А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 91
Текст из файла (страница 91)
когда *и = 1 "Л ПРи Лп Ф 1а Ь Ь„=0 при Л„=1. Последнее равенство дает необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения (7), Координаты хп, отвечающие тем и, для которых Лп = 1, при этом произвольны. Мы получаем, таким образом, следующий результат. 3. Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер. Мы перейдем тепорь к рассмотрению уравнений Фредгольма второго рода с ядрами, подчиненными условию У У !К(в,1)!2бваи < со а а (обеспечивающему компактность оператора), но без условия симметрии. Предположим сначала, что рассматривается уравнение ь р(е) = )' К(е, 1) р(1) 11+ У(а), (10) ядро которого — - вырожденное, т. е.
имеет вид аа К(в,ь) = ~~а Р;(в)ада(1), где Рн ада — функции из Х,г. Оператор с ядром вида (11) переводит всякую функцию ар Е Ьг в сумму и ь (1Ц Теорема 3. Если 1 не является собственным значением оператора А, то уравнение (7) при любом / имеет одно и только одно решение. Если же 1 есть собственное значение оператора А, то уравнение (7) разрешимо в том и только том случае, когда свободный член д ортогонален всем собственным функциям оператора А, отвечающим собственному значеяию 1.
Если это последнее условие выполнено, то уравнение (7) имеет бесконечное множество решений. рл. 1Х, Лнмевмне инеаегралинне ураанениа 462 и ь ье(з) = ь Р1(з) ~ Юь(1)Ьь(1) е(1+ У(з). (12) 4=-1 а Введя обозначения ь ,) а(4)~«) а = 4п перепишем уравнение (12) в виде и ь (з) = 'ЯьРь(з) + Пз). 4=1 Подставив это выражение для уь в уравнение (10), получим и и ь и Е 4Р1()+~(.) =~.Р1(.) Уа(1)~;С 1Р1(ь)+ю~ и+и ) ( ) 4=1 4=1 а Положив / Яь(С)Р,(Ь) 414 = ац (' Яь(С)~(4) й = Ьо а а запишем равенство (13) так: и и и щР4(з) = ~ь Р,(з) ~~~1 а11дт + Ь). 4=1 4=! 1=1 Функции Рь,по предположению, линейно независимы, поэтому отсюда следует равенство соответствующих коэффициентов: и 114 = ~~1 обд + Ь„ь = 1,..., (14) т.е.
в элемент конечномерного подпространства, порожденного функциями Р, (1 = 1,,и). Заметим, что в выражении (11) функции Р1,..., Ри можно считать линейно независимыми между собой. Дейг твительно, если это не так, то, представив каждую из функций Р; как линейную комбинацию независимых, мы получим, что то же самое ядро К(з, г) можно записать в виде суммы меньшего числа слагаемых вида Рь(в)фт(ь), так что функции Ру линейно независимы. Аналогичную редукцию можно проделать для функций 4,) .. Как легко видеть, после этих редукций получится ядро, в котором и Р„ и Яь будут между собой линейно независимы. Итак, будем решать уравнение (10) с вырожденным ядром (11), в котором функции Р„..., Ри (так же, как и ь'„41,...,Я„) линейно независимы.
Подставив в уравнение (10) вместо К(з,ь) соответствующую сумму, получим 1 2. Лнгнегральные уравнения Огредгальма 4ВЗ Мы получили для коэффициентов рл систему линейных уравнений. Решив ее, мы найдем функцию и Ф ) = ~ ЧгРг(г)+У(г) Эта функция удовлетворяет интегральному уравнению (10), поскольку все выкладки, с помощью которых мы пришли от уравнения (10) к системе (14), можно проделать в обратном поряцке. Итак, решение интегрального уравнения с вмрожденннм ядром сводится к решению соответствующей ему системы (14) линейных алгебраических ураенений.
Для систем линейных уравнений хорошо известны условия существования и единственности решений. 1. Система линейных алгебраических уравнений Тх =у, Т = йо;р„.'й, х = (хы...,х„), у = (уы...,у ), разрешима в том и только том случае, когда вектор у ортогонален каждому решению сопряженной однородной системы Т*г = О, Т" = )(ад,(). П. Если детерминант матрицы Т отличен от нуля, то уравнение Тх =- у имеет при любом у одно и только одно решение. Если же дс терминант матрицы Т равен нулю, то однородное уравнение Тх = О имеет ненулевые решения. П1. Поскольку матрица Т и сопряженная матрица Т* имеют один и тот же ранг, однородные системы Тх = О и Т г = О имеют одно и то же число линейно независимых решений.
В силу той связи, которая, как мы выяснили, существует между интегральными уравнениями с вырожденными ядрами и системами линейных алгебраических уравнений, эти утверждения можно рассматривать как теоремы, относящиеся к решениям вырожденных интегральных уравнений. Мы покажем в следующем пункте, что, по существу, зти же теоремы имеют место и для уравнений с произвольными (не обязательно вырожденными) ядрами. Однако, поскольку для невырожденаых интегральных операторов такие понятия, как ранг матрицы и детерминант не имеют смысла, соответствующие теоремы нужно будет сформулировать так, чтобы зти понятия в них не участвовали. 4. Теоремы Фрпцгольма для уравнений с произвольными пирами.
Будем снова рассматривать уравнение у(е) = / К(г, фрЯ <й + 1(г), () а !л. 1Х. Линейные ини~ееральние рравненил 484 но теперь на его ядро будем накладывать лишь условие Гильберта- П1мидта ь ь / / (К(з, С)(гдз ей ( оо а а (обеспечивающее компактность оператора), но не будем зто ядро предполагать ни вырожденным, ни симметрическим. Пас будут интересовать условия разрешимости уравнения (15) и свойства его решений. При этом существенным для нас будет лишь свойство компактности оператора, отвечающего уравнению (15), а не его интегральное представление. Поэтому мы будем все дальнейшие рассмотрения вести для операторного уравнения р = Ар+У (16) считая, что А — произвольный компактный оператор, заданный в гильбертовом пространстве Н.
Положив Т = 1 — А (где Х вЂ” единичный оператор), перепишем авнение 16 в виде Тч =У. (17) Будем наряду с этим уравнением рассматривать однородное уравнение т~,=о (18) и сопряженные уравнения (19) (20) т ~аау, т'еб = О (Т' = 1 — А'). Связь между свойствами решений этих четырех уравнений устанавливаетсяследующими теоремами Фредгольма. 1. Неоднородное уравнение Ту = )' разрешимо при тех и только пьех 1, которые ортогональны казесдому решению сопрязюенного однородного уравнения Т'фд —— О.
П (Альтернатива Фредгольма.) Либо уравнение Т~р = Х имеет при любом 1' б Н одно и только одно решение, либо однородное уравнение Туго = 0 имеет ненулевое решение. П1. Однородные уравнения (18) и (20) имеют одно и то зеве, и притом конечное, число линейно независимых решений. Прежде чем приступать к доказательству этих теорем, заметим, что они справедливы (в силу сказанного в п. 2) для уравнений с симметрическим ядром.
При этом в силу совпадения А и А' теорема 1П становится тривиальной. С другой стороны, если А — вырожденный интегральный оператор, то соответствующие уравнения сводятся, как мы видели выше, 1 и Инмьарнньнне уравнения Фрьдммьна к системам линейных алгебраических уравнений; при этом теоремы Фредгольма автоматически переходят в теоремы о линейных системах, приведенные в предылущем пункте. Поскольку всикий компактный оператор есть предел сходящейся последовательности вырожденных, т.е. конечномерных, операторов, мы могли бы доказать теоремы Фредгольма с помощью соответствующего предельного перехода (от вырожденных ядер к невырожденным).
Мы, однако, пойдем по другому пути и дадим доказательство этих теорем, не связанное с рассмотрением вырожденных уравнений. Доказательство теорем Фредгольма. Напомним, что КегВ есть совокупность нулей линейного непрерывного оператора В (т.е. множество всех тех х б Н, для которых Вх = О), а 1щ  — область значений оператора В, т.е. совокупность векторов вида у = Вх. Ясно, что Кег В всегда есть замкнутое линейное надпространство. Множество 1щ В также представляет собой линейное многообразие, однако, вообще говоря, не замкнутое. Мы сейчас покажем, что для оператора Т = 1 — А, где А — - комплексный оператор, замкнутость соответствующего многообразия имеет место.
Л ем ма 1. Многообразие 1тТ замкнуто. До к аз а тел ь ство. Пусть р„б 1т Т и у„— > у. По предположению существуют такие векторы х„б Н, чта (21) Мы можем считать, что векторы х„ортогонвльны к КегТ, вычитая, если необходима, из х„его проекцию на КегТ. Далее, можно считать, что ()хнй ограничены в совокупности. Действительно, в противном случае, переходя к подпоследовательности, мы бы имели йх„'С -+ со и, разделив на Йх„(), получили бы из (21), что — — А — *" -+ О. Но так как оператор А компактен, то, снова !М! !М -1! переходя к подпоследовательности, можно считать последовательность (А — *1 сходящейся. Поэтому и — *" будет сходиться, ска- !М !1> ' ' !М.!! жем, к вектору з б Н. Ясно, что ЙЩ = 1 и Тх = О, т.е.
х Е КегТ. Однако мы считаем векторы х„ортогонвльиыми к Кег Т и, следовательно, вектор х обязан быть ортогональным к КегТ. Полученное противоречие и позволяет считать, что )(х„)) ограничены в совокупности. Вместе с тем в этом случае последовательность (Ахн) можно считать сходящейся, а тогда, как зто следует из (21), будет сходящейся и последовательность (х„). Если через х обозначить предел этой последовательности, то из (21) следует, что у = Тх. Лемма доказана. 486 дк 1Х.
Линввнне ингвегравьннв уравнения Лемма 2. Пространство Н является прямой ортогональной суммой замкнутых подпростраиств Кег Т и 1щ Т', т. е. Кег Т (В 1т Т' = Н, (22) и аналогично, Кег Т' 6~ 1т Т = Н. (23) Доказательство. Мы уже знаем, что оба подпространства, фигурирующие в левой части равенства (22), замкнуты. Кроме того, они ортогональны, поскольку если А б КегТ, то (Ь,Т*х) = = (ТЬ, х) = 0 для всех х б Н. Остается доказать, что никакой ненулевой вектор не может быть одновременно ортогональным к Кег Т и 1пз Т*. Но если вектор х ортогонален к 1гп Т*, то для любого х Е Н имеем (Трч х) = (х,Т'х) = О, т. е. з б КегТ.
Равенство (23) доказывается аналогично. Лемма доказана. Из леммы 2 сразу вытекает первая теорема Фрщпольма. Действительно, у .1. Кег Т" в том и только том случае, если у Е 1пз Т, т. е. если существует такое ьз, что Ту = у. Далее, для каждого целого )г положим Нь =- 1щ(Т"), так что, в частности, Нз = 1шТ. Ясно, что подпространства Н" образуют цепочку вложенных надпространств, НэН эН З..., (24) а в силу леммы 1 все эти подпространства замкнуты.
При этом Т(Нь) = Ньь'. Лемма 3. Существует такое 1, что Н"+ = Нь пря всех и > у. Доказательство. Е< ти такого у не существует, то, очевидно, все Нь различны. В этом случае можно построить такую ортонормированную последовательность (хь), что хь Е Н" н ортогонально Нь+~. Пусть 1 > к. Тогда Ах~ — Ахь = — хь + (х~ + Тхь — Тх~) и, следовательно, ОАю — А„!) > 1, так как х~ + Тхь — Тх~ Е Н "+'. Поэтому из последовательности (Ахь) нельзя выбрать сходящейся подпоследовательности, что, однако, противоречит компактности оператора А. Тем самым лемма доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
