А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Теорема 2. Если функция г' с периодом 2я абсолютно непрерывна, а ее производная 1' принадлежит бт( — х, х), то ряд Фурье функции ) сходнтся к ней равномерно на всей прямой. Доказательство. Обозначим через а„' и Ь'„коэффициенты Фурье функции У'. Так как ~ абсолютно непрерывна, то к интегралу а„= — ) Дх) соз пх Их 1 можно применить формулу интегрирования по частям. Получаем л а„= 1 (,г"(х) созпхНх = У = — Дх) — '"„пх ~ — — /,1" (х) з1п пх г)х = — и; — л аналогично, 6 = — /' ~(х) з1ппхИх = — „. 1 . а' 432 Гл.
ПН, !Ыдн. цреабразааания Фурье Следовательно, — + Е!а.~+!ь-! = 2 +'.).—. + —. г16) Этот ряд сходится, поскольку а1 Р а 2,' Ь'„+ о'„< оо в силу неравенства Бесселя. Числовой ряд (16) д д а=.1 служит, очевидно, мажорантой дпя ряда Фурье функции 1. Но тогда, по признаку Вейерштрасса, ряд Фурье функции у равномерно (и абсолютно) сходится. Остается показать, что сумма этого ряда есть ) .
Пусть у — сумма ряда Фурье функции У. Тогда у имеет те же самые коэффициенты Фурье, что и у. Отсюда в силу непрерывности обеих функций получаем, что у = у. Можно дать другое условие равномерной сходимости ряда Фурье, аналогичное условию Дйни, именно: Теорема 3. Если на некотором множестве Е С [-х,х) суммнруемая функция / ограничена, а условие Дйни выполняется на Е равномерно, т.
е. для всякого е > О существует такое д > О, что ~~ У('+ ) — Х( )~ ~Ь<к одновременно для всех х 6 Е, го ряд Фурье функции Г' сходится к этой функции равномерно на Е. Доказательство этой теоремы основано на лемме, служащей усилением леммы 1 (см. п. 1). () /Дг)э1пЛгЖ~ <е а при Л > 4ч(е) для всех / б В однонремснпо. Для доказательства леммы возьмем в В конечную е/2-сеть уы..., ~рь и выберем Дг так, чтобы ь ~ у;(а)з1пЛ1сй! < $, 1= 1,...,й, при Л > И. а Лемма 2. Если  — предкомпактное в метрике Ь4)-к,1г] мно. жество суммируемых функций, то для всякого е > О найдется такое Я=Ее что 1 ьь теорема еьеаера 433 Если теперь 1 -- произвольная функция из В, то при некотором 1 ))~ — у;)! < е/2 и, следовательно ь ь ь ( ~ Д1)Б!1!Лье)1! ~( ) ~ Ьоа(4)81пЛМНЙ~+ ) ~(Г фр)з)пАЙ(Н (Я а а а Тем самым лемльа доказана.
Применение этой леммы основано на том легко проверяемом факте, что в условиях теоремы 3 множество функций (4) ~(х+ 4) — г'(х) р.(4) = предкомпактно. Дальнейшие подробности доказательства предоставляем читателю. До сих пор мы говорили о функциях, заданных на отрезке ( — х, х].
Ясно, что все сказанное может быть автоматически перенесено на функции, определенныс на отрезке произвольной длины 2Е Для случая нескольких независимых переменных тоже можно сформулировать как условия, достаточные для сходимости ряда Фурье в каждой точке, так и условия равномерной сходимости ряда Фурье.
Мы не будем на этом останавливаться. 3 2. Теорема Фейера 1. Теорема Фейера. Пусть т' — непрерывная на прямой функция с периодом 2я. Эта функция определяется своим рядом Фурье '2' + ") а„сових+ Ь„з)ппх (1) а=4 оь(х) = — е+ ~ат соз1х+ бр выл,Ух (2) однозначно. Действительно, если ть и тз —. две непрерывные функции, имеющие одни и те же коэффициенты Фурье, то ~ь — Тз— непрерывная функция, равная нулю почти всюду и, следовательно, тождественный нуль. Однако поскольку ряд Фурье непрерывной функции, вообще говоря, не обязан сходиться, мы не можем такую функцию Т получить непосредственным суммированием ее ряда Фурье.
Способ восстановления непрерывной функции по ее ряду Фурье дает излагаемая ниже теорема, доказанная в 1905 г. Фейером. Пусть !я. 1»1П. Рядн. Преобразования Фурье -- частичная сумма ряда Фурье функции 1. Положим Яо(х) + Яз(х) + " . + Я 1(*) (3) Выражения и„. средние арифметические сумм Яу — называются суммами Фойера функции 1. Теорема 1 (Фейер). Еслибы — непрерывная функция с периодом 2п, то носзтеповательность (сг„) ее сумм Фейера сходится к 1' равномерно на всей числовой оси.
Доказательство, Воспользуемся полученным в предыдущем параграфе интегральным представлением частичных сулзм ряда Фурье: в Б1п зьтз~ Яу(х) = 1 /' Дх+») .', г(г. 2 — » Подставив эти интегралы в равенство (3), получвм для п„(х) следующее выражение: и-1 . 2»21 п„(х) = — / (~~ . '. ~Дх+»)г(г, гнп которое с помоп1ью формулы ') и-1 Б1п(2)с+ 1)г = е=о может быть представлено в виде так называемого интеграла Фейерщ п„(х) = — )г ~ —.22) 1(х+ »)И». (4) Выражение (5) называется ядром Фереро.
Формулу (4) можно переписать в виде „(х) = ~ 1(х+ )Фн(г)д . Нам нужно доказать, что при и -2 оо это выражение равномерно стремится к 1(х). Отметим предварительно следующие свойства ядра Фейера: 1) Ф„(г) > О, ) Зту Формулу легко получить, суммируя по я равенства 2»1п(2я+ 1)» Б!и» = совзя» — сое2(я.1-1)». Гл. ПГН. Ряды. Преобразования груръе 436 Выберем теперь пэ настолько большим, чтобы при п ) пв и данном Ь выполнялось неравсш тво 2Мг1а(б) < е/4. Тогда ~/(х) — п„(х)~ < е/2+к/4+к/4 = б, откуда в силу произвольности б и следует утверждение теоремы. Отметим, что при доказательстве мы использовали только свойства 1) -3) ядра Фейера.
Это позволяет получать различные обобщения теоремы 1 (см., в частности, п. 3 этого параграфа). 2. Полнота тригонометрической системы. Теорема Вейершптрасс. Из теоремы Фейера следует полнота тригонометрической системы в пространстве 1,з(-к, я). Действительно, э силу этой теоремы любая непрерывная функция есть предел равномерно (а значит, и в среднем) сходящейся последовательности тригонометрических многочленов па.
Остается заметить, ч го непрерывные функции всюду плотны в 1<ь Теорему Фейсра можно рассматривать как усиление теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций тригонометрическими многочленами: эта последняя устаггавггивает, что всякая непрерывная функция есть равномерный предел к а ко й-то последовательности тригонометрических многочлснов, а теорема Фойера указывает вполне определенную последовательность, обладаюпгую этим свойством, — последовательность сумм Фейера (3).
Из теоремы Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывной периодической функции тригонометрическими многочленами легко следует и вторая теорема Вейерштрасса— об аппроксимации алгебраическими многочлепами любой функции, непрерывной па некотором отрезке (а,Ь). Действительно, если а г(Ь- а) /(х) — такая функция, то, положив 1 = — т, т. е. х = + и, Ь вЂ” а мы получим функцию уг(г) от 1, заданную на [О,к). Продолжим ее вначале на полусегмент ( — гг,О), положив уг( — 1) = уо(г), а потом, по периодичности, на всю прямуго. Построим теперь тригонометрический многочлен Т„, удовлетворяющий условию ~То(1) — уг(г)! < е/2 при всех и Далее, всякий тригонометрический многочлен разлагается в ряд Тейлора, сходящийся равномерно на любом конечном интервале. Пусть Р— частичная сумма ряда Тейлора для Т„, такая, что (Та(1) — Р,„(1) ~ < е/2 при О < 1 < гг.
Тогда (уг(1) — Р,„(1)~ < б при О < Е < гг. 1 3. Иитазраа Фурье Сделав в Р (1) обратную замену 1 = — *ел, мы получим многочлен Я,„(х), удовлетворяющий условию [У(х) 1азт(х)[ < с прв и < х < Ь. 3. Теорема Фейера для пространства Ь|. ц теореме |рейера достигнута определенная симметрия между условием и утверждением теоремы. Из того, что функция у принадлежит пространству С[-л, з] непрерывных функций, следует, что отвечающие ей суммы Фейерв сходится к 1 в метрике того же самого пространства С[-л, л[. Аналогичные |еоремы можно получить н для других функционалыпах пространств, в частности, для пространства Ь| [ — л, л). Точнее говоря, имеет место следующая теорема, которую естественно назвать теоремой Фейера для суммирусмых функций; Если т' — суммируемая иа отрезке [ — л, л) функция, |па еа суммы Файера сходятся л ней па карме пространства В|[-л, л).
Доказательство этого утверждения может быть получено с помощью рассуждений, близких к изложенным в и, 1. Мы ие будем здесь их проводить, однако отметим следую|ций важный факт, вытекакяцнй из теоремы Фейера для суммируемых функций. Всякая суммируемая функция однозначна (с |аачиастые да эквивалентности) апределяе|пса своими лаэф4ициентами Фурье. Действительно, пусть У и д — две суммируемые функции, ил|е|ощие одинаковые коэффициенты Фурье.
Тогда все коэффициенты Фурье функции 1 — д равны О, Следовательно, тождественно равны О и все суммы Фейера для у — д. Но тогда н нх предел в Еы т. е. функция 1' — д, есть О почти всюду. 'З 3. Интеграл Фурье 1. Основная теорема. В З 1 были установлены условия, при которых периодическая функция может быть разложена в сходящийся ряд Фурье, т. е. представлена как суперпозиция гармонических колебаний. Попытаемся сейчас перенести этот результат на функции н е и е р и од и ч е с к н е.
Мы увидим, что при довольно общих дополнительных условиях такое представление возможно, но только ужо с помо|цью не ряда, а интеграла, так называемого интеграла Фурье. На.|нем с наводящих соображений. Пусть функция 1 на каждом конечном интервале удовлетворяет условиям, обсспсчивакнцим разложимость ее в ряд Фурье. Иначе говоря, предположим, что у суммируема на любом конечном интервале и в каждой тачке удовлетворяет условию Дини. Рассматривая Х, скажем, на отрезке [ — 1,1), Гя.
ИП. Ряды. Ираабразааааия Фурье мы можем написать разложение этой функции в ряд Фурье: У(х) = а— +ят аг,сов — х+Ьввгп — х. аа ь ' йх ° Ьк 2 Е~' ( Подставим сюда вместо ав и Ьв ик выражения: аа= Л ~ У(2)й, ь„=' у ав = )- ~ у(г) сов — "гМ, -г ур) в)п Ьх2 й. Получим ,г'(х) — — ~ / д~) гм'+ ~~г — / у(й) сов — ахсов — 'карги+ в=1 -! -г + — Г я) в! п "— ах гйп — "а г гй = ОО 2! з = — / у(1)нг+ ~ ~ / 1(г)~сов в ~ "хсов~ааг+вш ахвш кг1гН, ь=1 -г т.
е. 1 г У(х) — — / У(г) гц'+ — ~~г — (' г'(й) сов — (2 — х) гц. (2) -1 ь=г -г Дополним предположения о функции )' егце одним: пусть эта функция абсолютно иятегрируема на всей прямой, т.е. ~Д~)(ги < со. (3) ~ к(л)ил а от функции Р(Л) = ф / у(г) сов Л(Ь вЂ” х) й, Перейдем теперь (пока чисто формально) в равенстве (2) к пределу при 1 — > оо. В силу (3) первое слагаемое в правой части равенства (2) при г — з оо стремится к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
