А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Второе слагаемое можно рассматривать как интегральную сумму (но только распространенную на бесконечный промежуток) для интеграла 1 3. Лоьзегрог Фурье если положить Лт = Ьг/1 и ггЛ = к/У. Поэтому формальный предельный переход в (2) при 1 — л оо приводит к раненству СЮ ео /(х) = 1 ! гУЛ / /(1)созЛ(У вЂ” х)гй. (4) е — оо Это и есть искомое представление. Введя обозначения: ал = 1 / /(1)созЛУгУ1, Ьл = 1 / /(1)гйпЛУй равенство (4) можно переписать в следующем виде, анапогичном ряду Фурье: /(х) = ! (азсозЛх+ ЬкзлпЛх)л(Л. (б) о Мы получили равенство (4), называемое формулой Фурье, с помгицью формального предельного перехода.
Можно было бы обгклновать справедливость этого перехода (при сделанных выше предположениях о фуллкцлли /), однако проще доказать равенство (4) непосредственно. Итак, докажем следующую теорему. ,У(А) = х1 / лУЛ //(1)созЛ(У вЂ” х)УЛ= 1 / /(1) '" й. — оо о — оо Заменой переменных 1 — х = х приведем этот интеграл к виду ,у(.4) = ф / у(х+ х)зги Аг лук Хорошо известное равенство — — лУх = 1, А > О, 1 гйв Аг (7) Теорема 1, Если функция / абсолютно интегрируема иа влей прямой и в точке х удовлетворяет условию Дшгн, то имеет место равенство /(х) = 1 / г(Л / /(г) созЛ(г — х) лУг. о -оо Доказательство.
Введем обозначение А оь ,У(А) = ф / НЛ / /(1) сов Л(1 — х) гй. (б) о се Нам нужно доказать, что 1пп,У(А) существует и равен /(х). Так Агоо как / абсолютно интегрируема, то внутренний интеграл в (б) сходится, а двойной интеграл сходится абсолютно. Используя теорему Фубини, изменим в повторллолл интеграле (б) порядок интегрирования: ыо !л. 1ЧП. Ряды. Нреобрпзоопния Фурье позволяет записать разность,ЦА) — У(х) в виде .1(А) — У( ) =. 1 / ~( ) ~( )з1пА И.
(8) Представим стоящий справа интеграл в виде суммы трех слагаемых: .1(А) — У(х) = -' / ~(*+') д(") з1 А И.+ / 1(х+ ) 1 я У(х) / з1пАе !е~>к ~е~йм Второй и третий члены справа представляют собой сходящиеся интегралы, и каждый из них может быть сделан меньше, чем е/3, если число М взято достаточно большим. Первое слагаемое справа (при фиксированном Л) стремится к нулю, когда А -у оо (в силу леммы 1 З 1 и условия Дйни).
Таким образом, получаем 1пп (д'(.4) — д" (х)) = О, что и требовалось доказать. 2. Интеграл Фурье в комплексной форме. В интегральной формуле Фурье (4) внутренний интеграл представляет собой четную функцию от Л, что позволяет переписать эту формулу в виде Г(х) = 1 / НЛ / Г(1)созЛ(1 — х)Ф. (9) / 4Л / 1(1)з1пЛ(1 — х)<Й =0 (10) (если интеграл по Л понимать в смысле главного значения, т.е. как 1пп / ) . Прибавив к (9) равенство (10), умноженное на — е, полу- К->оп чим оо оо де( ) 1 / оЛ / е(~ с — ел!е — я1,11 Это равенство мы будем называть комплексной Формулой Фурье. Далее, из абсолютной интегрируемости функции ~ следует, что интеграл / д'(1) з1пЛ(1 — х) е1г существует и представляет собой нечетную функцию от Л, Поэтому 441 1 4. !1регяраоооание Фурье, еоопегаоа и ари.мгнгниа з 4.
Преобразование Фурье, свойства и применения 1. Преобразования Фурье и формула обращения. Интегральную формулу Фурье можно расчленить на два равенства. Положим ою д(Л) = ~ д1)е 1леей. (1) Тогда Дх) = 1 / д(Л)е'л'г1Л. () Заметим, что формула (1) имеет смысл для любой абсолютно интегрируемой функции 1. Таким образом, каждой 1 б Ь|(-оо, оо) мы с помощью формулы (1) сопоставляем определенную функцию д, заданную на всей числовой прямой. Функция д называется преобразованием Фурье исходной функции у. Формула (2), выражающая 1 через ее преобразование Фурье, называется форледлой обращения для преобразования Фурье.
Следует обратить внимание на сходство между формулами (1) и (2). Вторая из них отличается от первой липп знаком в показателе и множителем 1/(2я) перед интегралом. Можно было бы достигнуть здесь еще большей симметрии, определив д формулой д(Л) 1 ~ 1 (х)е -ела пх иг2я (1') Тогда формула обращения приняла бы вид ПХ) = 1 1г д(Л)веха Еи, (2') т, е, различие осталось бы только н знаке показателя экспоненты.
Однако при всем их внешнем сходстве формулы (1) и (2), по существу, различны: в первой пз пих интеграл существует в обычном смысле (поскольку / Е Ь1( — со, со)), а во второй, вообще говоря, лишь в смысле главного значения. Кроме того, раненство (1)-- это определение функции д, а в равенстве (2), представляющем собой иную запись интегральной формулы Фурье, содержится утверждение, что стояецяй там справа интеграл равен исходной функции 1. Как мы видели вьппе, лля обеспечения етого равенства на 1 надо наложить, помимо интегрируемости, еще дополнительные условия. скажем, условие Дйпи.
Замечание. Мы определили преобразование Фурье д для всякой функции 1 из Е~( — со, со) и показали, что функция У, удовлетворяющая условию Дйни в каждой точке, выражается с помощью !ьк Пьь!. ради. преобразования аьррас формулы обращьния через свое преобразование Фурье а. Это положение вещей в ьочьнкти аналогично тому, которое имеется для рядов Фурье.
Дейспьитсльно, коэффициенты Фурье с„= ~ — / дх)е ь"кьсх — л опРеделены длЯ всЯкой 1 6 Ьь( — Я,к), однако сходимость РЯДа Фурье „еь"* и=-со (играющего здесь роль формулы обращения) можно гарантировать лишь при определенных дополнительных условиях (условие Дйни). Вместе с тем для преобразования Фурье (как и для ряда; см.
конец з 2) имеет место следующее: если для функььии ~ б ьь( — оо, оо) 1(х)е ' * с!х = О, то у(х) = О почти всюду. Действительно, из написанного выше равенства вытекает, вопервых, что для всех действительных ! и Л 1(х+ !)е ь~*ь!х = О. Положим теперь 4 иь(х) = / ((х+ !) с!!., а где 4 — произвольное фиксированное действительнее число. Применяя теорему Фубини и используя условие, наложенное на функцию ь, легко усмотреть, что функция ьр (которая, как и ~, прьььь.длежит Ьь ( — оо, оо)) удовлетворяет тому же условию, т.
е. ьр(х) е ' * с!х = О при всех действительных Л. Но, как легко видеть, функция ьр абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке и, следовательно, почти всюду обладает конечной производной. В частности, эта функция почти всюду удовлетворяет условию Дйни. Поэтому в силу теоремы ! Э 3 она почти всюду обращается в О, так как ее преобразование Фурье есть тождественный О. Но р непрерывна, так что ьр(х) ря О. Из этого выгекает, и частности, что при всех действительных с )' У(!) !! = О а и, следовательно, ь(т) = О почти всюду. 443 1 4. Преобразование олурис, свойства и иримемемив Рассмотрим теперь некоторые примеры. 1.
Пусть у (х) = е т~'~ (7 > О). Найдем преобразование Фурье этой функции. Имеем Е(Л) = / Е '~с~в гйв44Х = ~ Г. т~е~(СОВЛХ вЂ” 4ЗШЛХ)Е(Х = = 2 ~ е твсозЛхдх. о С помощью двукратного интегрирования по частям находим (Л) 7 2. Пусть )'1 при )х~<а, 10 при (х)>а. Тогда ос в Ло -Лс д(Л) = Р ((х)е |л*лт = Р е л д с' — е ' 2в1аЛа 4Л Л (Следует обратить внимание на то, что функция д здесь н е п р и- надлежит ьл( — оо, со).) 3, Пусть ((х) =, 1,. Тогда х +а (Л) г „-ос дх х +а (3) д(Л) = — 2я)е, = ке ' при Л > О. Этот интеграл проще всего вычислить с помощью теории вычетов. Пусть сначала Л > О.
Дополнив действительную ось, по которой берется интеграл (3), полуокружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в нижней полунлоскости (т. е. в той, где зкслонента е 'л* стремится к нулю), получим, что интеграл (3) равен сумме вычетов подьпгтегрзльной функции в нижней полуплоскости., умножешюй на ( — 2я1). В нижней полуплоскости функция -с — — с имеет х +а один полило первого порядка в точке х = — ае',. Вычет в этой точке находится по известной формуле: если з'(г) = —" и чо(а) 44 О, а ф(г) р(с) ф(с) имеет в точке г = п нуль первого порядка, гао вычет функции З" в точке а равен —,.
Поэтому в нашем случае получаем лс(а) Чл (а) 444 Га. Ч4Н. Рндм. Лреаеуаэааания Фурье При Л < 0 аналогично (рассматривая только верхнюю полуплоскость вместо нижней) получаем д(Л) = —,е Таким образом, окончатслыю е(Л) = -„г '", -оо(Л(оо. Впрочем, этот результат можно получить сразу по формуле обращения, эиспользуя пример 1 и теорему 1 Э 3. -аээ 4. Положим Дх) = е " . Имеем у(Л)= ~ е х е 4*йх. (4) Здесь под интегралом стоит аналитическая функция, не имеющая особенностей в конечной части плоскости и стремяп4аяся к нулю вдоль каждой прямой, параллельной действительной оси.
Поэтому в силу теоремы Коши интеграл (4) не изменит своего значения, если его взять не по действительной оси, а вдоль любой прямой х = х+эу (у = совет), параллельной этой оси. Таким образом, (Л) )г -а(х ну) -эл(хз иу) ау~4 Лу у,— «х — уаэху-эЛх,1, ауээзу г — ахэ — эх(уауеЛ) 1 Выберем теперь постоянное значение р так, чтобы в показателе подынтегральной экспоненты исчезла мнимая часть., г.е. положим у = -ЛД2а). Тогда „э „2 аа э „э /— д(Л) =Е «.У УГ (х Е ах 4(Х=Е поскольку у е'*44: = ф В частности, если положить а = 1/2, то мы получим ДХ) = Е * ~З, й(Л) хх Ч'2яс т.
е. функция е * ~э переводится преобразованием Фурье сама в себя (с точностью до постоянного множителя). 2. Основные свойства преобразования Фурье. Из формулы (1), определяющей преобразование Фурье, вытекает ряд свойст в этого преобразования. Рассмотрим згн свойства. Для сокращения записи будем преобразование Фурье функции ( обозначать символом 44б 1 4. Ореоброзооопис Фурье, сооастпоо и ттримснопия Ц то[. Иначе говоря, лты обозначим через Р линейный оператор, определенный на пространстве Х,т( — оо,оо) и ставящий в соответстние каждой функции из этого пространства ее преобразование Фурье '). 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
