А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Несколько менее очевиден следующий важный результат. 3. (Производная сложной функции). Пустпь Х, т', Я вЂ”. три нормированных пространства„П(хо) — окрестность точки хо с Х, Р— отображение этой окрестности в у, уо = р'(хо), 1'(Уо) окрестность тпочки уо ч 1с и С вЂ” отобраэкение этной окрестностпи в Е Тогда, если отображение Р дифференцируемо в тпочке хо, а С дифференцируемо в точке уо, то отображение Н = СЕ (которое определено в некоторой окрестности точки хо) дифференцируемо в точке хо и Н'(хо) = С'(уо)го(хо).
(4) Действительно, в силу сделанных предположений Е(хо+ 4) = Е(хо) + Р'(хо)4+ о1(~), С(Уо + П) = С(уо) + С (Уо)П+ ог(Ч) Но Г'(хо) и С'(уо) — ограниченные линейные операторы. Поэтому Н(хо+ 4) = С(ус+ Е'(хоМ+ о1(С)) = = С(уо) + С(уо)(Г(хо)4 + о1 ®) + с г(Г(хоМ + о~ Ы)) = = С(уо) + С (уо)Г (хо)4 + азу). (Проведите аккуратно выкладку с е и б.) Если Г, С и Н вЂ” числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции. Пл.
Х. Элсменпгы Зиффсрснггаальггага исчисленал 4. Пустое Г и О .— два непрерывных птобразюения, деггствуюгцих из Х в У. Если Г и 0 дифференцирусмы в точке хе, то и отвбрахсеяия Г + О и аГ (а — число) таэюс дифференцируемв в этой то гке, причем.
(Г + сг) (хв) Г (хе) + О (хе) (б) (аГ)'(хо) = аГ'(хе) (6) Действительно, из определения суммы операторов и произведе- ния оператора яа число сразу получаем, что (Г+О)(хе + 6) = Г(хе+ 6) + О(хе+ 6) = = Г(хо) + О(хе) + Е (хе)Ь+ О~(хо)Ь+ ог(й), аГ(хе+у) = аГ(хо) + аГ'(хе)Ь+ оз(6), откуда следуют равенства (5) и (б). 2. Слабый дифференциал (дифференциал Гата).
Пусть снова Г есть отображение, действующее из Х в У'. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гата отображения Г в точке х (прв приращении 6) называется предел ВГ(х,й) = фГ(х+И)[ = оп !г=в г- е где сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У. Иногда, следуя Лагранжу, выражение ВГ(х, Ь) называют первой вариацией отображения Г в точке х. Слабый дифференциал ПГ(х, 6) может и не быть линеен по Ь. Если же такая линейность имеет место, т.е. если РГ(х, Ь) = Г,'(х)Й, где Г,'(х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гата). Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна. (Приведите пример!) 3.
Формула конечных приращений. Пусть Π— открытое множество в Х и пусть отрезок [хе,х[ целиком содержится в О. Пусть, наконец, Г есть отображение Х в У, определенное на О и имеющее слабую производную Г,' в каждой точке отрезка [хв, х]. Положив глх = х — хв и взяв произвольный функционал ус б У', рассмотрим числовую функцию з(г) = Ф(Г(хо+сЬх)), 1 К Дифференцирование в винеанне ироееиранеиевла 499 определенную при О < 1 < 1. Эта функция дифференцируема по й Действительно, в выражении У(1+Ьв) — У(1) ГГ(ха+гЬх+~ВЛх) — ~(хо+ГЬх)) ы Ы можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала лл. В результате получаем 7'(г) = ео(Р (ха +1Ьх) Лх).
Применив к функции 7" на отрезке (О, 1] формулу конечных приращений, получим У(1) = У(0) + ~'(д), где 0 < д < 1., т.е. ае(Р(х) — Р(хо)) = еа(1",'(хо + д Лх) Ьх). (7) Это равенство имеет место для любого функционала ае е У" (величина д зависит, разумеется, от у). Из (7) получаем !~а(Р(х) — Е(ха))] < Цеа]] . апр Цгн(ха + дух)Ц . Ц еьхЦ. (8) о<вне Выберем теперь ненулевой функционал ла так, что а (Р (х) — д'(ха)) = ЦоЦ! Цд'(х) — Р'(ха)Ц (такой функционал еа существует в силу следствия 4 теоремы Хана- Банаха (см. п. 3 Ц 1 гл. 1Ч)).
При этом из (8) получаем ЦК( ) -д(ха)Ц < ° р ]]К(ха+д 1х)Ц.ЦЬ Ц, о<в<1 Ьх = х — ха. (9) Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображонию х в Р(х) — Е,'(ха)дех, получим следующее неравенство: ЦЕ(Х) — Г(ХО) — и' (Ха) ЬХЦ < Х~~ Цн' (Ха +дЕ ЕХ) — и' (Ха)Ц ЦЕЬХЦ. а<в<в 4.
Связь между слабой и сильной лифференцируемостью. Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Гл. Х. нлемгниие дифференциального исчисление 500 Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции Дх) = у(хы...,х„) при и > 2 из существования производной фПх+ 1Ь) при любом фиксированном Ь = (Ьы ..Ь„) еще не следует дифференцируемость этой функции, т.е. возможность представить ее приращение Дх+Ь) — 1(х) в виде суммы линейной (по Ь) части и члена выше первого порядка малости относительно Ь. Простейшим примером здесь может служить функция двух переменных ~(х„хз) = х',+х," г — если (хм хе) Ф (0,0), (11) О, если (хыхз) = (0,0).
Эта функция непрерывва всюду на плоскости, включая точку (О, 0). В точке (О, 0) ео слабый дифференциал существует и равен О, поскольку ~(о + гь) — у(о) . 14ь,'ь, 4-40 г ь 0 1'Ьг+1'Ь,' Вместе с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (О, 0). Действительно, если положить Ьз = Ь„то 2 У(Ь„Ьг) — ДО, О) . Ь', !/Ц(-40 0Ь0 ь4-40 2Ь44/Ьг + Ь4 Однако если отображение Г имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем Е(х+ Мь) — Г(х) = ГЛ(х)(1Ь) + о(1Ь) = СЕ'(х)Ь+ о(гЬ), Р(х+ гЬ) — Г(х) Ф е(гЬ) $ Выясним условия, при которых из слабой дифференцнруемости отображения Р следует его сильная дифференцируемость. Теорема 1.
Если слабая производная Е,'(х) отображения Е сушествует в некоторой окрестности У точки хв н представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х„непрерывную в хв, 1 1. Дньрьверенцнрооание е лннеаннх нроеьнранещоах 501 то в точке хо сильная производнал г'(хо) существует и совпадает со слабой. Доказательство. По е ) 0 найдем б ) 0 так, чтобы при 'йЦ < б выполнялось неравенство: 1~Г„'(хо + )ь) — Г,'(хоЦ < е.
Применив к отображению Р формулу (10), получим: ЦЕ(хо+)ь) — б'(хо) — Г,'(хр)Ц < зцр ()И(хо+И) — Р'с(хо)И.ИЦ < еЦЦ. О<В<1 Тем самым имеет место (1), т.е. доказано как существование сильной производной Р"(хо), так и ее совпадение со слабой производной. В дэльнейпьем мы будем, если не оговорено противное, рассматривать такио отображения, которые диффоренцируельы в сильном, а значит, и в слабом смысле.
б. Дифференцируемые фуикпиопвлы. Мы ввели дифференциал отображения Е, действующего из одного нормированного пространства Х в другое нормированное пространство У. Производная Г'(х) такого отображения при каждом х — это линейный оператор из Х в У, т. е. элемент простриьства С(Х, 1 ). В частности, если 1'- числовая прямая, то Е -- принимающая чисповые значения функция на Х, т. е. функционал. При этом производная функционала г' в точке хо есть линейный функционал (зависящий от хо), т.е. элемент пространства Х'. П р и м е р. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстне Н функционал Е(х) = ~)хйз. Тогда ))х+ Цз — )(х))з = 2(х, )ь) + 'ОЦз; величина 2(х, )ь) представляет собой главную линейную (по )ь) часть этого выражения, следовательно, Р'(х) = г (х) = 2х.
Упражнение. Найти производную функционала ЬЬх)! в гильбертовом пространстве. (Оьнвеьн: х/зхЬ( при х ф О; ври х = 0 но существует,) 6. Абстрактные функции. Предположим теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов Х. Отображение Г(х), сопоставляющее числу х элемент некоторого банахова про- странства У, называется абстрактной функцией. Производная Е'(х) э02 !'л.
Х, Зеемен~ии дифференниальнегл исчисления абстрактной функции (если она существует) представляет собой (при каждом х) элемент пространства У вЂ” касательный вектор к кривой Е'(х). Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с гильной. 7. Интеграл. !1усть Š— абстрактная функция действительного аргумента 1 го значениями в банаховом пространстве У.
Если Е задана на отрезке [а, 6), то можно определить интеграл функции Е по отрезку [а, о[. Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм (12) отвечающих разбиениям а=Оо<й~ <'''<1 е б зоб[4 8ь-1[ 11ри условии, что щах(оь+~ — 1ь) -+ О. Интеграл (представляющий собой, очевидно, элемент из Г) обозначается символом (13) 1 Г(1) е1й а Рассуждения, в значителыюй мере аналогичные проводимым для функций, принимающих скалярные значения, показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при атом он обладает свойствами обычного риманова интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
