всей прямой к функции 1: — О, однако она не сходится ни в среднем, ни в среднем квадратичном. Далее, при !1(Х) = оо, как мы уже указывали, сходимость в среднем квадратичном (т.
е. в Ьз) не влечет за собой сходимости той же последовательности в среднем (т.е. в ьг). Заметим в заключение, что из сходимости в среднем пи при !1(Х) ( оо, ни тем более при р(Х) = оо не следует, вообще говоря, сходнмость в среднем квадратичном. П 3. Ортогональные системы функций н 11. Ряды по ортогональным системам Общие теоремы, установленные в П 4 гл. П1 для свклидовых пространств, говорят нам, что в Ьз имеются полные ортогональные (в частности, ортогонэльные и нормированные) системы функций. Такие системы можно получить, например, прил!сияя процесс ортогоналнзации, описанный там же, к той или иной полной системе. Если в 1 з выбрана некоторая полная ортогональная система (гсп), то, опять-таки в соответствии с общими результатами П 4 гш.
111, каждый элемент 1 Е 1,1 можно представить как сумму ряда 1 = ~~' с»ге»» »=1 — ряда ФурЬЕ фуНКцнн 1 ПО Ортпгпиаявипй СИСТЕМЕ (уГ»). Прн ЭТОМ коэффициенты с„- - коэффициенты Фурье функции 1 по системе у„— определяются формулами с» — — —, ) 1(х)у»(х) ыи, Пгр Ц =- / гр'„-(х) г1!1. П~ П' В этом параграфе мы рассмотрим важнейшие примеры ортогональ- ных систем в пространствах Ьг и отвечающие им разложения. 1. Тригонометрическая система. Тригонометрический ряд Фурье. Рассмотрим пространство 1з(-я, к] функций с интсгрируе- МЫМ КВадратОМ На ОтрЕЗКЕ ( — 1Г, 1Г] С ОбЫЧНОИ МЕРОЙ с1ЕбЕГа На Этаи отрезке. В этом пространстве функции 1, совггх, вшах, и = 1,2,... 1 3.
Орглееоиальиъи: согглсмм фйггкчна е ьг 409 образуют полную ортогопгмп,иую систему, называемую гпрпгогго- ,метрической. Ортогональносгь легко проверяется прямым вычи- слением, иапример,при п ф гп к к / <оьпхсозтхг(х — —, )' [соз х+соз х111г — О и т.д. Полнота системы (1) следует из теоремы Всйерпл расса об ап- проксимации любой непрерывной периодической функции тригоно- метрическими миогочлеиами ').
Система (1) ие поры!!рована, Соот- ветстнуюп)ая нормированная система состоит из функций 1 сових вгппи ~/2п ьгги ' ьг и Пусть ) — функция из 12[ — т, и); ее коэффициенты Фурье, отвечаю- щие функциям 1, сових, египт, црипято обозначать ап!2, и„и Ь„. Таким образом, в соответствии с общими формулами для коэффи- циецтов Фурье имеем Соответсгвуюгцпй рцд Фурье имеет вид — О + ~~! 'аоСОВГ1Х+ ЬоВШПХ и=! и для любой функции у б бе сходится в среднем квадратичном пмепио к ией. Если 11 Ягг(х) == ив "+~~~ иьсозйх+Ььвгпкх 1г= 1 — частичная су мма ряда Фурье, то среднее квадратичное уклонение Яо от ! можно найти по формуле 2 йУ(х) — оо(х)!!2 = )ф! — Я( оо -!- ~ ~а,', + Ьг). г)!1 12 гл.
ст!11 мы докюкгм теорему фойера, представлиюшую собой усиление теоремы Вейерштрвсса. Тем самым будет дано и доказательство полноты тригонометрической системы (не опирвгощееси, конечно, на излагиелгые здесь факты). Р2Л = 2' / Пх) ):, и„=- — / 2 (х) соз их г1х !.е. ао = — / )(х)Нх.
Ьи — й / У(х) бпгггх ох ги, гч!. Iгроагпранггглва гуммируеммх Грунхигы !го Среди всех тригонометрических многочленов Т„(х) = — ~ + ~~ о! соя lгх + !уу я!и Йх с данным и частичная сумма ряда Фурье Я„дает наилучшуго (в мет- рике Ьз) аппроксимацию функпии !". Неравенство Бесселя для три- гонометрической системы имеет впд — ~ + ~~! а„ + Ь„ < — ~ 1 (х)г1х, в=.! — "+ ~ а„'+Ь~ = ~1 / 1в(х)г(х. Для любой функпии г'еХз квадраты ее коэффициентов Фурье образуют сходящийся ряд, Обратно, осли числа ае., а„, Ь„(п = 1, 2,...
) таковы, что ряд 2„а~, + Ьз сходится, то ряд и=-! У + ~~! ' а„соя ггх + Ь„яп пх р=! тоже сходится (в Ез), а его сумма представляет собой функцикг, имеющую ае, а„, Ь„своими козффициентами Фурье. Все зти утверждения (непосредственно вытекающие нз общих результатов 2 4 гл. 1П) легко переносятся на функции, заданные на отрезке произвольной длины, скажем, [ — 1, 1). Если 1 — функция с суммируемым квадратом на ( — 1,1), то замена х =- т111, т.е.
1 = 1х/я., переводит Д1) в функцию 1 (х) = «( х) на отрезке ( — гг, .к). В соответствии с зтим (' У(1) я™вЂ” ,' 11, ! ~ Д1)яш пк!1г(1, — ! 1 а„=— п = О, 1,. о=1,2, Ряд Фурье для функции г', заданной па отрезке длины 21, имеет вид — + т а соя — +Ь я1п —. аа % ' пк! нк! 2 Е~ но поскольку тригонометрическая система полна, на самом деле для любой функции иэ 12 имеет место равенство Парсеваля 1 В. Оогаагоиаланма системы фон«чав в 1 г 4ы Замечания.
1. Тригонометрические ряды были использованы французским математиком Ж. Фурье в его работах по математической физике, в первую очередь по теории распространения тепла. Впрочем, формулы лля коэффициг нтов о„и Ь„встречаются уже у Эйлера. В дальнейшем теория тригонометрических рядов развивалась в работах Римана, Дирихле и др. Первоначально термины «ряд Фурье», «коэффициенты Фурье» и т.л. связывались именно с тригонометрической системой и лишь значительно позднее стали употребляться в общем смысле, описанном в з 4 гл. П1 (т.
е. применительно к произвольной ортогональной системе в любом евклидовом пространстве). 2. Из полноты тригонометрической системы и обпшх теорем З 4 гл. Ш следует, что для любой у б Ет ее ряд Фурье — о + ~~г а„совах+ Ь„вшггх а=1 сходится к данной функции 1 в среднем. Однако с точки зрения конкретных задач анализа важно установить условия, при которых этот ряд сходится к 1 в другом смысле, скажем, в каждой точке, илп равномерно. Этот круг вопросов мы рассмотрим в следующей главе. 2. Тригонометрические системы на отрезке [О, т]. Функции 1, сов х, сов 2х, (2) вгпх, вш2х,... (3) образуют в совокупности полную ортогональную систему на отрезке [ — гг, т].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
