А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Ьсли тлследооательпость (з'„) функций из Ьт( — со, оо) сходится в метприке пространспива Ьт ( — со, оо), то последооаптельность их преобразований Фурье д„= Г[Я сходится равномерно на всей прямой. Это утверждение сразу вытекает из очевидной оценки: [д„(Л) — д (Л)[ < (г [(п(х) — З (х)[ дх. 2. Преобразование. Фурье д абсолютано интегрируемой функции з предсптаоляет собой ограниченную непрерывную функцию, которая стремитпся к нулю при )Л[ — т со. Действительно, ограниченность функции д = г'[т'[ сразу видна из оценки 1д(Л)[< ) [((х)[дх.
Далее, если т --- характеристическая функция интервала (а.,(т), то для нее д(Л) = ~ е' тл*дх = о Эта функция, очевидно, непрерывна и стремится к нулю при [Л[ — > со. Так как операция Р перехода от у к д линейна, то отсюда следует, что преобразование Фурье любой ступенчатой функции (т.е.
линейной комбинации индикаторов интервалов) есть тоже непрерывная функция, стремящаяся к нулю при Л -+ хоо. Наконетц ступенчатые функции всюду плотны в Ьт(-со, со), поэтому если т' б 1.т, то существует последовательность ()и) ступенчатых функций, сходящаяся к т' в 1,т ( — оо, оо). Тогда в силу свойства 1 последовательногть функций д„= У[Я сходится равномерно на всей прямой к функции д = г'[т[.
Но тогда предельная функция д тоже непрерывна и стремится к нулю при Л вЂ” т сю. Упражнения. 1. Доказать, что преобразование Фурье д абсолютно интел рируемой функции т' равномерно непрерывно на всей прямой. 2. Пусть В -- пространство равномерно непрерывных на ( — со,со) функций, стремящихся к нулю па бесконечности. Показнгль что преобразование Фурье Г ет ть оператор нз Ь| ( — ж, со) в В с нормой 1, удовлетворяющий условию Ксг Г = О. ') Вообще говоря, ое прттыодлежащоо Ьт. 35 — !324 44б Гл. У!(1. Рядн. Преобразования Фурье 3. Если / абсолюп(но непрерывна на каз(одом конечном ин(первале и /' б Ь((-оо„оо), то имеет место равенсп во Е]/'] = (ЛЕ]/].
Таким образом, дифференцированию функции (при указанных выше условиях) отвечает умножение ее преобразования Фурье на 4Л. Действительно, абсолютно непрерывная на каждом конечном интервале функция может быть записана в виде /(х) = /(о)+ //'(4) й. в Из абсолютной интегрируемости /' следует, что стоящее здесь справа выражение при х -4 оо и при х -+ — оо имеет предел. Этот предел может быть только нулем, так как иначе функция / не была бы интегрируема на всей прямой. Учитывая это, получаем с помощью интегрирования частям Е(Д(Л) = / /'(х)е 'л* дх = = /(х)с '" ! + (Л / /(х)е '"*дх = 4ЛЕ]/](Л), что и требовалось доказать.
Если функция / такова, что /(~ '( абсо(потно непрерывна иа каждом интервале и /,..., /( б е Е(( — со, со), то с помощью таких же рассуждений получим Е(/< б] = ((Л)ьЕ]/] (5) 4. Связь меэсду сгпепенью гладкости функ(4ии и скоростью убывания на бесконечности ее преобразования Фурье. Разделив равенство (5) на (4Л)ь и вспомнив, что преобразование Фурье всегда стремится к нулю на бесконечности (свойство 2), получим, что если /(Ю абсолютно интегрируема, то ]щ(ю]] ~Е]/]] = — --,— — ° ]Л]~ т.е. в этих условиях Р'(/] убывает на бесконечности быстрее, чем 1/~Л]г. Итак, чем болыпе производных в Х( имеет /, тем быстрее убывает на бесконечности ее преобразование Фурье. 5.
Если /о сущее(пвует и принадлвзюит Ь(( — со, оо), то Щ] абсолютно интегрируема. Действительно, при указанных условиях Е[/] ограничена и убывает на бесконечности быстрее, чем 1/Лг. Отсюда следует интегрируемость. 1 4. преобразование Фурье, сооастоо и применения 447 Выше (свойство 4) мы показали, что чем больше производных имеет функция /, тем быстрее убывает ва бесконечности ес преобра- зование Фурье. Справедливо и двойственное утверждение, а именно,. чем быстрее убывает 7", тем глаже ее преобразование Фурье. Точнее говоря, верно следующее утверждение. 6. Пусгнь как функция 7"(х), так и хг (х) абсолютна интегрируг- лсм. Тогда функция д = Г[7] диффергнцируема и д~(Л) = Р[ — охах)].
(6) Действительно, продифференцировав интеграл г(х)с ' *дх, определяющий д, по параметру Л, мы получим интеграл — 1 *П(-);".дх, который (в силу иптегрируемости функции ху'(х)) сходится рав- номерно по Л. Следовательно, производная функция д существует и имеет место (6). Если Г' такова, что абсолютно интегрируемы функции 7'(х), х7(х),...,хрр(х), то, как показывают аналогичные рассуждения, функция д имеет производные до р-го порядка включителыю, при- чем у~~1(Л) = Г[( — 1х) У(х)]., lс = 0,1,..,,р. 7.
Если потаребоаатьо чтобье функция г" убмвалее на бссконсчнасгаи еще быстрое, то д будет еще более гладкой функцией. Из предположения, что хоу(х) 6 Ь|( — со, оо) при всех р, вьггекает бесконечная дифференцируемость функции д. Допустим теперь, что ег~е~Дх) 6 7,г( — со, оо) при некотором б > О. Тогда д(Л) распространяется с действителыюй оси Л как аналитическая функция в полосу на плоскости е,' = Л+ ед комплексного переменного, причем ширина зто1! полосы тем больше, чем больше б. Во всяком гчучае можно утверждать, что д будет аналитической функцией при ]д] < б. Действительно, интеграл 7'(х)е ' ~ дх., очевидно, будет сходиться прн ]р] < б и определять непрерывную функцию, совпадающую с преобразованием Фурье функции )' на действительной оси.
Тот факт, что эта функция дифферепцируема при ]д] < д в смысле теории аналитических функций, доказывается совершенно так же, как свойство 6. 448 Гл. ШП. Радес Преобрагооан аа Фурье 3. Полнота функций Эрмита и Лагерра. Используя соображения, изложенные в предыдущем абзаце, можно показать, что если измеримая функция Г почтпи всюду на инптереале (а,Ь), где — со<а<Ь<оо, отлична отп О, и удоелетооряетп условию (1(х)( < < Се 4~а~, где б > О, то систпема функций (х" т(х)) (и = О, 1, 2,... ) полна е Хг(а,6). Отсюда, в частнсх:ти, будет следовать, что функции Эрмита образуют полную систему в Гг( — со, оо), а функции Лагерра- - в Хг(0.
оо) (см. п. 7 Ь' 3 гл. у'П). Докажем сформулированное утверждение о полноте. Г1редттоложим, что система (ха1(х)) не полна. Тогда в силу теоремы Хана. Банаха найдется такая ненулевая функция Ь е Ггг( — оо, оо), что х",Г(х)Ь(х)дх = О, и = 0,1,2,... (Мы использовали теорему об общем вице линейного непрерывного функционала в гнльбертовом пространстве: если рассматривается комплексное Гг(а, Ь), то вместо Ь(х) надо писать Ь(х).) Ясно, что ,ГЬ Е Гт(а, Ь) и, более того, е~й'~~Ь б Г,т(а, Ь) при любом бт < б.
В дальнейшем удобно считать, что Г(х) и Ь(х) определены на всей прямой, продолжая их, если необходимо, за (а, Ь) нулем. Пусть д— преобразование Фурье функции 16, т. е. д(Л) = / 1(х)Ь(х)е с~а дх. Из сказанного выше следует, что функция д продолжается как аналитическая в полосу )Гт Я~ < б. С другой стороны, в силу свойства б все производные этой функции при Л = 0 обращаются в О.
так что д(Л) = О. По свойству единственности, доказанному в и. 1, отсюда следует, что Г(х)Ь(х) = 0 почти всюду и, следовательно, Ь(х) = 0 почти всюду, так как Г(х) почти всюду отлична от О. Но это противоречит нашему предположению о том, что Ь вЂ” ненулевая функция. Полученное противоречие и доказывает полноту системы (ха Г (х)).
4. Преобразование Фурье быстро убывающих бесконечно дифференпируемых футткний. Пользуясь тем, что при переходе от функции т' к ес преобразованию Фурье д свойства гладкости функции и убывания ее на бесконечности меняются ролями, легко указать естественные классы функций, которые переводятся преобразованием Фурье сами в себя. Пусть з --- совокупность бесконечно дифференцируемых функций на прямой, для каждой из которых существует набор постоянных Сро (зависящих от самой функции 1 и чисел р, д) таких, что ~ ру11(х)~ < С„.
(у) 44У 1 4. Преебрезееанне Фурье, ееояеенее н нрнмененнн Покажем, что если 7' Е 5, то и д = Р[7[ б 5 . Прежде всего из (7) следует абсолютная интегрируемость каждой из функций хг,(®(х). Действительно, поскольку (7) выполняется при всех р и д, то [ р1,141( )[ < С ~ г т.е. функция ху~®(х) убывает не медленнее, чем 1/хг. Отсюда в свою очередь следует, что функция К[7"[ имеет производные всех порядков. Наконец, согласно и. 2, из суммируемости 1пе1(х) (д = 1,2,... ) следует, что д = 14[['1 убывает на бесконечности быстрее, чем 1/[Л[4.
Рассмотрим теперь функции (ъЛ)ед<Р1(Л) ( г)4Г[(хг1(х))(е)]. каждая из них, как преобразование Фурье интегрируемой функции, ограничена некоторой постоянной В . Таким образом, если 1 6 5,, то и д = 5[1[ Е 5 . Обратно, пусть д Е 5, тогда, по доказанному, функция 1'(х) = / д(Л)е и* е1х входит в 5 . Положим 7(х) =,— 7'*(-х). Ясно, что 1 б 5 . Б тоже время по формуле обращения д(Л) = 1 / )' (х)е™ Пх = (' 7(х)е и* йх, т.е. д есть преобразование Фурье функции 7" е 5 . Итак, преобразование Фурье переводит класс 5 снова в весь класс 5„.
Ясно, что зто отображение взаимно однозначно. Упражнение. Пусть 1 е 5„н )'хе7(х)нх = О при всех р > О. Следует ли отсюда, что 1(х) н 07 б. Преобразование Фурье и свертка функпий. Пусть Л и 1г — - интегрируемые па всей прямой функции. Функция г(х) = ( гг(С)1г(х — ~) ПС называется их сверпгкой. Функция 1(х) определена при почти всея х и интегрируема.
Действительно, двойной интеграл / гг(с) 6г(х — с) Йе,41х существует, поскольку существует интеграл ~Л (О 1г (О) [е1ь г(О Гл, ипб Рндьь Преабраэеаанин Фурье (см. замечание к теореме Фубини, п. 4, з 6, гл. У). Следовательно, существует и интеграл /,((х) Йх = ~ бх /' ~1(«) (т(х — «) б«. Функция у обозначается символом у1 * уз. Вычислим преобразование Фурье свертки двух функций из Ьп Применяя теорему Фубини и полагая х — « = ц, получаем з(х)е ' *Их = / ( ~ зл(«)зз(х — «)б«~е ' *Их = / У1 («)( ~ Уз(х «)е — ых Дх~ б« / (1(«)( ( )З(ц)Е 'Л"Е Ыь Й~~ а« = .~з(ц)е 'л" <ь~ ~ Д(«)е 'л~д«, т. е. ю 'я = р'у~мы Итак, преобразование Фурье переводиш операцию свертки о более простую операцию - умножение функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
