А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Х. Элеменган дифференциального иеииеленил Равенство нулю этого линейного функционала для всех Ь й С(о, Ь] означает, что 1,'(1, х(Ь)) = О. Действительно, при всяком х(2) б С(а, Ь] производная Д(2,х(2)) есть непрерывная функция от й. Если в какой-то точке 1в она отлична от нуля, скажем, 1г(ев, я(2в)) > О, то это неравенство имеет место и в некоторой окрестности (о, д) точки 1э. Тогда, положив Ь(2) = (2 — о)((3 — 1) при «г < 2 < Д, О при остальных $, получаем ь ~ у,'(1, 2) 11(1) й > О.
а Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Уравнение Д(йх) = О определяет, вообще говоря, некоторую кривую, на которой функционал (2) может достигать экстремума. 2. Рассмотрим на том же пространстве С(а, Ь] функционал ь ь г (х) = ( / К(с1~~2)х((1)ж(с2)11~1ггс2~ (3) а а где К(С1,С2) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию К(с1, сз) = К(с2, с1). Нетрудно подсчитать, что дифференциал этого функционала равен Ь 5 Йг = 2/ / К(г1 6)х(6)11(6)1Кгпгз.
а а Если при всяком Ь б С[а, Ь] это выражение равно нулю, то в силу рассуждений, проведенных в примере 1, имеем ь / К(~1,42)х(41) еК1 — — О для всех 42, а < 42 < (Ь. а Одно из решений этого уравнения — — функция х: — О. Ответ на вопрос о том, имеется ли в этой точке экстремум и существуют ли другие точки, в которых экстремум возможен, зависит от вада функции К(С1, С2) и требует дополнительного исследования. 3.
Рассмотрим функционал ь г" (2) = ~ 2 (г, х(е), х (2) ) сМ, (4) а определенный на пространстве С'(а, Ь] непрерывно дифференцируемых функций на отрезке (а, Ь]. Здесь х'(1) = — „, а у(Ф,х,х')— > Их(Ф) дважды дифференцируемая функция своих аргументов. Функционал (4) играет основную роль во многих вопросах вариационного 'з 3, Эксшрежалвкме задачи исчисления. Найдем его дифференциал.
Пользуясь формулой Тей- лора, получаем ь Г(х+ Ь) — Г(х) = у [у(Ф,х+ Ь,х'+ Ь') — у(б,х,х'))гЬ = а ь = ~ (У' Ь + У', Ь') М + о(ЦЦ), а где [[Ь[[ — норма функции Ь как элемента пространства С'[а, Ь]. Итак, необходимое условие экстремума для функционала (4) имеет ви ~ У.', и'а = У.', Ь~ — У Ь вЂ” „', У.', М, о а Таким образом, ь ь (Р = У(У,' — ~,У.',)Ьж+У.',Ь~ =О. а (б) Это равенство должно выполняться при всех Ь, в том числе и таких, для которых Ь(а) = Ь(6) = О. Следовательно, /(у.' — $у,',) = о а при всех Ь, для которых Ь(а) = Ь(Ь) = О, откуда, в силу рассужде- ний, аналогичных проведенным в примере 1, получаем (7) Поэтому равенство (б) сводится к ь у.',ь~ =о.
г) Эта операция требует дополнительного обоснования, поскольку существование производной хо, входящей в выражение — у~ „не предполагается. См. по Ж атому поводу любой курс вариационного исчисления. д ь йР = ~ (У.'Ь+ У.', М) й = О. (б) а В такой интегральной форме это условие мало пригодно для нахождения той функции х, на которой достигается экстремум. Преобразуем его к более удобному виду, проинтегрировав в (5) член Уз,Ь' по частям ~). Получим 520 Гл, Х. Элсееентн днфференцисльнссс исчисления Если функционал (4) рассматривается на всех непрерывно дифференцируемых функциях х, определенных на [а, Ь], то мы можем взять Ь так, что Ь(а) = О, Ь(Ь) ф О, и тогда из равенства (8) получим а положив Ь(Ь) = О, Ь(а) ф О, получим (10) Таким образом, нз условия (б) (т.е.
из равенства нулю дифференциала (4)) вытекает, что функция х, на которой функционал (4) достигает экстремума, должна удовлетворять дифференциальному уравнению (7) и граничным условиям (9), (10) на концах отрезка [а, Ь]. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные и в нашем распоряжении оказывается как раз то число граничных условий, которое нужно для отыскания этих постоянных. 2. Второй дифференциал. Достаточные условия экстремума функпионвла.
Вернемся снова к нахождению экстремума функции и переменных. Пусть для функции 7(хы..., х„) в точке (хо„...,хо) выполнено условие е11 = О. тогда, как известно, для решения вопроса о том, действительно ли в данной точке имеется экстремум или нет, следует рассмотреть второй дифференциал. Именно, справЕдливы следующие утверждения. 1.
Если функция Дхы...,хн) имеет в точке (хо,...,х'„') минимум, епо в этой точке аз7' > О. (Аналогично, если в точке (хо,...,хо) имеется максимум, то в этой точке сР1 < 0.) 2. Если в точке (хс,...,хо) выполнены условия (когда не все е(хе = 0), то о этой елочке. 7(х) имеет минимум (аналогично, максимум, если азу с 0). Короче говоря, неотрицательность второго дифференциала необходима, а его положительная определенность достаточна для минимума.
Посмотрим, в какой мере эти факты переносятся на функционалы, заданные на банаховом пространстве. 1 3. Энстаремааьные задачи 52х Теорема 2. Пусть à —. действительный функционал, заданный в банановом пространстве Х и имеющий в некоторой окрестности точки хо непрерывную вторую производную. Если этот функционал достигает в точке хо минимума, то с)~Г(хо) > 0 ). Доказательство. По формуле Тейлора получаем Г(хо + )г) — Г(хо) — Г (хо))г+ -Г (хо)(й, Ь) + о()И ). Ргли в точке хе функционал Г имеет минимум, то Г'(хо) = 0 и остается равенство Г(*о + Ь) — Г(хо) = -Р (хо)(6,)г) + о(ЦЙ)) ). (11) Если при каком-либо /г выполнено неравенство Г" (хоНЬ, й) < О, (12) то, поскольку Гв(хо)(сбрей) = е~Гн(хо)(й,)г), существуют и сколь угодно малые по норме элементы Ь, для которых выполнено (12).
Но прн достаточно малых ОЦ знак всего выражения (11) определяется знаком главного члена 1Г" (хо)(Ь, Ь), н мы получаем Г(хо+ 6) — Г(хо) — -Г (хоНЬ,Ь) +оЦЦ ) < О, т.е. минимума в точке хо нет. Аналогичную теорему можно сформулировать для максимума.
Доказанная теорема есть прямое обобщение соответствующей теоремы для функций конечного числа переменных. Иначе обстоит дело с достаточным условием. Упомянутое выше условие Г" (хо)(6, Ь) > О, достаточное для минимума в случае функций и переменных, не является достаточным для функционалов, определенных па банаховом пространстве бесконечного числа измерений. Рассмотрим простой пример.
Пусть в гильбертовом пространстве 1г задан функционал со Г()=~ — ", — ~ В точке 0 первый дифференциал этого функционала равен О, а втооо )г рой — ряду 2 2 —",, т.е. представляет собой положительно опрег и деленный функционал. Тем не менее в точке 0 нет минимума, так как Г(0) = 0 и Г(0,...,О, 1/п,О,...) = 1/па — 1/яе < О. Следовап-1 тельно, в любой близости от точки 0 существуют точки, в которых Г(х) < Г(0). Введем следующее понятие. Квадратичный функционал В называется сильно пололсппгельным, если существуют такое постоянное число с > О, что В(х, х) > с()х))г для всех х.
г) Это неравенство означает, что у"н(ве)(6, И) > О Лнн всех В. Гл. Л. Нввмвнюн диффвженциавьною исннгменик Теорема 3. Если функциопкл Г, определенный в банаховом пространстве Х, удовлетворяет условиям 1) пг(хв) = О, 2) г(зг (хв) — сильно положительный квадратичный функционал, то Е имеет в точке те минимум. Доказательство. Пусть Ен(хе)(й,й) > с()Ц~. Выберем е > О настолько малым, чтобы при ))Ц < е величина о())Цт) в равенстве (11) удовлетворяла условию (о(йцт)! < ф)цз, Тогда Е(те + й) — Г(тв) = 1 Ен(тв) (Ь, 6) + о(ЦЦт) > $! Ц~ > О при ЦЦ < с. В конечномерном пространстве сильная положительность квадратичной формы эквивалентна ее положительной определенности, поэтому (при равенстве нулю первого дифференциала) положительнвл определенность второго дифференциала достаточна для экстремума функции.
В бесконечномерном случае (как показывает приведенный выше пример) сильная положительность есть более сильное условие, чем положительная определенность. условие сильной положительности второго дифференциала, гарантирующее минимум, удобно тем, что оно применимо к любому дважды дифференцируемому функционалу (независимо от его конкретного вида) в любом банаховом пространстве. Вместе с тем это условие обычно оказывается слишком грубым и трудно проверяемым в практически важных случаях.
В вариационном исчислении устанавливаются более тонкие достаточаые условия экстремума (использующие конкретный вид тех функционалов, которые рассматриваются в вариационных задачах); однако изложение этих вопросов не входит в задачу данной книги. 3. Экстремальные задачи с ограничениями. Выше речь шла о нахождении экстремума для функционалов, заданных ва всем пространстве, т.е, как обычно говорят, об экстремальных задачах без ограничений. При наличии тех или иных ограничений, определяющих ту область, на которой задан рассматриваемый функционал, утверждения, приведенные в пп.
1 и 2, вообще говоря, несправедливы. Это видно уже на простейшем примере функции, заданной на отрезке: если такая функция достигает экстремума в граничной точке, то ее первый дифференциал в этой точке может быть отличен от нуля, а знак второго дифференциала может быть любым. Рассмотрение экстремальных задач при наличии ограничений составляет обширную и важную область математики, включающую 1 3. Экепщемельчье задачи такие разделы, как классическое вариационное исчисление, оптимальное управление, линейное и выпуклое программирование и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
