А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 75
Текст из файла (страница 75)
а а а Действительно, при всяком разбиении промежутка [а, Ь) соответствующее равенство выполнено для интегральных сумм, следовательно, оно сохраняется и в пределе, т. е. для интегралов. 1 е. Иносеерпл Сосилсссъееп 3 ам е ч ан и е 1. Мы определили интеграл Римана-Стилтьеса (8), считая, что функция Ф(х) непрерывна слева. Однако определение этого интеграпа как предела сумм (7) сохраняет, очевидно, смысл и для любой функции Ф(х) с ограниченным изменением. Замечание 2. Все сказанное об интеграле Римана — Стилтьеса по конечному промежутку легко переносится на случай, когда интеграл берется по всей прямой или по полупрямой. Кроме того, мы опрщселилн интегрюс Стилтьеса по полуинтервалу [а, 6). Аналогично можно определить интеграл по (а, Ь], а также интегралы по [а, Ь] и (а, 6). В случае интеграла Стилтьеса, в отличие от обычного риманова интеграла, значения интеграла по интервалу (а, 6), отрезку [а, 6] н полуюстервалам (а, Ь] и [а. 6), вообще говоря, не совпала|от между собой.
Например, если а — точка разрыва функции Ф, то интеграл по [а, 6] равен иьггегралу, взятому по (а, Ь] плюс член вида 1(а)Ь, где Ь = Ф(а + О) — Ф(а). Приведенные свойства 1 и 2 выполнены для любой функции з', для которой входящие в их формулировки выражения имеют смысл.
Если предположитьь что 7' (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то соответствующий интеграл обладает еще следующими существенными свойствами (при этом интеграл можно понимать как интеграл по отрсзку [а, 6] или по любому из полуинтервалов (а, Ь] и [а, Ь)). 3, Если Фс и Фг -- две функции с ограниченны.м изменением на [а, Ь), еовтьадающие всюду, кролсе конечного или счетного числа внутренних точек этого промкясупька, то ь ь / Их) дФ (х) = )с зе(х) дФз(х) и и длл любой непрерывной на [а,Ь] функции з. Для доказачельства рассмотрим сперва случай, когда Фг = О, т. е. установим справедливость слелуюпьего утверждения.
3'. Если ф — функция е ограниченнььм изменением, отличная от нуля лишь в конечном или счетном числе точек, лелсащих внутри (а,6), то ь )' 7'(х) дф(х) =. 0 и длл любой непрерывной на [а, 6] функции з". Действительно, это очевидно для функции, отли щой от нуля в одной точке хо (если брать сколь угодно мелкие разбиения промежутка [а, 6), но включая хо в число точек деления, то будут получаться интегральные суммы, равные нулю), следовательно, по адцитивности это верно и для любой функции, отличной от нуля в конечном числе точек. Пусть теперь ср отлична от нуля в точках г„..., 1'л. 1гь Лгопредевгнныа интггрпг Лгбгга г„,... и уы, уп, — ее значения в этих точках.
Поскольку ф имеет ограниченное изменение, то 2 ~у„~ < оо. Выберем номер Ж и так, что Ь ~у„) < е, и представим у/ в виде суммы о>М ф = фм+ф, где г)гог принимает значения уы..., у„в точках гы,... гк и равна 0 во всех огтальных, а г(г отлична от 0 только в точках гк ьы гм В силу свойства 2 ь ь ь / 1(х) ь(ф(х) = / 1(х) г!фк(х) + / ((х) г9(х). а а а Первый из этих интегралов по уже доказанному равен нулю, а второй, по свойству 1, допускает оценку ь ~/' У(х) г67~(х) < шах!Дх))2е а (поскольку, очевидно, ~фг(г] = 2 ~ , '~у„( < 2е). В силу произвольное>аг сти е отсюда вытекает наше утверждение. 'Теперь для доказательства свойства 3 рассмотрим разность ф = = Фь — Фз. Она отлична от нуля лишь в конечном или счетном числе точек, принадлежащих (а, Ь).
Остается применять 2 н 3'. В частности, поскольку функция с ограниченным изменением имеет не более чем счетное число точек разрыва, получаем следующее свойство. 4. Если функция ! нетьрерыона, то иптезрая Римана- Сгпиятьега ь / з (х) е!Ф(х) не зависит опь значений, принимаемых функцией Ф а в ее точках разрыва, лезгеаиЬих внутри (а, Ь). Поскольку интеграл Римана — Стилтьеса от непрерывной функции совпадает с соответствуюгцим интегралом У!ебега-Сзилтьеса, змщ интеграла Римана-Стилтьеса от нопрерывной функции 1(х) справедливы равенства / Дх) ь(Ф(х) = ~~ г'(зц)Ь.„ а г если Ф -- функция скачков, и ь ь / Дх) е!Ф(х) = / 1(х) г!Ф'(х) г!х, (10) а а если Ф вЂ” абсолютно непрерывная функция.
Если при этом Ф' ннтегрируема по !'иману, то интеграл в (10) справа можно понимать в римановом смысле. а Ин~ллгрлл Сп~ильльлгга 385 5. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. В гл. Н мы доказали ряд теорем о предельном переходе под знаком интеграла Лебсга. При этом вопрос ставился следующим образом: даны пск:ледоватечьность функций (у„) и интегралы от них по некоторой фиксированной мере; нас интересует возможность предельного перехода под знаком интеграла.
Однако применительно к интегралу Стнлтьеса интересна н другая постановка вопроса; дана последовательность функций с ограниченным изменением (Ф„), При каких условиях для фиксированной функции 1 под знаком интеграла ь / 1(х)ь?Ф„(х) а возможен предельный переход? Здесь имеет место слелуьогцая теорема. Теорема 2 (первая теорема Хелли). Пусть функции Ф„ с ограниченным изменением на отрозке [а, Ь] сходятгя в каждой то чке этого отрезка к некоторой функции Ф, причем полные изл)енеиия функций Ф„ограничены в совокупности: Ъ'„6[Ф„] < С, п = 1, 2,...
Тогда предельная функция Ф тоже имеет ограни ченяос измецецле. и для любой непрерывной функции 1' справедливо равенство ь ь 11пь /' г'(х) ь?Ф„(х) = / /(х) ь(Ф(х). (11) л л Доказательство. Покажем прежде всего, что полное измене- ние предельной функции Ф не превосходит той же константы С, ко- торой ограничены все г 6[Ф„]. Действительно, при любом разбиении отрезка [а, Ь] точками а = ха < хл « х„, = Ь имеем м [Ф(хй) — Ф(хй л)[ = 1пп ~ ~]Ф (хй) — Ф„(хй л)] < С, 6=1 й=! следовательно, )гь[Ф] < С Покажем теперь, что соотношение (11) выполнено в том случае, если з — — ступенчатая функция. Пусть 1 принимает значения йл на по- луинтерввлах [хй ыхй). Тогда ~ Дх) НФ„(х) = ~~~ )ьй[Фя(хй) — Ф„(хй-л)] л й 6 1~(х) )Ф( ) =~,Ь [Ф( ) — Ф( — )].
а й Гл. Ь Ь Иеанределеннмп интеграл Лебега Ясно, что первое из этих выражений при и -ь оо переходит во второе, Пусть теперь / — непрерывная функция и е — произвольное положительное число. Выберем ступенчатую функцию,/ так, что Щк) — /,(к)! < с/(ЗС). Тогда ь ь !/ /(я) «1Ф(х) — / /(к) ггФн(х) ~ < а а ь ь < ~/ /(х) г/Ф(х) — / /е(х) НФ(х) ~+ а а ь ь + / / /г(х) еМФ(х) — / /г(х) МХФн(х) ~+ а а ь ь + ! / У,(я) г~Ф ( ) — / У( ') «(Ф (*) ~. а а В силу теоремы о среднем для интеграла Стилтьеса первое и третье слагаемые здесь меньше, чем с/3, а второе — меныпе с/3 при всех достаточно болыпих и.
Поскольку е > О произвольно, отсюда вытекает утверждение теоремы. Замечание. Эта теорема переносится и на тот случай, когда в интегралах ь /' У( )(Ф (я) а один или оба предела бесконечны. При этом, однако, функция / должна на бесконечности стремиться к некоторому конечному пределу (это позволяет равномерно аппроксимировать ее на всем бесконечном промежутке ступенчатыми функциями, принимающими лишь конечное число значений). Если первая теорема Хелли устанавливает условия, при которых в интеграле Римана-Сгнлтьеса можно переходить к пределу по некоторой последовательности (Фн) функций с ограниченным изменением, то вторая выясняет, когда можно гарантировать само существование последовательности, удовлетворяющей условиям первой.
Теорема 3 (вторая теорема Хелли). Из всякого бесконечного множества М функций Ф, заданных на некотором отрезке (а, Ь| и удовлетворяющих условиям шах ~Ф(я)) < С, Ъ;~(Ф) < К (12) 1 и Интсграа Стилтьеса зв7 (С и К вЂ” постоянные, одни н те же для всех Ф б М), можно выбрать последоватсльногтчь сходяп7уюся в каждой точке отрезка [а, Ь]. Доказательсз во.
Достаточно доказать эту теорему для мо- нотонных функций, Действительно, пусть Ф=п — д, где и(х) — полное изменение функции Ф на отрезке [а,я]. Тогда функции е, отве саюпше всем Ф б М, удовлетворяют неравенствам ] и ( т ) ] < К \ l з [ и ] ) ь [ ф ] < К т.е. удовлетворяют условиям теоремы, и монотонны. Считая, что для монотонных функций теорема доказана, выберем последова- тельность (Ф„) из М так, чтобы для нее п„сходплись к некоторому пределу зь Далее, функции д„= и„— Ф„ тоже монотонны и удовлетворяют условиям теоремы.
Поэтому из (Ф„) мохгно выбрать подпоследовательность (Ф„, ) так, что д„„схо- дятся к некоторому пределу д. Но тогда Ф,ц(т) -+ Ф(х) = и(х) — д(к). Итак, приведем доказательство теоремы для семейства М монотон- ных функций. Пусть гы, .., г„,... — все рациональные точки от- резка [а, Ь]. В силу (12) числа Ф(г2) (где Ф пробегает все М) образу- ют ограниченное множество, поэтому найдется последовательность (Ф„), сходящаяся в точке гы Далее, из нее можно выбрать подпор) следовательность (Ф„), сходящуюся в точке гз (и, конечно, в 72). (2) Из (Ф„) выберем подпоследовательность, сходящуюся в точке гз, )г) и т.д.
Диагональная последовательность (Ф„" ) будет, очевидно, сходиться во всех рациональных точках отрезка [а,Ь]. Ее предел есть неубывающая функция Ф, определенная пока лишь в точках 7.2,..., г„,... Доопределим ее в остальных точках отрезка [а, Ь], по- ложив для иррациональных х Ф(к) = !пп Ф(г) (г рациональны). — *-о Покажем, что полученная таким образом неубывающая функция Ф во всех точках непрерывшюти служит пределом последовательности (Фь ). Пусть х" -- одна из таких точек. Тогда для заданного е > О (ь) можно найти такое Ь > О, что ]Ф(х') — Ф(х)] < е/6, как только ]к* — к] < Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
