А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 100
Текст из файла (страница 100)
В 33 гл. П1 было введено понятие нормированного пространства, т.е. линейного пространства, снабженного нормой бЩ удовлетворяющей трем аксиомам, сформулированным в п. 1 3 3 гл. П. ~) Единица в алгебре всегда единственна, ибо если бы элемент г' также обладгл свойством 4, то мы бы получили ее' = е = г'. Дополнение. Уанохооы алгебры Определение 2. Нормированное пространство Х называется нормированной алгеброй, если ово является влгеб1юй с единицей н при этом выполнены еще две аксиомы: 6. '3е'3 = 1. 7 'зхУй С 'Зхй Щ!.
Если нормированная апгебра Х вдобавок полна (т.е. является банаховым пространством), то оиа называется банахоеой алгеброй. Отображение Г: Х -+ У назывшот гомоморфизмом алгебры Х в 1', если удовлетворяются условия: Г(х+ у) = Гх+ Еу, Г(ох) = арх, Г(ху) = Гх Гу. (1) (2) (3) Две алгебры, Х и У, называются изоморфньеми„если существует взаимно однозначное отображение Г, удовлетворяющее условиям (1)-(3), Нормированные пространства Л и У называют изомешричными, если существует взаимно однозначное отображение Г: Х -г У, для которого выполнены условия (1) и (2) и, кроме того, !!Гх!!г =!!х!!х. Определение 3.
Две банаховы алгебры Х и У мы назовем изомегпричееки изоморфными, если существует алгебраический иэоморфизм Г: Х <-> У, являющийся изометрией Х и У как нормированных пространств. 2. Примеры банановых алгебр. 1. Поле С. Комплексные числа (г) доставляют простейший пример банаховой алгебры, если ввести норму формулой; 'йщ = (х) = ~/хг + уг, г = х+ еу. Йх3 = шах)х(г)!. Ранее в гл.
П и П1 рассматривался частный случай пространства Сг, когда Т = (а, Ь) есть отрезок вещественной примой. Другим важным частным случаем пространства Ст является пространство Сы = ((гм. - -, г )) Комплексные числа образуют поле С. В поле С для всех элементов, кроме нуля, определено деление — операция, обратная умножению. Мы покажем в дальнейшем, что С есть единсглоенная нормированная алгебра, являющаяся полем. 2. Алгебра Ст, Пусть Т вЂ” некоторое компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим через Ст линейное пространство всех непрерывных комплексных функций х(1), заданных на Т с обычными для функций операциями сложения и умножения на чиг то, в котором норма определяется равенством з Д Определение и»рнмерн ба»ах»вне ах»еду и-мерных комплексных векторов, т, е.
функций на цросгрангтве из и точек. Сложение, умножение на числа и умножение элементов С" п1юизводятся покоординатно, а норма определяется формулой !!е!! = !е ! 1(~й Алгебра Сг является коммутативной банаховой алгеброй. Единицей в Ст служит функция е(О = 1. Проверка всех аксиом не составляет труда. 3. Алгебра А а и влит и ческ их функций в круге.
Обозначим через А линейное пространство всех функций х(е) комплексного переменного е, определенных и непрерывных в круге Л гн (е: !е! ( Ц н аналитических внутри этого круга. Определим умножение в А как обычное умножение функций и зададим норму формулой !!х!! = щах !х(е)!, / )51 Этим путем мы превратим А в коммутатнвную банахову алгебру с единицей. Справедливость всех аксиом и здесь вполне очевидна. 4. Алгебра )ь Обозначим через (а совокупность всех двусторонних абсолютно суммируемых комплексных последовательностей х = (.,.,х-»,,х и хо,хы.,,,х»,,.,) с нормой !!х!! = ~~ !хй!.
Произведением х. у двух таких последовательностей: х = (...,х,,хе,...,х», . ), У = (,, У-,, Уа,, У., ) назовем их свертку е = х * у, т, е, последовательность, члены которой определяются так: (5) х» = (х й у) =,~ х -йуй. й= — » Если хаждой последовательности х из )а сопоставить ряд Фурье х(е) = хйе'й' (О ( е ( 2»), то последовательность, определенная форй=- .а мулой (5), соответствует произведению функций х(Ю) у(4), построенных по последовательностям х и у.
Таким образом, алгебра 1~ и алгебра И' функций х(О с абсолютно сходящимися рядами Фурье и нормой, определяемой (4), изометрически изоморфны. Поэтому большинство аксиом алгебры и нормированного пространства для Ьй проверяются без труда, так как для И" они верны тривиально. Проверим аксиому 7. Имеем лля !!х!! = ~!е ! = Я'~~" х -йуй~ ( ~ ~!х й(!Уй! = й »,й ( )х» й!)(Уй! = ()х)! !!У)!. Дополнение. йонохоом онгобрм Алгебра Иг, оченидно, коммутативна, следовательно, коммутативна и алгебра 1ь Единицей в 1~ служит последовательность е, соотвегствующэя функции е(1) ш 1: у этой последовательности все компоненты суть нули, за исклк>некием компоненты с нулевым номером, которая равна епиннце.
В дальнейшем мы будем пользоваться язоморфизмом 1~ о+ И' и соответствием (х„) <-ох(1),не оговаривая этого особо. 5. Банахова алгебра ограниченных операторов. Пусть Х вЂ” банахаво пространства. Рассмотрим пространство ь(Х, Х) всех линейных непрерывных операторов, преобразующих Х в себя, с обычными для операторов действиями сложения, умножения оператора на число и умножения (и. 3 3 5 гл. 1Ч).
Единицей в б(Х, Х) служит тождественный оператор. Превратим ь(Х, Х) в банахову алгебру, определив норму как обычно: '5А5 = зпр ОАхй. 1 1<~ Действительно, аксиома 7 была уже проверена ранее (см. формулу (4) в п. 3 з 5 гл. 1Ч). Доказать полноту б(Х, Х) предстанлялось читателю в упражнении, приведенном там же. Алгебра ь(Х, Х) — один из важнейших примеров некоммутативной банаховай алгебры с единицей. 3. Максимальные идеалы. Определение 4. Идеалом 1 коммутативной алгебры Х называется подпространство Х, обладающее тем свойством, что для всякого у б У и любога х из Х произведение йх принадлежит Х. Идеал, состоящий из одного нуля, а также идеал, состоящий из всего Х, мы называем тривиальными и и дальнейшем исключаем нз рассмотрения.
Максимальным называется идеал, не содержащийся ни в каком другом нетривиальном идеале. Введенные понятия рассмотрим на примере алгебры Ст. Пусть У вЂ” непустое подмножество компакта Т. Множество Мн = = (х(1) б Ст: х(1) = 0,1 б У'), состоящее из функций, обращающихся в нуль на У', образует, как легко вндетгч идеал в Ст. Максимальные идеалы в Ст допускают простое описание, являющееся к тому же ключом к пониманию всего замысла теории коммутативных банаховых ангебр.
Лемма 1. Максимальный идеал алгебры Ст есть совокупность всех функций из Ст, обращающихся в нуль в какой-либо одной фиксированной точке то множества Т. Доказательство, а) Пусть М = (х(1) б Ст: х(то) = 0). Тогда М, есть идеал. Покажем, что ои максимален. Действительно, пусть хо(1) к Мг„т.е, хо(го) ~ О. Для любого й(1) б Ст положим: х(1) = й(1)— й(то)хо(1) .
Тогда х(то) = 0 и, следовательно, х(1) принадлехо(то) жит М,. Итак, добавление любого элемента не из М приводит к тому, что идеал, порожденный М и этим элементом, становится тривнэльным. Следовательно, М„, — максимален. 1 2. Спеяплр и резозьеснто б) Пусть наоборот, М вЂ” какой-либо максимальный идеал нэ Ст. Покажем, что все функции, входящие в этот идеал, обращаются в нуль в некоторой точке. Действительно, если зто не так, то для каждой точки т Е Т найдется функция х (1) Е М такая, что хг(т) ~ О.
В силу непрерывности х (8) по $ найдется такая окрестность бг точки т, что х,(4) 1Ь О в У,. Из открытого покрытия Т С ОУ выберем конечное покрытне У „...,У„. Тогда в силу определения идеала х,(1) =ххп(1).х„(1)+ -+й.„(1) х.„(1) =~ 1х,„(1)~' ь=! принадлежит М. В силу того, что хо(1) > О всюду на Т, функция 1/хо(1) будет непрерывной.
Поэтому 1 = (1/(хо(1)) хо(1) Е М. Но идеал, содержащий единицу алгебры, содержит и любой элемент алгебры, ибо у(1) = у(С) 1. Поэтому М вЂ” тривиальный идеал, что противоречит предположению о том, что М вЂ” максимальный, а следовательно, нетривиальный идеал. Таким образом, мы получили, что между максимальными идеалами и точками из пространства-носителя Т можно установить взаимно однозначное соответствие.
Это позволяет трактовать функции на Т как «функции на пространстве максимальных идеалов». Мы покажем, — н в этом цель излагаемой ниже теории коммутативнык банаковык влгебр, — что всякая такая алгебра Л допускает реализацию в виде подалгебры алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, образованном ее максимальными идеалами. Э 2.Спектр и резольвента В этом параграфе алгебра Л не обязательно коммутативна,но имеет единицу,Многие рассмотрения здесь подобны тем,которые проводились в з 5 гл.
1Ч, 1. Определения н примеры. Определение. Элемент х Е Х называется обрагпиммм, если имеет обратный, т. е, если найдется такой элемент х ', что х.х '=х ' х=е. В противном случае элемент х называется неабрагпиммм. Спектором а(х) элемента х Е Х называется множество комплекснык чисел Л, для которых элемент Ле — х необратим. Если Л К п(х), точку Л называют регулярной. Фувкцня г4 . С 'Лн(х) -+ Х, Ллх = х(Л) = (Ле — х) йэ4 Дополпопио.
Ьаиохооы алгебры определенная на множестве регулярных точек элемента х, называется резольоеиплой этого элемента. Спекгпральным радиусом г(х) элемента х б Х называется число г(х) = ьпр )Л). лс 4*4 Введенные важные понятия проиллюстрируем на примерах. а) Если Х = С, то обратимы все элементы кроме нуля. б) Если Х = Ст, то для обратимости т(1) необходимо и достаточно, чтобы функция х(1) была всюду отлична от нуля. Спектр а(х) совпадает с м и о же с твом значениИ х(1); резольвента Лл имеет вид г(х) = Йхй = так )х(1)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
