А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Среди этих свойств отметим следующие. 1. Если У вЂ” фиксированное линейное непрерывное отображение пространства У в некоторое пространство Я, то 1 бт(1) й = 11 ( ЕЯ а. а а 2. Если Е(Г) имеет вид 2'(й)уо, где Г(е) — - числовая функция, а уо — фиксированный элемент из У, то )г ЕЯ 4о = ео 1г Й2) йй е а ()У Е(1) 1Ч < 1Щ1)[[й. а а 1.,Лифференинровонис в линсбимя нросгорочстват 503 Пусть снова Х и У -- нормированные пространства, а ВС(Л, У) — линейное пространство всех непрерывных ограниченных 1) отображений Л в У. В пространстве ВС(Х, У) можно ввести топологию, принимая за окрестности пуля множества Г..=(Е: .- ~~ (хп .). ЦгЦяо На подпространстве ь'(Х, 1') с ВС(Л, У) всех линейных непрерывных отображений Л в У эта топология совпадает с обычной топологией в ь(Х,У), задаваемой операторной нормой. Пусть Е =- = (хо,хо + Ьх) -- какой-нибудь прямолинейный отрезок в Х.
Допустим, что задано непрерывное отображение этого отрезка в пространство В С(Х, У), т. е. что каждой точке х б .Х сопоставлено некоторое отображение Е'(х) б ВС(Х, У), непрерывно зависящее от вскторного параметра х б л. Тогда можно определить интеграл от Г(х) по отрезку л', полагая яв+ая 1 / Е'(х) дх = ~ Е'(хо + 1Ьх)(Ьх) сй (14) яа о (здесь Е'(хо+стах) (Ьх) при каждом 1 б 10, 1) есть элемент пространства У, являющийся образом элемента Ьх е Х при отображении Е"(хо + 1Ьх)). Ясно, что интеграл, стоящий в правой части формулы (14), существует и является элемеятом пространства У. Применим эту конструкцию к восстановлению отображения по его производной.
Рассвготрим отображение Е', которое действует из Х в 1' и имеет на отрезке [ха, хо+ 1.'гх) непрерывно зависящую от х сильную пронзав+от водную е'(х). тогда существует интеграл / еч(х) 111. Докажем, что имеет место равенство встав / ЕЯ(х) дх = Е(хо + Ьх) — Е (хо), (15) та обобщающее формулу Ньютона-Лейбница. Действительно, по определению яе-~~а н-1 / Е (х) пх 11щ ~ Е' (хо+ гегам.Г)(~хх)(бьы 11) *а 1=о = 1пп ~ Ея(хь)(гахе), а=о 1) Отображение Ет Л -т У называется ограниченным, если двя всякого ограниченного множества О с л' множество г'(сг) ограничено в У.
нелинейное неврерывное отображение не обязательно ограничено. Гл, Х. Элеиеннгн дифференциального исчисления зее где хе = хе+1еЬх, сгхе = (1еы — 1е)Ьх, б = шах(ге+г — 1ь). е Но в то же время при любом разбиении отрезка 0 < 1 < 1 имеем Р'(хо + гех) — с'(хе) = ~~~ [Р(хо + $ьг гЬх) — с'(хе + 1егегх)) = в=0 н-1 [г'(хмы ) — В(хе)).
По формуле (10) получаем н — 1 (~~ [Р(хе+г) — Р(хе) — Р(хе)йхе~~~ < е=е н-1 < ~[Ьх[) ~ (гье1 — Фе) зпр [)гс (хе + 9егЛхе) — Г (хе)[[. (16) е=е Так как производная Г'(х) непрерывна, а следовательно,и равномерно непрерывна на отрезке [хе,хе + гЛх), правая часть неравенства (16) стремится к нулю при неограниченном измельчении разбиения отрезка [хе,хе + Ьх), откуда и вытекает равенство (15). 8. Производные высших порядков. Пусть Г - — дифференцируемое отображение, действующее из Х в У.
Его производная Р'(х) при каждом х е Х есть элемент из ь(Х, У), т.е. Р" есть отображение пространства Х в пространство линейных операторов б(Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения Г и обозначается символом Рн. Таким образом, Гн(х) есть элемент пространства б(Х, б(Х, У)) линейных операторов, действующих из Л в б(Х, У).
Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобнунз и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений. Мы говорим, что задано билинейное отобразгсение пространства Л' в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х,х' из Х поставлен в соответствие элемент у = В(х,х') 6 1' так, что выполнены следующие условия: 1) для любых хы хю х',, хе из Х и любых чисел а,г3 имеют равенства: В(ахг +33хюх',) = аВ(хмх',) + 13В(хз,х',), В(х„ах', + 13хз) = аВ(хы х',) + 13В(хы хз); 1 1.
Дифференциравание в линейных прасепранс~пвах 2) существует такое положительное число М, что ЦВ(х,х')Ц < М((хЦ. Цх'Ц (17) при всех х,х' Е Х. Первое из этих условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов. Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется кормой билинейного отображения В и обозначается ()В)).
Линейныс операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами. Таким образом, билинейные отображения пространства Л в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначим В(Хз, У). При полноте У полно и В(Хз, 1'). Каждому элементу А нз пространства Е(Х, В(Х, У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Х~, У), положив В(х,х') = (Ах)х'. Очевидно, что это соответствие линейно.
Покажем, что оно также и изомстрично и отображает пространство Е(Х, ь(Х, 1')) на все пространство В(Хз, У). Действительно, если у = В(х, х') = (Ах)х', то ЦуЦ < ЦАх() )Щ < ЦАЦ ЦхЦ Цх'Ц, ЦВ)) < ЦАЦ. (19) С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном х е Х отображение х' — > (Ах)х' = В(х,х') есть линейное отображение пространства Х в У.
Таким образом, каждому х Е Х станится в соответствие элемент Ах пространства Е(Х, У); очевидно,что Ах линейно зависит от х, т.е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства Е(Х, В(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и ЦАхЦ = зцр Ц(Ах)х'Ц = ьпр ЦВ(х,х')$) < ЦВЦ ЦхЦ, 'вх'1~<! 1х'1~<1 откуда ЦАЦ < ))ВЦ. (20) Сопоставляя (19) и (20), получаем ЦАЦ = ЦВЦ.
Итак, соответствие между В(Л з, 1') и ь(Х, В(Х, У)), определяемое равенстном (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства Е(Х, ь(Х, У)) есть все В(Л з, 1'). Гл. Х. Элеменнгы дифференциального ие»и»ленин Мы выяснили, что вторая производная г""(х) есть элемент пространства,С(Х, ь(Х, У)).
В соответствии с только что сказанным мы можем считать Ко(х) элементом пространства е!(Х~, У). Рассмотрим элементарный пример. Пусть Х и У вЂ” конечномерные евклидовы пространства размерностей т и и соответственно. Тогда каждое линейное отображение Х в У можно задать некоторой (и х т)-матрицей. Таким образом, производная Р'(х) отображения Г, действующего из Х в У, есть (зависящая от х б Х) матрица. Если в Х и У выбраны базисы, скажем, ег,...,е,„в Х и дг,...,д» вУ, то х = Х1Е! + .. + х е„м У = У1~! + + Уг»дгг.
Тогда отображение у = Р(х) можно записать в виде у! = Й(х1,",хм), у» г'»(Х1~ Хг )~ В ду, дх, г"(х) = ду» ду ду дх! Эхе дх Вторая производная Р"'(х) определяется в этом случае совокупностью и х ьп х гп величин иь " = —. Такую совокупность величин д'гуг дх,дх ' агн!д можно РассматРивать как опРеделаемое фоРмУлой (гь, = у ое;гх! 1=1 линейное отображение пространства Х в пространство С(Х, У) или как определяемое формулой г уь = ~~ ае,гх;хд 1„1=.! билинейное отображение пространства Х в У. Очевидным образом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще 11-и ПрОиэвОднОЙ ОтОбражения г', действующего из Х в У, определив и-!о производную как производную от производной (и — 1)-го порядка, прн этом, очевидно, 11-я производная представляет собой элемент пространства Е(Х, с(Х,..., е.(Х, У)...
)). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространства гт! (Х», У) и-линейных 507 1 !, дифференчировангге в линевнна пространствах отображений Х в 1'. При этом под и-линейным овгобразгсеннем понимается такое соответствие у = Аг(х', х",..., хГ"') между упорядоченнымн системами (х', х",...,хбй) элементов из Х и элементами пространства 1', которое линейно по каждому из хг при фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию ЦАГ(х', хо,..., хгпг)Ц ( МЦх'Ц ЦхпЦ . Цхг "1Ц. Таким образом, и-го производну'ю отображеггия Е можно с штать элементом пространства Ю(Л ", 1 ). 9. Дифференциалы высших порядков, йгьг определили (сильный) дифференциал отображения Е как результат применения к элементу 6 б Х линейного оператора Р'(х), т.е.
гГг' = г'(х)Гг. Дифференциал ггторого порядка определяется как гРГтг'н(х)(6,6), т.е. как квадратичное выражение, отвечаюгцее отображению Еп(х) е В(Хз, У). Аналогичгго дифферезщиалом и-го порядка называе гся опЕ = г бгг (х) (6, 1г,..., 6), т. е. тот элемент пространстваа 1'', в который элемент (6,6,...,6) Е Х х Х х х Х = Л" переводится отображением г 00(х). 10. Формула Тейлора. Сильная днфференцируемость отображения Г означает, что разность Г(х + 6) — Е'(х) может бьггь представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок вьпне первого относительно ЦЦ. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.
Теорема 2. Пусть Р' — отображение, действующее лз Х в 1', определенное в некоторой области О С Х и такое, что Гбй(х) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенство Е(~+ 6) — Г(~) = ге(~)l + фарп( )(6,6) + . + — гГд "~(х)(6,...,6) + иг(х,6), (21) где Цы(х, 6) Ц = о(Ц6Цп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
