А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Лемма 4. Если КегТ = (0), то 1щТ = Н. Доказательство. Если КегТ = (0), то оператор Т взаимно однозначен и, следовательно, если прн этом 1гпТ ф Н, то цепочка (24) состоит из различных подпространств, а это противоречит лемме 3. Поэтому!щТ = Н. Аналогично, ЬаТ' = Н, если КегТ' = (О). 1 и Иэшеграэьиие эривиения Фредгольлаа Лемма 5. Если 1шТ = Н, то КегТ = (0). Доказательство. Так как 1гпТ = Н, то, по лемме 2, КегТ' = (0), яо тогда, по лемме 4, ЪиТ' = Н и, следовательно, по лемме 2, КегТ = (0).
Совокупность лемм 4 и 5 и составляет содержание второй теоремы (эльтернативы) Фредгольма. Тем самым эта теорема доказана. Докажем, наконец, третью теорему Фредгольма. Предположим, что подпространство КегТ бесконечномерно. Тогда в этом подпространстве найдется бесконечная ортонормированная система (хь).
При этом Ахь = хь и, следовательно, при (г ф 1 имеем ОАхь — Ах~(! = ~/2. Но тогда из последовательности (Ахь) нельзя выбрать сходящейся подпоследовательности, что противоречит компактности оператора А. Пусть теперь р — размерность КегТ и и -- размерность КегТ*. Предположим, что р ( и. Пусть (шы..., р„) — ортонормированный базис в Кег Т и (4ы..., 4„) — ортонормированный базис в Кег Т*.
Положим Ях = Тх+ У (х,у )ф . эгп Так как оператор Я получаетси из оператора Т прибавлением конечномерного оператора, то все результаты, доказанные выше для оператора Т, остаются верными и для оператора Я. Покажем, что уравнение Ях = 0 имеет только тривиальное решение. Действительно, допустим, что Тх+ ~~~ (х,ду)4~, = О. (25) Так как векторы ф в силу леммы 2 ортогональны ко всем векторам вида Тх, то из (25) следует, что Тх = О, (х, у ) = 0 при 1 ( у ( р. Поэтому, с одной стороны, вектор х должен быть линейной комбинацией векторов ш., а с другой, — ортогонэлен им. Следовательно, х = О.
Итак, уравнение Ях = 0 имеет только тривиальное решение. Но тогда по второй теореме существует такой вектор у, что 488 Гл. !Х. Линейные интегральные уравнение Умножив это равенство скалярно на ср„+ы мы получим справа 1, а слева О, поскольку Ту 6 1тТ, а 1гпТЛ. КегТ". Это противоречие возникло из предположения р < ш Поэтому р > и. Заменяя теперь оператор Т на Т', мы получим р < о и, следовательно, р = о. Теорема П1 доказана полностью.
Замечания. 1. В теоремах Фредгольма по существу речь идет об обратимости оператора А — ! и эти теоремы означают, что Л = 1— или регулярная точка для А, или собственное значение конечной кратности. Разумеется, все, что утверждается в этих теоремах, остается справедливым и для операторов А — Л1, если Л 44 О. Поэтому всякая отличная от О точка спектра компактного оператора является его собственным значением конечной кратности. Кроме того, мы знаем, что множество таких собственных значений не более чем счетно. Ввиду следствия к теореме 2 в п. 2 8 6 гл.
1Лс нуль в с е г да принадлежит спектру компактного оператора в бесконечномерном пространстве, но не обязан, вообще говоря, быть собственным значением. Компактные операторы, для которых О служит единственной точкой спектра„называются (абстрактными) операторами Вол»терра. 2.
Мы доказали теоремы Фредгольма для уравнения вида ~р= = Асо + г', где А —. компактный оператор в гильбертовом пространстве. Эти теоремы могут быть перенесены без существенных изменений и на случай произвольного банахова пространства Е. При этом, разумеется, сопряженное уравнение ер = А"ф + у будет уравнением в пространстве Е', условие ортогоналыюсти (у,еро) = О нужно понимать как обращение в нуль на элементе 1 6 Е каждого функционала из подпространства КегТ' с Е* решений уравнения Т'сро = О и т.д. Изложение теорем Фредгольма для уравнений в банаховом пространстве содержится, например, в книге Л.
А. Люстерника и В. И. Соболева «Элементы функционального анализа». 5. Уравнения Вольтерра, Уравнением Вольгперра (второго рода) называется интегральное уравнение р(') = У К(' ') р(4) "+ У(') (26) а где К(г, 4) — ограниченная измеримая функция: (К(в,г)( < М.
Поскольку это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма (с ядром, равным нулю при 4 > г), теоремы Фредгольма справедливы и для уравнения (26). Однако для уравнений Вольтерра эти теоремы можно уточнить следующим образом. Уравнение Вольтерра (26) при любой функции У 6 Ьг имеет одно и только одно решение.
489 1 9. Инша*рааьнма рраанеииа Фрадгааьма Действительно, дословно повторяя рассуждения и. 4 9 4 гл. П, мы видим, что некоторая степень оператора АФ = / К(г,1)1р(1) М а является сжимающим оператором и, следовательно, однородное уравнение имеет единственное (тривиальное) решение. В силу теорем Фредгольма отсюда и следует наше утверждение. Упражнение.
Пусть на отрезке задано интегральное уравнение Фредгольма второго раца с непрерывным ядром. Доказать для такого уравнения теоремга Фредгольма в проспзранспзве нгпрермвнех функция. Прн этом роль «совряженного уравнения» играет интегральное уравнение с транспоннрованвым ядром, а ортогонзльность понимается в смысле Ьм б. Интегральные уравнения первого рода. Абстлрпктпнъм уравнением Фредгольма первого рода называется уравнение вида (27) т. е. уравнение, содержащее неизвестную 4(зункцию 99 лишь под знаком компактного оператора.
Решение такого уравнения представляет собой задачу, вообще говоря, более сложную, чем решение уравнения второго рода, и уравнение (27) не может иметь решения при любой правой части. Рассмотрим вначале в качестве простейшего примера уравнение 1(г) = / 'Р(1) Пг а т.е. уравнение с ядром 1 при1(г, К(г,1) = 0 при 1> г. Оно имеет очевидное решение Ф(г) = ~'(г), если 7' абсолютно непрерывна и ее производная принадлежит Ьг, и оно неразрешимо в противном случае. Покажем,что и в общем случае уравнение (27) не может быть разрешимо при произвольном 7 Е Н.
Действительно, существование решения уравнения АФ = у при любом 7 б Н означало бы, что этот оператор отображает Н снова па нсе Н. Покажем, что это невозможно. Все Н можно представить как сумму счетного числа шаров 5а (например, шаров ращзуса 1,...,о,... с центром в нуле). Каждый из них переводится компактным оператором А в предкомпактное множество. Таким образом, замыкание 1шА есть сумма счетного 490 Гл. !Х, Лииеаиыг ииыггральииг уравнения числа компактов.
Но в Н любой компакт нигде не плотен; в то же время Н, как и любое полное метрическое пространство, не может быть представлено как сумма счетного числа нигде не плотных множеств. Таким образом, 1ш А З! Н; инымгл словами, каков бы нн был компактный оператор А в Н, уравнение Ар = !' пе может быть разрешимо при всех !' Е Н. Другой существенный момент состоит в том, что оператор, обратный компактному, не ограничен.
Поэтому, если (! и уз — два близких между собой элемента из Н и оба уравнения Агр! = 4! А:рт = 1т разрешимы, то соответствующис решения д! = А '!! и угз = А' 'зз могут сильно отличаться друг от друга. Иначе говоря, сколь угодно малая погрешность в свободном члене уравнения может привести к сколь угодно большой ошибке в решении. Задачи, в которых малое измененис исходных данных приводит к малому изменению решения (эта «мвлость» может в разных задачах пониматься по-разному), называются коррекгппыми. Решение интегрального уравнения первого рода (в отличие от уравнения второго рода) - — пекоррект~ал задача. За последнее время разного рода некорректные задачи и методы их регуляризации (т. е. сведения их к задачам, н том или ином смысле корректным) получили широкое развитие. Однако изложение этих вопросов выходит за рамки данной книги.
З 3. Интегральные уравнения, содержащие параметр. Метод Фредгольма 1. Спектр компактного оператора в Н. Будем рассматривать уравнение ~р = ЛАуг+ г, или, иначе, (1- ЛА) р = У, где А — компактный оператор в гильбертовом пространстве Н, а Л вЂ” числовой параметр. В силу альтернативы Фредгольма возможны два и только два взаимоисключающих случая: 1. Уравнение (1) имеет при данном Л одно и только одно решение для каждого ! Е Н. 2. Однородное уравнение гр = ЛАр имеет ненулевое решение.
1 3. Ннтпггральнмг уравнении, содержащие парамсгпр 491 В первом случае оператор 1 — ЛА отображает, и притом взаимно однозначно, Н на все Н. Отсгода следует существование ограниченного обратлюго оператора (1 — ЛА) г. Это равносильно тому, что Ъ т -1 оператор (А — -1) определен на всем Н и ограничен; иначе гово- Л ) ря, в этом случае 1/Л не принадлежит спектру оператора А. Пусть теперь имеет место вторая возможность, т.е. существует такой отличный от нуля элемент сзь й Н, что Агр ' " А1о" Л~'"' 1 тогда 1/Л есть собственное значение оператора А. Мы получаем следующий результат: каждое отличное огп нуля число д = 1/Л является собстаеннвсм значением компаьтинпго операгпора .4 либо регулярно. Иными словами, у компактного оператора непрерывный спектр либо совсем отсутствует, либо состоит из одной точки )с = О.
Объединив толысо что сказанное с теоремой 4 2 б гл. 1Ъ', мы гтолучаем следующее списание спектра компактного оператора в Н. Спектр любого компактного оператора А в Н состоит нз конечного или счетного числа отличных от нуля собственных значений )гг,..., дп,..., каждое из которых имеет конечную кратность, и точки нуль. ') Точка нуль —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
