А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Поэтому (см. п. 2 ~ 4) последовательность (дн) сходится к д равномерно на всей прямой. Кроме того, последовательность (д„) фундаментальна в Ьз( — со, со). Действительно, д„— д 6 о', поэтому в силу уже доказанного ~д„(Л) — д,н(ЛУ аЛ = 2 ) ~У„( ) — У (. )~ х, откуда и следует фундаментальность последовательности (д„). Значит, эта последовательность сходится в Ез, причем к той же самой функции д, к которой она сходится равномерно. Поэтому в равенстве !!У!! = — 2иЬ!1 можно перейти к пределу при и — > со. Таким образом, получаем, что равенство (2) справедливо для каждой у я Ьз, обращающейся в нуль вне некоторого интервала.
3) Пусть, наконец, у — произвольная функция из Ьз. Положим ((х) при )х! ( Ж, Л (х) = О при )х) ) ез'. Ясно, что ()У вЂ” уезд,-+ О при Ю -> оо. Функция ун принадлежит Ь|( — со, оо), следовательно, для нее существует обычное преобразование Фурье. Оно равно дм(Л) = ~ У)е(х)е 'ь* дх = (' у(х)е гхз пх. Поскольку в силу пункта 2) наших рассуждений ~!Ли Ум)! = 2 Ьн дм!! !Ц.
ЬтП. Рядн. 11уеобраэоррнил Фруьр функции дм сходятся в Ьт к некоторому пределу, который мы обо- значим д. Поэтому в равенстве ру рт 1 р рз можно перейтн к пределу при М -+ ао, откуда получаем соотношение (2) для произвольной у й 1т( — оо,оо). Первая часть теоремы Планшереля доказана. Если теперь функция ~ принадлежит как 1т(-оо,оо), так и Ь|( — са, со), то для нее существует преобразование Фурье д(Л) = / Дх)е ' * йх, понимаемое в обычном смысле.
При этом функции ~л сходятся к г в Ь1( — оо,аа) и, значит, их преобразования Фурье дм сходятся к д равномерно. На, кроме того, как мы установили, функции дн сходятся в метрике Х з(-оз, са) к некоторому пределу, который мы обозначили д. Отсюда следует, что д совпадает с д. Доказательство закончено. Следствие. Из соотношения (2) сразу вытекает, что для любых (ы,1з с Ьз( — оо, аа) выполнено равенство ОО ОО / Л(х)~2(х)Их = 2 / дг(Л)дз(Л)ИЛ.
Для доказательства достаточно написать равенство (2) для функции б'1 + ~з и затем сравнить выражения справа и слева. Если равенство (2) означает сохранение нормы в Ьт при преобразовании Фурье, то последнее равенство означает сохранение скалярного произведения. 2. Функции Эрмита. Теорема Планшереля, изложенная в предыдущем пункте, означает, что преобразование Фурье можно рассматривать как ограниченный линейный оператор Е, отображающий пространство Ез( — аа,оо) на себя. Если в этом пространстве выбрать какую-либо полную ортогональную нормированную систему, то оператор Е (как и любой другой линейный оператор) можно записать с помощью бесконечной матрицы.
Вид этой матрицы зависит, конечно, от выбора базиса. Проще всего матрица, отвечающая тому или иному оператору, выглядит в том случае, когда соответствующий базис состоит из собственных функций данного оператора: в этом случае матрица имеет диагональную форму. Посмотрим, 459 1 и Прибрсзиьение Фурье е Бт(-со,со) существует ли такой базис для преобразования Фурье Е? Иначе говоря, посмотрим, какие функции нч Ьт( — оо, со) являются собственными для преобразования Фурье г'2 Для этой цели заметим, что уравнение 1? 2Зг зс (3) переводится преобразованием Фурье в такое же уравнение') (поскольку операция сР/с)хт переходит в умножение на — Лт, а умножение на — хт — в операцию д-~с)Лт).
Поэтому естественно искать собственные функции оператора Е как решения уравнения (3). Будем искать решения этого уравнения, имеющие вид Зс -тт/т где ю — многочлен. Подставив зто выражение в (3), получим для ю уравнение ин — 2хи' = (р+ 1)и. Полагая (4) и = ао + а1х + + а„х", получаем равенство (2ат+ 3 2 азх+ -.. + п(п — 1)а„х" )- — 2х(аз + 2атх+ + па„х" ) = = (и+ 1)(ао+ а1х+ -- ° + аох ). Сравнивая в нем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, находим, что — 2па„= (р+ 1)а„, -2(п — 1)а„1 — — (р+ 1)а„ и т.д., вообще, к()с — 1)ас — 2(к — 2)аа-т = (р + 1)ас т.
(5) Поскольку мы считаем старший коэффициент а„отличным от нуля, должно быть р= — (2п+1) и а„1=0, т.е. и должно быть нечетным целым отрицательным числом. Все коэффициенты многочлена и определяются соотношением (5) с точностью до постоянного множителя. При этом те коэффициенты, четность индекса которых отлична от четности числа и, т.е. степени ') Предполагается, конечно, что неизвестная фувкния З удовлетворяет соответствуююим условиям гладкости и убывания ка бесконечности. 1я. 1э1П. Роом. Лреоороэооопия Фурье хэа многочлена иб равны нулю. Наоборот, все коэффициенты с индексами, имеющими ту же четность, что и и, отличны от нуля.
Они находятся по ргкуррентной формуле я(й — 1) 2Й вЂ” 2п — 4 (если значение а„задано). Таким образом, мы получаем формулу для нн Р „п(п — 1), 2 п(п — 1)(п — 2ип — 3) о 4 4 4 3 Итак, мы построили систему функций вида уоо(х) = иэп(х)е * 1~, и = 0,1,2, Ясно, что каждая из этих функций принадлежит Х,2(-со, оо) (благо— хх 2 даря наличию множителя е ' эз). Вдобавок, эти функции попарно ортогональны.
Действительно, согласно (3) имеем ~р'„'(х) — хзуэ„(х) = -(2п + 1)1оо(х), ~Р" (х) — хэУо (х) = †(2пэ + 1)1от(х). Умножив первое из этих равенств на 1о, а второе — на 1р„и вычитая из одного равенства другое, получаем 'Р»'Рт Р~пМп = 2(пэ — ээ)ФоРт или [~Рпьэт ~ртМ 2(эп п)Р ~Рт. Если и 24 т, то, интегрируя это равенство, получаем Р(х)Р (*)~ = ( ' ) ~ Ур -Р' Р)'тххх 2(гп — п)( о~ т "' Таким образом, ортогонэльность доказана. Каждый из элементов уоо полученной ортогональной системы ПрЕдСтаВЛяЕт СОбОй МНОГОЧЛЕН СТЕПЕНИ П, уМНОжЕННЫй На Е х /2.
Слнцовательно, ее элементы должны, с точностью до числовых множителей, совпадать с функциями Эрмита, которые мы построили в 2 3 гл. Ч11 ортогонвлизацией последовательности Е х Ээ ХЕ х 1~ Х"Е в пространстве! 2( — ог, со). з б. преобразование оьаььлага Покажем теперь, что функции (узп) являются собственными функциями преобразования Фурье: (6) Гпьп = свозя. Это вытекает из следующих фактов. 1. Уравнение (3) инвариантно относительно преобразования Г. 2.
Уравнение (3) при каждом и имеет., с точностью до постоянного множителЯ, лишь одно Решение вида Рьь(х)с * Угь где Р, .— многочлеп степени и. 3, Преобразование Фурье переводит к"е * Уг в ~1 †) е ~ъ) = ььзп1К)Е * ~, ГдЕ Я вЂ” - МНОГОЧЛЕН СТЕПЕНИ и (ПОСЛЕДНЕЕ утВЕрждсние легко проверяется по индукции). Из равенства (6) следует, что прн каждом целом й Г ьр„= с„ьр„. Ь ьь Но преобразование Фурье, примененное четыреисды.
переводит каждую функцию в себя, умноженну1о на 4иг. Поэтому с4 = 4;гг, т.е. с„ МОжЕт ПрИПИМатЬ ЛИШЬ ЗНаЧЕНИя щ 1ьгйя яИ Ы1/2ИИ. Итак, преобразование Фурье Р в пространстве ь'г1 — оо, оо) есть линейный оператор, который в базисе, состояьцем из уьункций Эрмита, записывается как диагональная матрица с злемеятами вида квь2и ии Ы~/2и'). 2 6.
Преобразование Лапласа 1. Определение и основные свойства преобразования Лапласа. Применимость преобразования Фурье к дифференциальным уравнениям существенно ограничивается тем, что это преобразование определено лишь для функций, суммируемых на всей прямой. В частности, преобразование Фурье не существует для ь) Если преобразование Фурье опрвдалнть формулой ьг11) = / Дх)с ' *ьгх ,/2 як 1т.е. формулой (1') з 4, а нв формулой 11)), то вго четвертая степень будет единичным оператором, н в базиса, состоящем из функций Эрмита, мы получаем для Р диагональную матрицу с влемвнтами х1 и ха гя, 1ПП.
Ряйм Иреабрааааания Фурье 4бу функций, расту~них при к -ь — х или к -ь +оо, а такие функции нередко возникают при решении дифференциальных уравнений. Эту трудность можно преодолеть, распространив преобразование Фурье на обобщенные функции; об этом пути мы скажем кратко в З 8 этой главы. Другой возможный подход, не выводящий за рамки классического понятия функции и классических методов анализа, состоит в замене преобразования Фурье так называемым преобразованием Лапласа. Пусть функция 1 (вообще говоря, не интегрируемая на всей прямой) становится интегрируемой, если ее умножить на е л*, где у —. некоторое действительное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
