А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Этот факт играет важную роль во многих применениях преобразования Фурье. 6. Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности. Применение преобразования Фурье к дифференциальным уравнениям основано на том (см. п. 3), что оно переводит операцию дифференцирования в операцию умножения на независимое переменное. Следовательно, если у нас имеется линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами у~'ч+а1у~" ~+ +аа 1у'+аоу= у(х), (8) то преобразование Фурье переводит его в ал ге бран ч ее к ое урав- нение нида (зЛ)ах+аз(аЛ)" "г+. ° + ах 1аЛх+аьх = ф(Л), (9) где х = г'[у] и у' = Е[ф.
Однако для обыкновенных дифференциальных уравнений этот прием не открывает каких-либо существенно новых перспектив, так как решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами и без того не представляет больших трудностей. Кроме того„переход от (8) к (9) возможен, если неизвестная функция у = у(х) интегрируема на асей прямой, а для решений 1 4, Прообооооввиив Фурье, ововосовв и применения линейных уравнений с постоянными коэффициентами это, вообще говоря, не имеет места. Более существенно применение преобразования Фурье к уравнениям с частными производными, где оно позволяет, при определенных условиях, свести решение такого уравнения к решению обыкновенного дифференциального уравнения.
Покажем это на примере решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Будем искать решение уравнения ди(х, 1) дои(х, Г) (10) дг дхв при -со < х с оо и 1 > О, обращающееся при 1 = О в заданную функцию ие(х). Физический смысл этой задачи состоит в нахождении температуры бесконечного теплопроводящего стержня в любой момент времени 8 ) О, если в начальный момент 1 = 0 его температура в каждой точке есть пв(х). Предположив, что ие(х), и~з(х) и ив(х)) принадлежат Ьс(-со, оо), будем искать решение поставленной задачи в классе функций и(х, 1), удовлетворяющих следующим условиям: 1) функции п(х,1), и (х,1), и,(х,1) абсолютно интегрируемы по всей оси х прн любом фиксированном 1) 0; 2) функция нс(х,1) имеет в каждом конечном интервале О ( 1 ( Т интегрируемую мажоранту Дх) (не зависящую от 1): ]пс(х,1)] ( Дх), / 1(х) Нх ( сю. Выполним в уравнении (10) преобразование Фурье по х.
При этом справа мы получим Р[п„(х,г)] = — Лзп(Л,1), где п(Л,1) = г'[и(х,1)], а слева в силу условия 2) имеем г[нс] = ~ пс(х,с)е ' 'с1х = — д 1' и(х,1)е ' *Их =по(Л,1). Таким образом, преобразование Фурье переводит уравнение (10) в обыкновенное дифференциальное уравнение пс(Л,1) = — Лап(Л, 1), для которого нам теперь нужно найти решение, обращающееся при 1 =- 0 в функцию пв(Л) = Е[ио(х)] = (' ио(х)е '"* Нх. 452 Ря. $ ПП Ряды. Преобразования Фурье Таким решением будет, очевидно, В(л,1) = е " '50(л).
Теперь, для того чтобы получить решение нашей первоначальной задачи, остается найти ту функцию н(х,1), преобразованием Фурье которой служит функция и(Л, г). Используя пример 4 и. 1, получаем е = г"( — е 2~/л$ Позтому о(Л,Й) = Г~ — е "Пм~~ г(не(х)) = Е~ — е * П '1 оно(х)~, т.е. и(х,Г) = — / и 4 Д йно(х — С)44. 2угл4 Мы получили так называемый пнгпеграл Пуассона для решения уравнения теплопроводности. 7. Преобразование Фурье функгвий нескольких переменных.
Преобразование Фурье, рассмотренное нами для функций одной переменной, легко переносится на функции нескольких переменных. Пусть Дхы...,ха) — функция, интегрируемая по всему и-мерному пространству К". Ее преобразованием Фурье называется функция д(Лы...,Лн) = / ... / д(хы...,хн)е ЦЯ'~'4-+*"~"141хз...Ихн. Этот и-кратный интеграл, заведомо существующий, поскольку д (хы...,х„) интегрируема, можно записать, по теореме Фубини, в виде следующего повторного интеграла: у(л„...,л„) = — (... / ( (' Дхы...,х„)е '*'"'Ихг)х х е аа'"'1Ихз... ~е '*""" Нх„. (11) Иначе говоря, можно перейти от функции и переменных к ее преобразованию Фурье, последовательно выполняя преобразования по 1 4. Преоераэование Фурье, евоаетоа и ирименени» каждой из переменных в отдельности (в любом порядке).
Обращая последовательно каждую из и операций в правой части равенства (11), получим формулу ,((*,,..., „)- — „/ (... ) ( у д(л„...,л„) х е'*-"" ИЛ„)е""-'""-'1 НЛ ~е' '"' НЛы Ее можно переписать в виде п-краденого интеграла Дхы...,х„) = — Г Г у(Лы..., Ла)ец" "'в"'"га"""1еРЛ~... ИЛа, (12) (2я) а однако, поскольку функция о(Лы..., Л„), вообще говоря, не обязана быть суммируемой по всему К", нужно указать, в каком смысле следует понимать этот интеграл и те условия на Дхы..., хо), при которых она представляется интегралом (12). Один из возможных ответов на зги вопросы дает следующая теорема. Теорема 1.
Пусть функция Дхы...,х„) нптсгрнругма по всему пространству Ка н удовлетворяет условиям: ()(х~ + 8а,хз,...,ха) — те(хы..., хи)) ( (С)1~( ~У(хы хз + 1х,..., х„) — У(хы..., ха)$ ~~ С(х))$12$~, (13) (((хм..., х„+ 1а) — )(хы..., ха) / < С(хы..., х„~))1а1, где 0<а<1, / С(х~)дх~ <со, / ...
/ С(хы...,хи !)еэхэ...дхи э < ~ю. Тогда формула обращения (12) справедлива, если интеграл в ней понимать как — 1пп № Ю М„ (2я)" №-~сю l 1 ' ' н„,-~оо т 1н.-+со Л„)е'*" "4Лн~е""-' "-' г1Л ~ее*' ' НЛ 1о. ЧПЬ риси. Преоброзоооиио Фурье 454 Действительно, поскольку /(х 4,..., х.„) суммируема в !й", то в силу теоремы Фубини она суммируема по хе при почти всех хз,..., х„. Следовательно, существует функция 14(ЛЫХт,...,Хи) = ) 1(ХЫ...,Хи)Е "'"'дке. Из (13) следует, что 1(хм..., х„) как функция от х4 удовлетворя- ет условию теоремы 1 (( 3; позтому Дхм...,х„) можно выразить через Л по формуле обращения Жс Дхы..., х„) = 1пп ~ — / 14(ЛП хе,...,х„)е'*'"' 41Л4.
№ -~со -№ Далее, если мы положим ЯЛыЛз,хз,...,хи) = )е ~4(Лмхз,...,хи)е '*'"'е(хт, то из условия (13) следует, что для /4 справедлива формула обращения № 14(Лы хи,..., х„) = 11п4 3~- )' Л(ЛП Лз,..., х„)с'*'"' с1Лз, йс -о ос - ь'с т. е. ,1(хм...,х„) = № Жс — !пп 3" — ~ !1тп — ~ ~з(ЛмЛз,...,хи)е' е"' ИЛз~ееьи ' 41Л4. №-ссс и 45'е-ссс еи -№ -№ — = — '+ — ', ди ди ди д4 дх' (14) описывающее процесс распространения тепла в плоскости. Пусть в момент 1 = О температура задана: и(О,х,у) = ие(х,р).
Наложив на искомое решение уравнения (14) условия, аналогичные тем, которые указаны в п. 6, мы можем сделать в уравнении (14) Определив аналогичным образом ЯЛ4, Лз,..., х„) и т. д., мы и придем к формуле (12). Преобразование Фурье функций нескольких переменных широко используется в теории уравнений с частными производными. Рассмотрим, например, уравнение 1 5. Лраосрпзооанве Фурье в дз(-сю,оа) 455 преобразование Фурье по переменным х и у.
В результате получим обыкновенное уравнение су (А2 + 2) (15) Ж где и(г, Л,о) = / ~ и(1,х,у)с Ц *4 У1 Ихду. Решив уравнение (15), можно затем найти решение исходного уравнения (14) с помощью формулы обращения. ~ 5. Преобразование Фурье в пространстве Ьз( — оо, оо) 1. Теорема Планшереля. Вернемся сначала к тем результатам, которые мы получили для рядов Фурье. Для большей аналогии с преобразованием Фурье будем рассматривать ряд Фурье в комплексной форме, т. е.
возьмем на отрезке (-к, х) полную ортогональную систему функций с'"*, в = О, х1, х2,... и каждой суммируемой на отрезке ( — к, к) фуякции у мы поставим в соответствие последовательность ее коэффициентов Фурье с„= 2 / Дх)е ы*дх, о=0,~1,Х2,... Если функция Г не только суммируема, но и имеет суммируемый квадрат, то ее коэффициенты Фурье удовлетворяют условию )с„) ( оо. и=-сь Иначе говоря, переход от суммируемой с квадратом функции к совокупности ее коэффициентов Фурье есть отображение евклидова пространства Ез на евклидово пространство (з, причем это отображение линейно и удовлетворяет равенству Парсеваля 2х ~~~ (с„(~ = / )Дх)(~г(х (т. е.
этот переход отличается лишь числовым множителем от преобразования, сохраняющего норму). Обратимся теперь к преобразованию Фурье для функций, задавных на всей прямой, и посмотрим, нельзя ли это преобразование трактовать как некоторый линейный оператор в комплексном пространстве Ьг( — оо, оо). Основная трудность состоит здесь в том, что 455 Ря. ЧПП Радел.
Преабраааааиия Фурье функция с интегрируемым квадратом на прямой не обязана принадлежать Ег(-оо, оо),. т.е. преобразование Фурье в смысле, определенном в г 4, может для нее и не существовать. Однако для всякой 1 б Ьг(-оо, со) можно определить преобразование Фурье в несколько ином смысле. При этом получается следующая теорема, которую можно рассматривать как аналог равенства Парсеваля (1). Теорема (План шерель, 1910 г).
Для всякой функции г с Ег( — оо,со) интеграл д~(Л) = / 1(х)е '"*йх при любом Х представляет собой функцию от Л, принадлежащую к Хг(-оо,со). При М вЂ” > оо функции дм сходятся в метрике пространства Ьг и некоторому пределу д, причеле / (д(Л)(ге(Л 2я / Щх)(ге1х (2) Эту функцию д называют преобразованием Фурье функции 1' с Т г. Если г" принадлежит также и к Т,г( — оо,со), то соответствующая функция д совпадает с преобразованием Фурье функции г' в обычном смысле. До к аз атель с т в о. Основная идея доказательства состоит в том, что равенство (2) устанавливается сперва для всех функций, принадлежащих классу б бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций, которые всюду плотны в Ьг( — со, со), а потом распространяется по непрерывности на все Ьг( — со, со).
Реализуем теперь эту идею в деталях. 1) Пусть 1ы /г Е бе,. Обозначим через д1 и дг соответственно нх преобразование Фурье. Имеем / ~г(х)Уг(х) йх = / 21 / (дг(Л)е™ е1Л)/г(х) «1х = ьа ьь СЮ вЂ” / ~д1(Л) / гг(х)е '"* е)х~ «1Л = 1 / дг(Л)дг(Л) еКЛ, причем изменение порядка интегрирования здесь законно, поскольку функция дг(Л)Уг(х)ег~ абсолютно интегрируема в плоскости (х, Л). Положив в полученном равенстве уг = Ь = У и де = дг = д, получим, что формула (2) верна для любой функции У б Я ( б. Преобразование Фурье в Ье(-оо, х) 2) Пусть теперь у — произвольная функция из е'з( — со, со), обращающаяся в нуль вне некоторого интервала ( — а,а).
Тогда у интегрируема на интервале ( — а,а) (т.е. принадлежит Ь|( — а,а)), а следовательно, и на всей прямой. Поэтому для нее определено преобразование Фурье д(Л) = (" у(х)е '"'дх. Пусть теперь (ун) — последовательность функций из 5„, обращающихся в нуль вне (-и, а) и сходящаяся по норме пространства Ьт(-со, со) к у. Поскольку ( и все у„отличны от нуля лишь на конечном интервале, последовательность (у„) сходится к у и по норме пространства Ьз (-оо, со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
