А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Функции 1, сових, зилах, и = 1,2,..., образуют в нем полную ортогональную систему, поэтому для каж- дой функции 1 б 1 з[ — н, к[ ряд Фурье + ~~' оп соь' пх + 6» 81п пх, (2) где 6„= 1 э( Дх)з)ппхс(х, (3) -л ) Заменив, есни нужно, )(х) эквивалентной функцией, мы можем считать, что 1(-в) .= 1(т). а„= 1 ( 1(х) созпхЙх, -л сходится к 1 в среднем квадратичном, т. е, в метрике пространства 1 з [-к,.г). Однако в связи с применением рядов Фурье к задачам математической физики и другим вопросалл будет существенно установить условия, гарантирующие сходимость ряда Фурье к 1 не только в среднем, по и в данной точке, всюду, или даже равномерно. Мы установим сейчас условия, достаточные для сходимости тригонометрического ряда в данной точке.
Сделаем некоторые предварительные замечания. Вместо функций, заданных на отрезке [ — в,к], мы можем говорить о периодических функциях с периодом 2к на всей прямой, поскольку каждую функцию, заданную на отрезке, можно периодически продолжить'). Далее, функции, образующие тригонометрическую систему, ограничены, поэтому формулы (3), определяющие коэффициенты Фурье по этой системе, имеют смысл для любой Гя. |ПП. Ряды.
Прооброзооонэя Фурье суммируемой функции') (а не только для функций с сумми- руемым квадратом). Таким образом, каждой функции д' Е Е |( — я, х) отвечают совокупность ее коэффициентов Фурье и ее рцд Фурье ~(Х) 2 + ~~~ ЯпСОБПХ+5оз!ППХ. Перейдем теперь к вопросу о сходимости этого ряда в данной точке х к значению функции у в этой точке. Положим яи(*) = ае + ~~| аьсоз)сх+Ььв)пкх. (4) Преобразуем сначала Я„(х), подставив в (4) вместо коэффициентов аь и бь их ивтегральные выражения (3). Обозначив переменную ин- тегрирования через 2, л|ы получим и Ян(х) = 1 )' у(2)) -1+ ~~ созяхсозй1+ в)пйхэ)пИ) |)! =- — о й=| и п / Д!) ~ + ~~ сов()с(! Х)) ~ М.
Воспользовавшись хорошо известной формулой з) э|п дазй'-и 2~+сови+соз2и+... + созпи = -2,эй (5) будем видеть — к 3 (б) ) При этом, конечно, для произвольной суммируемой функции никаких утверждений о сходнмости ряда (2) мы не делаем. ) Для получения этой формулы достаточно просуммировать равенства в|п ио — — но 2в!п ио, и 1 и в|п — — ап — = соек 2в|п —, Зи и . и 2 2 2' в|п и — в|п к =- совок ° 2в|п и. Это представление Я„(х) и различные его модификации называются интегралом Дирихле.
222 1 П Усааааа схадамассаа лада Фурье сделаем замену, положив 1. — х = 2. поскольку под интегралом (б) стоит пс"риодическая функция с периодом 2л, интеграл от нее по любому отрезку длины 2л имеет одну и ту же величину. Поэтому и при интегрировании по х мы можем сохранить прежние пределы — л и л. Получаем 22!и 2 Функция 2аа1 2Л 51п -' ЯП 2 называется ядром Дирихле. Из равенства (5) сразу видно, что при любом п л / Р„(2) Н2 = 1.
Используя это равенство, запишем разность Я„(х) — г(х) в виде л 2!в 2"т1Л ~.(-)-~(х) =2' ~ У(*+ )-~(-)] ' д' (7) 2 — л Таким образом, мы свели вопрос о сходимости 5„(х) к 7'(х) к вопросу о стремлении к нулю интеграла (7). Исследование этого интеграла опирается на следук!щую лемму. Л е м м а 1. Если функция сс суммируема на отрезке [а, Ь], то ь 1цп / у(х) 21прхдх = О.
1Э-! ас а Доказательство. Если 62 — непрерывно дифференцируелсая функпия, то с помощью интегрирования по частям получаем, что при р -+ оо ь 6 6 1 62(х) к!прхс(х = — 1р(х) ~*! + ~ сс'(х) рх с(х -+ О. (8) а а Пусть теперь 62 — произвольная суммирусмая на [о, Ь] функция. Поскольку непрерывно дифференцируемые функции всюду плотны в 11[а, 61, для любого е > О найдется такая непрерьпию диффсрен- цпРУемаЯ фУнкпип асс,что 6 / ~22(2 ) сь ( г)~да ( (О) , 1алее., имеем [ 1 ' (х) 21прхдх! < [ [ [62(х) 'рс(х)] 21 рхс!х~ + 1 ) !р (х) з! рхдх! ° бза Ра МПП Ряды, Преабраааааиьа Фурье Первое слагаемое справа меньше, чем е/2, в силу (9), а второе— стремится к пулю при р -+ оо согласно (8). Лемма доказана. Теперь мы легко можем доказать следующий достаточный признак сходимости ряда Фурье.
Теорема 1. Ксии 7 -.— суммируемая функция и прн фиксированном х и некотором 6 > 0 интеграл у! П*ч с) у(*)! а (10) -б существует, то частичные суммы Яа ряда Фурье фут<пни 7 сходятся и этой точке х к )(х). Доказательство. Перепишем интеграл (7) в виде Г 1(х+ ) — Пх) и з,п2н+1 я / 2аш=,' 2 г Если функция (11) Замечания. 1. Сходимость интеграла (10) называется условием,((нни.
Оно, в частности, выполнено, если в данной точке х функция 7" непрерывна и имеет конечную производную, или хотя бы правую и левую производные. Рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, останутся в силе, если вместо условия Дини потребовать сходнмости следующих двух интегралов; у 7(х + е) — б(х — 0) ) )г 7(х + я) — /(х -> О) -б в где 1(х — О) и б'(х + О) суть левый и правый пределы функции б в точке х (предполагается, что х есть точка разрыва первого рода для 7). Действительно, разность У(х+ О) + Пх — 0) а(х— 2 Г" (х т е) — У(х) интегрируема (по «) в пределах от — б до д, то она интегрируема и на всем отрезке ( — я, и] (поскольку )' Е Е,1( — к, -г)). Но тогда интегрируема и функция б'(х+ е) — б(х) 2аш (е/2) ' поэтому к интегралу (11) можно применить лемму 1, и мы получаем, что этот интеграл стремится к нулю, когда и -б оо.
429 1 и Услоеия схийимоети ряда Фурье можно представить в виде 1 зш / [/(х+ г) — /(х — 0)) . г дг+ 2 гйп(г/2) к тпч-1 + и /[/(х+ г) — /(з:+0)1 . дг:, ' 2 я!и(г/2) при условии существования интсгралов (12) эти ныражения стремятся к пулю, когда и -з со. Отсюда вытекают достаточные условия «глобальной» сходнмости ряда Фурье, обычно приводпмыс в курсах анализа. Пуспгь / — ограниченнол уункцня с периодом 2к, имеющая разрывь1 лишь первого рода, и пусть / имеет в калсдой томке левую и правую произоодныг ). Тогда ге ряд Фурье сходив!си всюду, а гго сумма равна /(х) в точках нспргрывно- 1 о сти и равна 2 (/(х+О)+/(х — 0)) а точках разрыва.
2. Ядро Дирпхле П„(г), игравшее основную роль в наших рассуждениях, Рис. 22 предстанляет собой функцикц приник!а!о- 2н+ 1 шую в точке г = 0 значение и при больших значениях и бы- 2к стро колеблюшу)ося (рис. 22). В силу этого обстоятельства основной вклад в интеграл / /(х + г) Ои(г) дг при больших и дает лишь сколь угодно малая окрестность точки х. Для функций, удовлетворяющзих услови!о Дйни, этот вклад стремится к /(х) при п -з со. Можно сказать, что ядра Дирихле .0 образуют последовательность функционалов, сходящуюся, в некотором смысле, к б-4зункции на множестве функций /, разложимых и сходящийся ряд Фурье.
Ясно, что в смысле обычной сходилюсти последовательность ( /2 не стремится нн к какому пределу, поэтому, исследуя интеграл (7), мы не могли применить какие-либо стандартные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. " В тачке ) В тачке разрыва иерпоте репа левая и правая пролзаедные понимаются как /(х — и) — /(х — О) . /(х 4 6) — /(х + О) а ее а -ч от соответственно. 430 Ря. ГгП!.
Ряды. 11ряобраяовянпя Фурье Действительно, числитель дроби 1„Я т1 обращается в 1 в точках, где а(Й+2)я'ЙО'1п (14) Окружим каждую из точек, определяемых условием (14), интерва— з — — я (й. 2п+1 2я+1 2 (15) Длина любого из них равна, очевидно, 3 2 1 . В каждом из этих 4гг ' 3(2п + 1) ' интервалов ~з1п г~ не меньше чем 11'2. Оценим величину ьйп Я 2п+1 2 на гг-и интервала (й = О, 1,..., и). Имеем Поэтому ггнтеграл от )22„(а)'„взятый только по промежуткам. определяемым условием (15), больше, чем сумма 1 ~ 1 1 4гг 1 ~ 1 2я ~ 2 яег х 3(2п ~ 1) 3г 4 1 1 1' ь=о Эта сумма стремится к со при и -э оо. Отсюда вытекает соотношение (13). Оно означает, что нормы функционалов Он в пространстве 3.
Условие Дйни, обеспечивающее сходимость ряда Фурье, можно заменить другими условиями, но просто отбросить его в теореме 1 нельзя. Действителыю, даже среди непрерывных существуют функции с рядом Фурье, расходящимся в некоторых точках. Среди суммируемых функций существуют такие, ряд Фурье которых расходится всюду (А.
Н. Колмогоров). Еще в 1915 г. Н.Н. Лузин поставил следующую проблему: существуют ли в Ьз функции, для которых ряд Фурье расходится на множестве положительной меры? Как показал Л. Карлесон (1966 г.), таких функций не существует. Тот факт, что существуют непрерывные функции, для которых ряд Фурье сходится не во всех точках, легко вытекает из общих теорем о слабой сходимости функционалов (п. 3 3 3 гл. 1Ч). Заметим прежде всего, что ~22н(г)~г2з — > оо при и — 1 оо. (13) 1 и Условия лхлдимллльч ряда Фврлл непрерывных функций не ограничены в совокушюсти. Но тогда в силу теоремы о слабой сходимости функционалов эта последовазельность не может быть слабо сходящейся на пространстве непрерывных функций, т.
е, имеются непрерывные функции 1, для которых л 1пп / Рл(х)((х) дх не существует. 2. Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Мы установили условия, достаточные для сходимости ряда Фурье некоторой функции Г в каждой точке. Класс функций, удовлетворяющих этим условиям, весьма широк, и даже непрерывность вовсе не необходима для представимости функции суммой всюду сходищегося тригонометрического ряда. Положение несколько изменится, если мы будем интересоваться условиями равномерной сходимости ряда Фурье.
Ясно, что если Функция г"(х) имеет хотя бы один разрыв, то ее ряд Фурье нс может сходиться к ней равномерно, поскольку сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда непрерывна. Таким образом, непрерывность функции есть необходимое (но, конечно, не достаточное) условие равномерной сходимости ее ряда Фурье. Простое достаточное условие дает следующая теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
