А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 76
Текст из файла (страница 76)
(13) Выберем рациональные точки г' и г" так, что г' < к' < гп и г' > > т' — Ь, г" < х* + б. Пусть теперь пе настолько велико, что при п > пв выполнены неравенства ]Ф„(г') — Ф(г')] < е/6, ]Ф„(г") — Ф(г" Ц < е/6. (14) Гл. И. Неопределеннмй инпгегрол Леоега Из (13) и (14) слелует, что [Ф„(г') — Ф„(го)[ < %г. Так как функция Ф„неубывающая, то Ф„(г') < Ф„(х') < Ф„(гп). Поэтому ]Ф(х') — Ф„(х') ] ( [Ф(х') — Ф(г')] + ]Ф(г') — Ф„(г') [+ + [Фн(г ) — Фп(х )[ ь $ + х + 6 — — ьг а это и значит, что йпг Ф„(х') = Ф(х').
п-гоо Итак, мы построили последовательность функций из ЛХ, сходящуюся к предельной функции Ф всюду, кроме, быть может, точек разрыва функции Ф. Так как множество таких точек не более чем счетно, то, применив снова диагональный процесс, можно вз последовательности (Ф„) выделить подпослеловательностьн сходящуюся и в этих точках, т.
е, всюду на [а, Ь]. 6. Обппей вид линейных непрерывных функционалов в пространстве непрерывных функций. Выше мы уже указывалн некоторые применения интеграла Стнлтьеса. Сейчас мы рассмотрим еще одну задачу, связанную с этим понятием, а имешю, выясним общий вид линейного функционала в пространстве С[а, Ь]. Теорема 4 (Ф. Рисс). Всякий линейный непрерывный функционал и' в пространстве С[а, Ь] представим в виде ь Ь.(Х) = Х Х(х)йФ(х), (15) и где Ф вЂ” - некоторая функция с ограниченным изменеииелг|).
Прн этом 1 ;ь[Ф] Доказательство. Пространство С[а,Ь] можно рассматривать как подпространство пространства ЛХ[а, Ь] всех ограниченных функций на этом отрезке, с той же нормой [[Х [] = зпр]Х(х)[, что и в С[а, Ь]. Пусть и' — непрерывный линейный функционал на С[а, Ь]. По теореме Хана-Банаха его можно продолжить, с сохранением нормы, с С[а, Ь] на все ЛХ[а, Ь]. В частности, такой продолженный функционал будет определен на всех функциях вида Ьа(х) : — О, Л,(х) = ' (16) О при х>т, велит>а.
) Здесь имеется и аиду интеграл по отрезку (а,Ь). 1 6. Иии~еграи Стииилиеса Положим Ф(т) = Е(Ь, ) (17) и покажем, что функция Ф имеет ограниченное изменение на отрезке [а, Ь]. Действительно, возьмем произвольное разбиение а=хо <хл « ..х„=о (18) этого отрезка и положим оь = зйп(Ф(хь) — Ф(хь л)), Ус = 1,...,п. Тогда и и 2 ]Ф(хь) — Ф(хь л)] = ~~~ ель(Ф(хл) — Ф(хь л)) = и и аьР(܄— Ь,„,) = г [ ~~ аь(Ье„— Ь,„,)) < ь=л ь=л < ]Щ]- (~~ оь(Ь.„- Ь.„,)]]. Но функция ~, аь(܄— Ь„,) принимает лишь значения х1 и О.
ь=! Следовательно, ее норма равна 1. Таким образом, и ]Ф(хь) — Ф(хь л)] < ]]г'][. ь=л Поскольку это верно для любого разбиения отрезка [а, Ь], то \/"[Ф] < Щ[. Итак, мы построили по функционалу Г функцию Ф, имеющую ограниченное изменение. Покажем, что именно с помощью этой функции функционал Е записывается в виде интеграла Стилтьеса (15). Пусть у — произвольная непрерывная функция на [а, Ь]. Зададим положительное г н выберем д > О так, что ],л(хи) — ~(х')] < е при ]хи — х'[ < б. Выберем теперь разбиение (18) так, чтобы длина каждой из частей была меньше б, и рассмотрим ступенчатую функцллю (,: ге(х) = ~(хь) при хь, < х < хю Й = 1,...,п, 1е(а) = ((а).
Ке, очевидно, можно записать в виде и 1,(х) = Ямаха)[Ь,„(х) — Ь „,(х)], Хл. РЬ Неопределенный пнтпегрил Левела где ˄— функция, определенная равенством (16). Ясно, что ]1(х) — уе(х)] < е при всех х (а < х < Ь), т.е. ]]Дх) — 1,(х)]] < е. Найдем значение функционала Г на элементе уе. В силу линейности этого функционала и опрсцелення функции 6, оно равно и и Г(дг ) = ~~~ дг(хь)]Г(ггг „) — К(Ь „,)] = ~~~ де(хь)(Ф(хй) — Ф(хь-г)], ь=1 1=1 т.е. представляет собой интегральную сумму для интеграла (' Дх) ИФ(х). а Поэтому при достаточно мелком разбиении отрезка (а, Ь] ь ]г (1,) — /1(х) ИФ(х)) < е. а Но в то же время ]Г(У) -Г(У,)] <]]Г]] ]~У-У,]] < Щ~ е. Следовательно, ь ]г ( г) дг г(х) егФ(х)~ < Е(1 + ]] г ]])г откуда в силу произвольности е получаем равенство ь Е(1) = /1(х)е1Ф(х).
а Мы показали, что полное изменение функции Ф, определяемой формулой (17), удовлетворяет неравенству ~ ]Ф]<]]П (19) С другой стороны, из теоремы о среднем для интеграла Римана- Стилтьеса сразу следует, что ]]г]] < ФФ]. (20) Сравниван (19) и (20), получаем равенство 1 ь(Ф] Теорема полностью доказана. Ь б. Иьвсьгрпь Стссссвьеси Замечание. Ясно, что взяв произвольную фуикцисс> г ограни- ченным изменением Ф на отрезке [а, Ь] и положив ь )г(й = ~ Х(х) с1Ф(х), а мы получим линейный функционал на пространстве С[а, Ь].
При этом две функции, Фс и Фз, совпадающие на [а, 6[ нсюду, за исклю- чением не более чем счетного множества внутренних точек этого отрезка, определяют сщин и тот же линейный функционал; обрат- но, пусть Фс и Фз определяют один и тот же функционал на С[о, Ь], т. е. ь ь / Дх) ссФь (х) = ~ Дх) с(Фз(х) а в для каждой непрерывной функции 7.
Отсюда легко следует, что Фс — Фз — — сопзс во всех точках непрерывности функции Ф1 — Фз, т.е. всюду, кроме, быть может, конечного или счетного множества точек. Таким образом, каждому непрерывному линейному функциона- лу на С[а, 6] отвечает класс функций с ограниченным изменением на [а, Ь], причем Фс и Фз принадлежат одному классу в том и только том случае, если их разность отличается от постоянной не более чем в счетном числе внутренних точек отрезка [а,Ь]. В каждом таком классе можно выбрать одну и только одну функцию, равную ну- лсо в точке и и непрерывную справа всюду на полуинтерввле (оп Ь]. Функции, удовлетворяющие этим условиям, образуют в простран- стве всех функций с ограниченным изменением на [а,6] замкнутое линейное подпространство, которое мы обозначим Ив[а, Ь].
Заметим, наконец, что для любого функционала Е на С[а, Ь] соответствующая функция Ф(г), определяемая равенством (17), есть функция имен- но из Ив[а, Ь]. Так как для таких Ф(т) было установлено равенство [[Г[[ = 1сь[Ф], по теореме 4 можно придать следующий вид. Теорема 4'. Существует язоморфное (т.е, взаимно однознач- ное, линейное и изометричнос) соответствие между лространсгвамп (С[а, Ь])" я Ив[а, Ь], устанавливаемое равенством ь Р(У) = У Пх) с1Ф(х).
а Такое представление линейного функционала с помощью функ- ции из Ив[а, Ь] мы будем называть каноне сеским. Из этой теоремы легко получить следующую теорему о кано- ническом представлении линейного функционала на пространстве С'[а,6] непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций, играющую существенную роль в вариационных задачах. !л. гт.
Веанргдгланнни интеграл Лгбгга Теорема 5. Всякий линейный функциоиач в пространстве С~[о, Ь] можно представить одним и только одним способом в виде Р(() = о~(а) + [' г'(х) г4Ф(х), (21) а гд: С[а, Ь] — ~ В, что для каждой функции д с С [о, Ь] Р(у) = гр(Ау). Каждая функция у й С'[а, Ь] может быть представлена в виде 1(х) = У(о) + д(х), д Е С' [о, Ь].
(22) Поэтому Р(У) = Р(У(о)) + Р(д). (23) В силу теоремы Рисса, равенства (22) н определения оператора А имеем: ь Р(д) = гЬ(Ад) = ~ д'(х) г4Ф(х), а ь Р(д) = ( У'(х)~1Ф(х), а поскольку у'(х) = д'(х). Пусть о — значение функционала Р на функции, тождественно равной единице. Тогда из (23) и (24) окон- чательно получаем представление (21). (24) где о — чигло и Ф е Ко[а, Ь].
До к азат ел ь ство. Рассмотрим в С' [а, Ь] подпространство С'[и, Ь] функций, удовлетворяющих условию Да) = О, и оператор А = Ы/дх, переводярдий зто подпространство во все пространство С[п,Ь]. Пусть Р— линейный функционал на С'[п,Ь]. Рассмотрим его сначала только на подпространстве С' [а, Ь]. Теперь к оператору А: С'[а, Ь] -+ С[о, Ь] и функционалу Р: СДпгЬ] -~ Н можно применить лемму о тройке (гл. 1Ч з 5, п. 4).
В силу этой леммы найдется такое линейное отображение: ГЛАВА Ъ'|1 ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ Один из важнейших классов нормированных пространств составляют пространства суммируемых функций, в первую очередь пространство вссх суммируемых функций 1.~ и пространства 1з функций с суммируемым квадратом. Сейчас мы рассмотрим основные свойстна этих пространств. Содержание этой главы опирается, с одной стороны, на общие свойства метрических и линейных нормированных пространств, изложенные в гл. 11. 1У, а с другой, — на введенное в гл. У понятие интеграла Лебега. з 1.
Пространство 1ч 1. Определение и основные свойства пространства Ьы Пусть Х вЂ” некоторое пространство с мерой р; при этом мера самого Х мажет быть конечной или бесконечной. Будем считать меру д полной (т.е. любое подмножество любого множества меры нуль измеримо). Рассмотрим совокупность всех функций 1, суммируемых на Х.
Поскольку линейная комбинация суммируемых функций суммируема, эта совокупность, с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа, образует линейное пространство. Это пространство мы обозначим Ь|(Х,р) или, короче, просто Ь|. Введем в Ха норму, положив ') Ясно, что при этом !)аЛ = )о! ))1)), !!.Гз + Ь)! ст ))Л)! + !)Ут)!. Однако для того чтобы выполнялось и последнее свойство нормы, а именно, ))Д >О, если (фО, ) Здесь и далее символ / будет означать интегрирование по всему пространству Х. 394 гл.
И!. Пространстве суммирусмых функций нужно считать, что функции, эквивалентные друг другу на Х, не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства Ьы В частности, нулевой элемент в Х,1 — это совокупность всех функций, равных нулю почти всю,чу. При этом выражение (1) будет обладать всеми свойствами нормы. Итак, мы приходим к сделующему определениго. Определение 1. Пространством ь1 называется нормированное пространство, элементами кото1юго служат классы эквивалентных между собой суммируемых функций; сложение элементов в Ь| и умножение их на числа определяются как обычное сложение и умножение функций "), а норма задается формулой ПУП = ~!У(т)!др. В Ьы как и во всяком нормированном пространстве, с помощью фор- д(У,а) = !~У вЂ” Ф! вводится расстояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
