А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Подставив это выражение в (6) и сократив обе части равенства на з!псос, получаем для и следунзщее шгтегральное уравнение: и(х) = рсо (г С(х, ~)и(с) кХб. о Если струна соворшает не свободные колебания. а вынужденные, под действием внешней силы, то, как показывает несложная вы- кладка, соответствующее уравнение гармонических колебаний стру- ны будет илсеть вид и(х) = рср ~ С(х,с)и(б) дб+ 7(х), т. с. будет неоднородным ураннением сРредгольма второго рода. 3. Сведение ди44аренциааьных уравнений к интегральным.
Иногда решение дифференциального уравнения целесообразно сводить к решению интегрального. Например, доказывая существование и единственность решения дифференциального уравнения у' = 7(х, и) у =до+ /' У(б у)дб. ее ') Мы полагаем, что р —.- сопац хотя это н несущественно Лля дальнейшего. с начальным условием й(хо) =- уо, мы видели (в гл. П), что его удобно свести к интстральному уравнению (нелинейному) 47б Глк !Л. Лиэаакма иэтеграланма Грааванаа Такое сведение возможно и для дифференциальных уравнений порядка выше первого.
Рассмотрим, например, уравнение второго порядка р" + У(х)у = й Положив Дх) = рз — а(х), где р = сопэ1, запишем его так; у + р = ' (х)у. Как известно, решение уравнения и+ 2 () с начальными условиями р(а) = ре, у'(а) = у,', можно представить в виде у(х) = уе собр(х — а) + — ' — — + — ~ э1пр(х — ~)д(~) дс.
уа э!в р(х — а) Р Р а Поэтому нахождение решения уравнения (8) с теми же начальными условиями сводится к решению интегрального уравнения Ч(х) Р ~ (с) ' р(х с)У(с) ~К = 1'е совр(х а) + 1 Ио з!и р(х — а) а б 2. Интегральные уравнения Фрндгольма 1. Интегральный оператор Фредгольма. В этом параграфе мы будем рассматривать уравнения Фредгольма второго рода, т. е. уравнения вида Ьа(з) = д' К(я,ь) р(1) дь + .Г(э).
а Все встречающиеся здесь н ниже функции мы будем предполагать, вообще говоря, принимающими комплексные значения. Относительно функции К, называеьюй ядрам этого уравнения, мы предположим, что она измерима и принадлежит классу 1.з на квадрате а ( б, 1 ( (к ь ь (2) Свободный член 1 уравнения (1) — это некоторая заданная функция из Ех(а, Ь], а у — неизвестная функция из Т з[а, Ь). Ядра класса Тз называютсв ядрами Гильберта-Шмидта. 1 а Интпегральнне краанеггил Фредгальма 477 Сопоставим уравнению (1) оператор А, определяемый равенством Ага = гр; это означает, что ь У «(е, 1)р(1) ей = Ф(з).
(3) а Всякий оператор вида (3) называется операгпором Фредгольма. Если же ядро К(е,1) удовлетворяет условию (2), то он называется оператором Гильберта-Шмидта. Исследование уравненвя (1), разумеется, сводится к изучению свойств этого оператора. Теорема 1. Равенство (3), где К(з,1) — функция с интегрируемым квадратом, определяет в пространстве йз]а, Ь] компактный линейный оператор А, норма которого удовлетворяет неравенству (4) ]!А]] < Доказательство, Заметим прежде всего, что интеграл )' ]К(в,ь)]згй а существует в силу теоремы Фубини и условия (2) для почти всех е.
Иначе говоря, К(з,1) как функция от 1 при почти всех з принадлежит Тт]о, Ь]. Так как произведение функций с суммируемым квадратом суммируемо, то интеграл, стоящий в (3) справа, существует для почти всех з, т.е. функция гЬ определена почти всюду. Покажем, что гр Е Ьт(а, Ь]. В силу неравенства Коши-Буняковского для почти всех з имеем ь г ь ь ]г) (е)]~ = ! ~ К(з,1) р(1) гй)] < / ]К(з,ь)]~ей / ] р(1)]згй = а а а ь = ]]р]]' /]К(в 1)!' 1а а Интегрируя по е н заменяя повторный интеграл от ]К(е,Ф)]з двойным, получим неравенство ь ь ь ]]Ар]]' = у],Ь(з)]'ц,, <]] ]]з 7р у]К(з,ь)]з,1 йь, а а а которое дает и интегрируемость ]гр(л)1з, и оценку (4) для нормы операгора А. Остается показать, что оператор А компактен.
Пусть (1Ь„] — полная ортогональная система в Тз]а, Ь]. Тогда всевозможные попарные произведения тд (з)грн(Ф) образуют полную систему !б — 1324 рл, 1Х. Линеянне инп1еералание уравнения 4 ив в пространстве 1,1([а, Ь] х [а,Ь[) (см. теорему 1 и. Ь Э 3 гж У11) и, следовательью, К(е, 1) = ~~1 а пь~>,п(е)!!1и(!). па,п=! Положим теперь пнп=1 и пусть Аь! — оператор, определяемый ядром Кы(е, 1).
Этот оператор компактен, поскольку он переводит все Аз[а, Ь[ в конечно- мерное подпространство (в гл. ЪЧ мы назвали такие операторы конечномерными). Действитеьльно, если чь Е Аз[а, Ь[, то АыУ = / Км(з~ Ь)ьь(1) ььь = ~~' птпЧт(е) / '4(!)ЧЬп(1) 411 = а п~,п=! а н я ,г' !Ьп~(з) )' опо Ь п=1 п!п! где ь Ьп = /д(!)Фп(!) и, а т.
е. каждый элемент Ьь Е Х з[а, Ь[ переводится оператором Ан в элемент конечномерного подпространства, порожденного векторами 11!1,..., ьр!е. Далее Кы(е, 1) представляет собой частичную сумму ряда Фурье функции К(е, 1), поэтому ь ь [' /(К(е,!) — К1е(е,!))зсЬ111 -+ О при Ю вЂ” 1 со. а а Отсюда, применив оценку (4) к оператору А — Ая, имеем [[А — Аьг[[ -ь О при М -+ со. Воспользовавп1ись теоремой о том, что предел сходяпьейся последовательности компактных операторов компактен (и.
2 З 6 гл. 111), получаем компактность оператора А. Замечания. 1. В процессе доказательства теоремы 1 мы установили, что всякий оператор Гильберта-Шмидта может быть представлен как предел (в смысле сходимости по норме) последовательности конечномерных интегральных операторов. 479 'Ь' и, Интегральные уравнении Фуедгальми 2. Пусть Аг и Аз -- два оператора вида (3) и Кг (з, «), Кз(з, С) — отвечающие им ядра. Если операторы Ас и Аа равны, т.е. А«р = Азу для всех у е 19(а, Ь), то Кг(з, С) = Кг(он С) ногти всюду. Действительно, если ь А«ее — Аауе = / (Кг(з, С) — Кз(з, С))р(С) д« = О а для всех ~р е 19(а, Ь), то при почти всех з е (а, Ь) ь «(К1(з,«) — Кз(сч«)( д« = 0 и, значит, ь ь «е / ~К|(е, С) — Кз(з, ф дед« = О, а а откуда и следует ваше утверждение. Таким образом, если мы, как обычно, не будем различать зквиввлентные между собой суммируе- мые функции, то можно сказать, что соогпветствие между инте- гральными операторами и ядрами взаимно однозначно.
Теорема 2. Пусть А — оператор Гильберта-Шмггдта, определяемый ядром К(з, «). Тогда сопряженный ему оператор А" определяется «сопрглкенныы» даром К(з, С). Докаэательст во. Используя теорему Фубини, получаем ь ь ь ь (А1 д) = ~ ( ( К(з С)1(«) д«)д(, ) дз = / ~ К(з, М(С)д( ) д« дз = а а а а ь ь ь ь = «е((" К(з, С)д(в) дз~((С)д« = /1(С)(~ К(з,«)д(з)дз~д« = а а а а = (1,А"д), откуда и следует утверждение теоремы. В частности, оператор А вида (3) самосопряжен в 1,9[а, Ь)г т.е. А = А, тогда и только тогда, когда 10(в, С) = К(С, з).
В случае, когда рассматрипается действительное гильбертово пространство (и, стало быть„действительные ядра), условием самосопряженности служит равенство К(ь, С) =- К(С, з). Замечание. Мы рассмотрели интегральные операторы, действующие в пространстве 19(а,Ь). Однако как вге сказанное выше, так и излагаемые виже результаты переносятся без изменений на тот случай, когда вместо отрезка (а, Ь) берется любое другое пространство с,мерой. ра. гХ. Ланеенне ннагегральнне ррааненил 480 2. 'Уравнения с симметрическим ядром. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода ь 93(а) = ( К(а С)Ч7(ь) г(г + 7(а), (5) а ццро которого удовлетворяет условиям ь ь 1) / / ~К(аД~'Изг(ь < оо, а а 2) К(а,т) = К(ь,а). Мы будем называть такие уравнения уравнениями с силаметрическнлг ядром.
В силу теорем 1 и 2 предыдущего пункта соответствующий оператор Фредгольма ь АЬо = / К(з, 1)ьо(1) г1г а (б) у = Аьо+ (. (7) По теореме Гильберта-Шмидта цля А существует такая ортонор- мвльная система собствонных функций (г)г„), отвечающих ненуле- вым собственным значениям (Л„), что каждый элемент 5 из Ьа пред- ставим в виде о„г(г„+ 5', где Аб' = О. а Положим 5„4„+,7', А(' = О, и будем искать 1гешение ьо уравнения (7) в вице (8) ьо = ~~г янф„+ ьо', А~о' = О.
н (9) Подставив разложения (8) и (9) в уравнение (7), получим .„) „+ го' = ~ *„Л„(„+ Ч~ Ь„)гн + 7'. компактен и самосопряжен. Следовательно, для него справедлива теорема Гильберта-Шмидта (п. 5 з б гл. 1Ъ'). Применим эту теорему для отыскания решений уравнения (5). Поскольку для нас имеют значение лишь компактность и самосопряженность оператора (б), а не его интегральное представление, естественно писать уравнение (5) в символической форме: 1 а Нншегральнне рравненнл Фредгвльлаа Это равенство удовлетворяется в том и только том случае, когда У гаар хп(1 — Лп) = Ь„, п = 1,2, т.г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
