А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Действительно, полагая ~/1-хе те В, дх = — в!пдеЮ, х = сов д, мы получим многочлены, совпадающие с точностью до постоянного множителя с так называемыми мноеоцленами Чебышева, которые определяются формулой 419 1 3. Ортиоеоиаоииые системы 44зиепиа о Ье получаем Их = ~ совт9созпйпд = 4( 2 Т (х)Т (х) ( я прн т=п, -1 О (О при тфп. Т. Ортогональный базис в нространствак Ьт(-оо, оо) н Ез(0, оо).
Выше мы рассматривали ортогональные системы на отрезке, т.е. на множестве конечной меры. Рассмотрим теперь случай бесконечной меры, анменно, пространством( — со,со) функций с интегрируемым квадратом на всей числовой прямой. Ортогональную систему функций в нем нельзя построить нп из многочленов, ни из тригонометрических функций, ибо пи те, ни другие не принадлежат этому пространству.
«Материал» для построения базиса в Лз( — со, оо) естествешю искать среди функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. В частности, такой базис можно получить ортогонализацией последовательности х"е ' Iг, и = 0,1,2,. е Действительно, всякая функция вида Р(х)е ' Уз, где Р— мпогочлен, принадлежит, очевидно„Ез( — со,оо), а полнота системы (12) будет доказана в и. 3 З 4 гл. Ы11.
г ., Применив к Функциям х"е * ~з процесс ортогонализации, мы получим систему функций вида х„(х) = Ни(х)е ' ~~, п = 0,1,2, () где ̈́— многочлеп степени и. Эти многочлены называются мноеочленамп Эрмита, а сами функции х„— функциями Эрмита. Нетрудно показать, что многочлены Эрмита совпадают, с точностью до постоянного множителя, с многочленами о Н„*(х) = (-1) "е* Действительно, многочлен Н„"имеет, очевидно, степень и, а соотно- шение ортогональностн оо е / Н' (х)Н„'(х)е * ах = О, т ф. и, легко получить интегрированием по частям.
В силу теоремы об ортогонализации существует лишь одна, с точностью до постоянных 2 рт множителей, система ортогональных функций нида Р„(х)е * 'т, где Є— многочлен и-й степени. 420 Го, УП. Пространства суммируемих функций Полученный результат допускает и такое истолкование. Рассмот- 2 рим на прямой меру р, имеюшую плотность е *, т.е, такунн что в 41р = е 41х. Это — конечная мера. В пространстве функций, интегрируемых с квадратом по этой мере, скалярное произведение имеет вид (У,д) = ( ~(х)д(х)е * пх, а многочлены Эрмита образуют в нем ортогональную систему. Рассмотрим, наконец, пространство Ьз(0, со) функций с интегрируемым квадратом на полупрямой.
Взяв в нем систему функций х"е х, о=0,1,2,..., и применив к ним процесс ортогонвлизации, мы получим систему функций Ь„(х)е называемых фуякциямн Лагерра. Соответствующие мяогочлены Ь„называются многочленпмн Лагерра. Многочлены Лагерра можно рассматривать как ортогональный базис в пространстве функций, квадрат которых интегрируем на полупрямой (О, со) по мере 41р = е * дх.
В п. 3 З 4 гл. ЧП1 мы докажем, что система функций Лагерра полна в Еэ(0 Со). 8. Ортогональные многочлены с дискретным весом. Пусть п + 1 различным точкам хе, хы ..,, х„действительной прямой приписаны в качестве «весов» положительные числа ро, ры..., р„, а мера р определена формулой д(Е) = р ры т. е, р(Е) равна сумме весов, содержащихся в Е точек хы Измеримыми по втой «вырожденной» мере являются здесь любые множества и функции на прямой, причем любое множество Е, не содержащее точек хь (к = О, 1,..., и), имеет меру О. Тем самым интеграл но всей действительной прямой от функции г равен / Дх)41н = ~~~ рьДхь), 1 3. Ори!агина»инне сисигеггн функций е /.г 42! а скалярное произведение дается формулой и (/,д) = '! рь,((хь)д(хь).
!.=о Очевидно, что функции / и д будут эквивалентны по мере р, если /(хь) = д(хь) во всех точках хо, х!,...,х„,и только в этом случае. Для этого вырожденного случая задача наилучшей аппроксимации в смысле расстояния в Гз сводится к определению сумм при нашей мере /г линейно независима, так как скалярное произведение (х", х') выражается формулой и (х', х') = ~~! р!,х'+' о=о и детерминант Грама системы (13) есть (суммы по й от О до п) г х рьхь рь ~ , 'рьхь ~,рьхь ~ рьхз ~„рьх!. .нт! /ро /р! /ри /рохо ь/ргх! .~рггх„ /роохон !/Р! х, "...
/Р„х'„' ~, рьх", 1 ' Ф О. хо х! — рор! Ри хи Хи о ! .. н св!Ро + с! Р! + ' ' + сг 'Рог ~ обращающих в минимум выражение п Лг 2 ро(/(хь) — ~~ с!гр!(хь)), ь=.о /.=1 т, е. к задаче «интерполирования по методу наименьших квадратов». В связи с задачей интерполирования по методу наименьших кввдра'ков многочленами заданной степени П.Л.
Чебышев развил теорию ортогональных многочленов. Чтобы изложить относящиеся сюда результаты Чебышева, заегетиы, что система !'в. И!. !!роетранетва сумыируемык функций Наоборот, функции х" при г > и линейно зависят от функций системы (13), так как в пашем случае пространство Ьк имеет размерность и+ 1. Поэтому процесс ортогонализации приводит к конечной системе многочленов РО) Рг~ ортонормальных в том смысле, что ркР„(хк)Р,(хк) = б„, к=о и каждая функция у разлагается в конечный ряд а с„Р„, с=о где а с, = 1 ркР„(хк)у(хк).
К=О В точках хк выполняются равенства Дхк) и ~ с Р,(хк), й т 0,1,...,и, сео т.е. полная сумма ряда есть просто интерполяционный многочлен Лагранжа. Неполные суммы т Цт = ~ ~с,Р„, тл < и, с=о являются многочленами пг-й степени, приближающими у в точ- ках хк наилучшим способом в том смысле, что выражение рк(1(хк) — Д (хк))~ К=О для Я,н меньше, чем для любого другого многочлена той же степе- ни пг.
9. Системы Хаара и Радемакера-Ъеолша. Хааролг был построен следующий пример полной системы функций на отрезке (О, Ц. Система зта состоит нз функции Ио=! и серий УО1; ~1ы ог~г, уггг, ига: Оокз., Фге. 423 1 3. Ортогоназьнме гигтемн фунтгип е бг (и-я серия содержит 2" Функций), где О < х < 1/2, 1/2 < х < 1, (+1, гго1 = ) г/2, 0<г,<1/4, Фм = -г/2, 1/4 < х < 1/2, О, 1/2<х<1, О, О<я<1/2, Угг = г/2, 1/2 < х < 3/4, -и/2, 3/4 < х < 1.
Вообще, положим (в точках разрыва значения функций можно брать про- изволыгыми) г — 1 г — 1 — <х< — + 2" 2" г — 1 1 + — <х< 2" 2ню 1 2" +! 2' ' 2е/г /г ь ~ 2" '2"1' О, в=01 г=12 2" 1+~ 2 =2еш ь=о то функция Ро и функции ьге; серий й = О, 1,..., и образуют в М +г полную систему линейно независимых векторов. Отсюда, принимая ва внимание, что любая непрерывная функция может быть сколь угодно точно аппроксимирована функцией из Мн ы (при достаточно большом и), мы убеждаемся в полноте нашей системы.
Рассмотрим еще один пример ортонормальиой системы функций на отрезке [О, 1], принадлежащий Рзлемахеру. Положим Иными словами, функция ьг„получается следующим образом: сегмент [О, 1[ делится на 2' равных частей его причем на интервалах Л, (г = 1,...,2 ) функция 1о принимает попеременно значения +1 и — 1. Ортонормальность системы гго, ггы -., ггт Легко видеть, что построенная система ортонормальна. Докажем ее полноту. Разобьем отрезок [О, 1[ на 2 +' равных интервалов г3, и рассмотрим множество М ы всех функций, сохраняющих постоянное значение на каждом нз интервалов Ьь Очевидно, М„,.1 есть линейное подпространство размерности 2"+г.
Кроме того, все функции нашей системы до функций и-й серии включительно войдут в Ме ьо Так как эти функции в силу ортонормальности нашей системы линейно независимы и так как их число равно Гл. И1. Иресшранстпеа суммируеммх Функций очевидна. Эта система не полна. Это следует хотя бы из того, что, например„ функция 1, если 0<я<1/4 или 3/4<к<1, -1, если 1/4 < к < 3/4, ортогональна ко всем функциям системы (14). Однако последнюю можно расширить до полной ортонормальной системы, добавив к ней функции вида уьаь, „= 1с,,1с,а„, 0 < т1 < тз « ты (15) Очевидно, что расширенная таким образом система, называемая системой Радемахера — Уолша, останется ортонормальной. Кроме того, она уже будет полной.
Доказательство етого проводится аналогично доказательству полноты системы Хаара. Г.ПАВА У1Н ТРИГОНОМЕТРИл1ЕСКИЕ РЯДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 3 1. Условия сходимости ряда Фурье 1. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке. Рассмотрим снова пространство бз[ — щк] функций с суллмируемым квадратом на отрезке [ — н,к[. Это. как было показано в гл. Ъ'11, — полное бесконечвомерное евклидова пространство, т. е. гильбертово пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
